Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
7
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.95 Mб
Скачать

Замечание. Производную можно вычислить не по определению, а применив теорему о пределе производной: если существует для и если существует , то существует и правая производная в т. , причем (аналогичное утверждение справедливо и для левой производной). Для данной функции эта теорема срабатывает при . Для приходится пользоваться определением при вычислении .

Ответ: 1) Функция непрерывна всюду при . При имеем разрыв 2го рода в точке .

2) Функция дифференцируема всюду при , при этом

3) Функция непрерывно-дифференцируема при .

Задача 11. Найти для функций, заданной параметрически и неявно:

а) b)

Решение. a) Если функция задана параметрически уравнениями

то её производная задается следующей системой параметрических уравнений

В нашем случае:

Поэтому искомая производная имеет вид:

b) При вычислении производной функции, заданной неявно, используют следующие соображения.

При некоторых условиях на выражения с двумя переменными (эти условия рассматриваются в теме “Функции нескольких переменных”) уравнение вида

разрешимо относительно переменной . Это означает следующее: существует дифференцируемая функция такая, что имеет место тождество

в некотором интервале изменения переменной . Дифференцируя это тождество по переменной , получим соотношение, из которого легко находится искомая производная . Ясно, что подобные рассуждения применимы и для уравнений вида .

Итак, считая, что в данном уравнении и рассматривая его как тождество, получим:

Отсюда и получаем

Ответ: a)  b) 

Задача 12. Найти производную -го порядка функции

Решение. По определению производная -го порядка – это производная от производной -го порядка:

Вычислим производные 1го, 2го, 3го порядка и попытаемся уловить закономерность:

Можно предположить, что

и, вообще,

(*)

Чтобы доказать истинность нашего предположения, найдем производную -го порядка, считая, что формула (*) верна.

Нетрудно заметить, что это выражение для можно получить из (*) заменив на . Это и доказывает верность формулы (*).

Замечание 1. Формула (*) верна для .

Замечание 2. Для произведения всех нечетных чисел от 1 до принято обозначение . Таким образом, .

Ответ:

Задача 13. Раскрыть неопределенности:

a) ; b) c) .

Решение. Сделаем несколько общих замечаний о применении правила Бернулли-Лопиталя.

1. Правило Бернулли-Лопиталя вычисления предела отношения двух бесконечно больших или бесконечно малых функций состоит в замене отношения функций отношением их производных.

2. Это правило применимо лишь к неопределенностям вида или , а неопределенности других типов () необходимо сводить к этим двум.

3. Иногда для раскрытия неопределенности приходится применять это правило последовательно несколько раз.

4. На каждом этапе применения правила Бернулли-Лопиталя следует пользоваться тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с другими приёмами вычисления пределов (замена переменной, эквивалентности и т.п.).

Перейдем к вычислению пределов:

a) 

.

b) 

Вычислим отдельно:

.

Значит, .

c) 

При вычислении этого предела последовательно использованы: основное логарифмическое тождество; непрерывность функции замена переменной; формулы приведения; эквивалентность преобразование неопределенности в неопределенность правило Бернулли-Лопиталя; тождественные преобразования; эквивалентность

Задача 14. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты (правда, горизонтальные можно считать частным случаем наклонных).

Прямая является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен , т.е. вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва 2го рода. Данная функция является элементарной и единственной точкой разрыва является точка , которая не принадлежит . Вычислим :

Правый предел функции бесконечен, следовательно, прямая – вертикальная асимптота.

Далее, прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при , если существует конечный предел

Для упрощения вычисления пределов запишем данную функцию следующим образом:

При вычислении пределов пользуемся эквивалентностью для степенной функции и тем фактом, что . Имеем:

Итак, прямая – горизонтальная асимптота при . При горизонтальной асимптоты нет, но может быть наклонная.

Прямая является наклонной асимптотой при , если существуют конечные пределы

(Аналогичное утверждение справедливо и для ). Для нашей функции имеем:

Итак, прямая – наклонная асимптота графика данной функции при .

