Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
cd330 / МОДУЛЬ-3 / ФУНКЦИИ-Н-ПЕР-3лекц-32-34.doc
Скачиваний:
28
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
647.17 Кб
Скачать

3.2. Производная векторной функции

Дадим приращение аргументу t. В результате векторная функция получит приращение

Рассмотрим отношение . Если функцииявляются дифференцируемыми, то

. (2)

Формула (2) определяет производную векторной функции скалярного аргумента. Модуль этого вектора равен

.

Выясним геометрический смысл производной.

М

М1

О

Из рисунка видно, что при , т.е. производная имеет направлениекасательной. Нормалей к пространственной кривой в данной точке можно провести бесконечное множество – все они лежат в плоскости, которая называется нормальной плоскостью. Исходя из геометрического смысла производной, получаем уравнение касательной

и уравнение нормальной плоскости

.

Замечание 3. Из определения производной следует, что правила её нахождения такие же, как идля скалярной функции одного переменного.

Аналогично, как и для плоской линии, вводится понятие её кривизны.

Формула для вычисления кривизны пространственной линии имеет вид

.

Пример 2. Показать, что если то

Действительно, так как то дифференцируя, получаем, ч.т.д.

Пример 3. Составить уравнение касательной, нормальной плоскости и вычислить кривизну винтовой линии в точке .

Вычислим значения функций и их производных в соответствующей точке:

Составим уравнение касательной

и нормальной плоскости

Найдём векторное произведение векторов

Тогда

.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке МОДУЛЬ-3