Частица в глубокой одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

Если на частицу действует сила, то появляется потенциальная энергия, которая зависит только от координат и при движении частицы эта потенциальная энергия будет меняться, решение Ур-я Шр. в этом случае будет иметь физический смысл не при всяком значении полной энергии, а только при некоторых её дискретных значениях. Значения полной энергии Е, при которых существует решения уравнения Шредингера называется собственными значениями энергии (Е_n), а функция Ψ, удовлетворяющая Ур-ю Шр. для данного значения энергии.

Ψ(x,y,z)-собственная функция Ψ_n.

Частица находится в глубокой прямоугольной яме.

Частица может двигаться только вдоль оси x. Движение частицы ограничено непроходимыми стенками при x=0 и x=l. Стенки непроходимы, т.к. на этих стенках потенциальная энергия принимается, равной бесконечности, и частица, в принципе, не может оказаться в 1 и3 областях.

ω₁=ω₃=0; Ψ₁=Ψ₃=0; Ψ₂<>0, U₂=0

Тогда Ур.-е Шр. для второй области:

d²Ψ/dx²+(2m/Ћ²)EΨ=0 (1)

Тогда обозначим (2m/Ћ²)Е=k² (2)

Ψ”-k²Ψ’=0 (3)

Решение Ур-я Шр. мы будем искать в тригонометрической форме:

Ψ=с₁Sin(kx)+c₂cos(kx)

Граничные условия:

Ψ(0)=0 (5)

При подставлении этого граничного условия получаем с2=0:

Ψ=с₁Sin(kx)

Второе граничное условие:

Ψ(l)=0

Подставляя получаем:

Ψ=с₁Sin(kl)=0 (7)

Это возможно только, когда:

Sinl=0; kl=πn; k=πn/l (8), n=1,2,3,…….

n никогда не равно нулю, потому что:

1.это означало бы, что частицы в яме вовсе нет( по сути она никуда не могла исчезнуть).

2.в этом случае нарушался бы принцип неопределённости Гейзенберга, т.к. это бы означало, что у частицы одновременно определены и координата и импульс., т.е. наложение второго граничного условия(Ψ(l)=0) приводит к тому, что параметр К оказывается квантовым, и мы можем записать: К_n=πl/n (9)в выражение (7):

Ψ_n=с1Sin((πl/n)x) (10)

И тогда Ψ тоже квантована.

Наложим на уравнение (10)условие нормировки, а именно:

²dx=1 (11)

Смысл нормировки состоит в том, чтобы найти частицу в пределах ямы с вероятностью 100%. подставим в (11) ур-е ур-е (10)и найдём коэффициент с1.

с₁²= Sin2(πn/l)x)dx=1

c₁²·1/2 (1-cos((2πn/l)x)dx)=1

c₁²·1/2( dx- cos((2πn/l)x)dx)=1

c₁²·1/2((l-l/2πn)Sin((2πn/l)x)| =1

c₁²·(1/2)l=1

c₁=

Ψ_n= Sin((πl/n)x) (12)

Найдём собственные значения энергии Е_n.

2mE/Ћ²=K²

K_n=πn/l

2mE/Ћ²= π²n²/l²;

E_n= π²n²Ћ²/2m l²

Проанализируем полученные результаты:

Ψ_n= Sin((πl/n)x)

E_n= π²n²Ћ²/2m l²

При большом n вероятность обнаружить частицу в каком-то конкретном месте ямы должен быть равновероятной, что приближается к классической теории.

Частица с n=2 не может быть обнаружена в середине ямы и такое представление не совместимо с классической физикой, потому что в классической физике положение частиц равновероятно.

Принцип соответствия бора.

E_n= π²n²Ћ²/2m l²

Из этого выражения можно найти энергетический интервал между двумя соседними уровнями.

∆ E_n=Е_n+1- E_n= π²(n+1)²Ћ²/2m l²- π²n²Ћ²/2m l²= π²(2n+1)Ћ²/2m l².

На больших n(n >>1):

π²Ћ²/2m l²(2n+1)= π²Ћ²n/m l²

Например для электрона при размерах ямы l=10 см ∆ E=10^-35n Дж=10^-16n Эв

т.е. энергетические уровни расположены так тесно, что спектр практически непрерывен.

Но если размеры ямы соизмеримы с размерами атомами(l=10^-10м), то это значит для электрона ∆ E10^-17n Дж=10²n Эв, т.е. получается при атомарных размерах l разность энергий между уровнями носит явно дискретный характер. Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками не может иметь энергию меньше, чем Е₁= π²Ћ²/2m l²(n=1). И это также вытекает из соотношения неопределенностей: ∆x=l и импульс поэтому не может иметь точного значения, а именно он не может иметь значения ноль.

Такому разбросу импульса соответствует энергия Emin=∆p2/2m=Ћ²/2m l²

∆p/∆x≥Ћ; ∆p=Ћ/∆x=Ћ/l

Все остальные уровни при n>1 имеют большую энергию и при n>>1 отношение ∆ E_n/ E_n будет выглядеть так:

∆ E_n/ E_n=π²Ћ²nml²/ml²π²Ћ²n²~2/n²<<1, т.е. соседние уровни при возрастании располагаются настолько тесно и тем теснее чем больше n. И при очень больших значениях n соседние уровни практически сливаются и дискретность исчезает. И это следствие из принципа соответствия Бора: законы квантовой механики при больших значениях n энергетические законы квантовой физики переходят в законы классической физики.

Квантовое число n определяется как главное квантовое число и по нему всегда можно судить о энергетическом уровне электрона в атоме. Когда n велико, электрон может покинуть атом, перейдя на внешнюю валентную оболочку. Примером частицы в глубокой потенциальной яме может служить электрон, который находится на внутренних оболочках атома.