3.2. Производная векторной функции

Дадим приращение аргументу t. В результате векторная функция получит приращение

Рассмотрим отношение . Если функцииявляются дифференцируемыми, то

. (2)

Формула (2) определяет производную векторной функции скалярного аргумента. Модуль этого вектора равен

.

Выясним геометрический смысл производной.

М

М₁

О

Из рисунка видно, что при , т.е. производная имеет направлениекасательной. Нормалей к пространственной кривой в данной точке можно провести бесконечное множество – все они лежат в плоскости, которая называется нормальной плоскостью. Исходя из геометрического смысла производной, получаем уравнение касательной

и уравнение нормальной плоскости

.

Замечание 3. Из определения производной следует, что правила её нахождения такие же, как идля скалярной функции одного переменного.

Аналогично, как и для плоской линии, вводится понятие её кривизны.

Формула для вычисления кривизны пространственной линии имеет вид

.

Пример 2. Показать, что если то

Действительно, так как то дифференцируя, получаем, ч.т.д.

Пример 3. Составить уравнение касательной, нормальной плоскости и вычислить кривизну винтовой линии в точке .

Вычислим значения функций и их производных в соответствующей точке:

Составим уравнение касательной

и нормальной плоскости

Найдём векторное произведение векторов

Тогда

.