Ответ: асимптотами графика функции являются прямые (при ) и (при ).

Задача 15. Провести исследование и построить график функции

.

Решение. Общее исследование функции и построение графика удобно выполнять по следующей схеме:

I. Найти область определение функции, область непрерывности и точки разрыва, вычислить односторонние пределы в точках разрыва, выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

II. Найти асимптоты графика функции.

III. Вычислить производные 1го и 2го порядка и найти критические точки 1го и

2го порядка.

IV. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

V. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

VI. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

VII. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

Заметим, что для большей точности графика рекомендуется находить касательные в точках пересечения графика с осями координат и в точках перегиба, а также односторонние касательные в угловых точках графика (см. ниже).

Руководствуясь указанной схемой, проведем исследование данной функции.

1) Область определения т.к. логарифмы неположительных чисел не существуют. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Она непрерывна всюду на (как элементарная). точка – точка разрыва. Выясним тип разрыва:

Таким образом, – точка разрыва 2го рода.

2) Полученный в пункте 1) результат позволяет утверждать: прямая – вертикальная асимптота (единственная). Выясним, имеет ли график горизонтальную асимптоту:

Итак, прямая (ось абсцисс) – горизонтальная асимптота.

3) Вычисляем производные, предварительно освободив запись функции от знака модуля:

Находим критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых соответствующая производная равна 0 или не существует. Точки 1го порядка:

И так как , то не существует, т.е. точка – критическая точка.

Точки 2го порядка:

не существует, ибо не существует, т.е. точка – критическая точка и 2го порядка.

Отметим, что точка графика , в которой существует различные односторонние касательные (их угловые коэффициенты равны соответствующим односторонним производным) называется угловой точкой.

4-5) Критические точки разбивают область определения на интервалы знакопостоянства производных. Знаки же производных позволяют определить интервалы монотонности и выпуклости-вогнутости, а именно: а) если на , то возрастает, если же , то убывает; б) если на , то график функции направлен выпуклостью вниз, если , то выпуклостью вверх.

Составим сводную таблицу знаков производных. Первая строка изображает с отмеченными критическими точками как 1го, так и 2го порядка. Во 2й и 3й указаны знаки производных в интервалах, на которые критические точки разбили . В 4й строке – графическое изображение поведения функции.

0

1

-

+

0

-

-

+

не

сущ.

-

-

-

0

+

верт.

ас.

перегиб

перегиб

Анализ показывает, что функция убывает в интервалах и , и возрастает в интервале ; – точка минимума, , а – точка максимума, . Далее, график функции является выпуклым вниз на интервалах и , и выпуклым вверх на интервале ; точки графика и – точки перегиба.

6) График не пересекается с осью , ибо . Чтобы найти точки пересечения графика с осью , надо решить уравнение . Для нашей функции:

7) Строим эскиз графика

Часть 2. Расчетные задания

1. Вычислить предел последовательности , используя теорему о пределе монотонной последовательности:

1.1 . 1.2 .

1.3 . 1.4 .

1.5 . 1.6 .

1.7 . 1.8 .

1.9 . 1.10 .

1.11 . 1.12 .

1.13 . 1.14 .

1.15 . 1.16 .

1.17 . 1.18 .

1.19 . 1.20 .

1.21 . 1.22 .

1.23 . 1.24 .

2. Найти предел последовательности с общим членом :

2.1 . 2.2 .

2.3 . 2.4 .

2.5 . 2.6 .

2.7 . 2.8 .

2.9 . 2.10 .

2.11 . 2.12 .

2.13 . 2.14 .

2.15 . 2.16 .

2.17 . 2.18 .

2.19 . 2.20 .

2.21 . 2.22 .

2.23 . 2.24 .

3. Вычислить предел функции или числовой последовательности:

3.1 . 3.2 .

3.3 . 3.4 .

3.5 . 3.6 .

3.7 . 3.8 .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Для студентов ЭКИ-1