Лекция 3.1 Интерполяция данных гранулометрического состава

Рассматриваемые вопросы:

1. Информативность массивов данных сепарабельности и метод повышения их информативности: идея описания дискретних данных продолжением их мас сива.

Входные параметры обогатительного процесса представлены массивом сепарабельных (раздельных) частиц материала различной крупности, зольности, содержания серы и других компонентов, увязываемых в единое описание с помощью характеристик ситового и фракционного составов в форме таблиц. При этом рассматривают три дискретных функции: распределения зольностей F(λ), как производную от предыдущей функцию плотности распределения вероятностей зольности φ(λ) [7, 8], где λ – зольность элементарной фракции как функция от плотности D , λ=f(D), и распределения извлечений фракций по золе [9], см. (2.5). “В современном углеобогащении существует необходимость нахождения такого способа задания гранулометрического состава, который был бы универсален, т.е. чтобы его можно было применять для различных задач технологии” [10].

Информативность массива данных зависит от количества элементов (длины) этого массива. Непрерывная функция содержит максимум информации о представляемом ею явлении.

Прогнозом называют определение функций распределения ситовых и фракционных показателей продуктов процесса сепарации и их характеристик по принципу практической уверенности [11] на основании табличных (дискретных) данных фракционно-ситового состава перерабатываемого материала в текущий момент времени.

Существует ряд принципов и методов оценивания массивов, функций, решений. Принцип практической уверенности: “Событие, вероятность которого близка к единице, называют практически достоверным, а событие, вероятность которого близка к нулю, - практически невозможным” [11].

В применении к задаче интерполяции ситовой характеристики принцип практической уверенности позволяет обосновать решение нахождения новых опорных точек (НОТ) под названием knot-продолжения массива.

Сущность метода продолжения массива данных ситового состава поясняется по схеме рис.3.1. Для упрощения изложения вопроса рассматриваются только 4 точки под номерами 0, 2, 4 и 6, которые названы узлами искомой зависимости. Пропущенные между ними точки с нечётными номерами 1, 3 и 5 зарезервированы для размещения распознаваемых НОТ-узлов. Рассмотрим построение точки типа 3 (рис. 3.1). Эта точка расположена внутри интервала 2 - 4 (и по аргументу, и по функции) и вблизи хорды 2 - 4. В отличие от кусочно-полиномиальной интерполяции, здесь вместо касательной слева от точки 2 строим хорду 0 - 2, а вместо касательной справа от точки 4 строим хорду 4 - 6. Продолжения хорды 0 - 2 и хорды 4 - 6 при пересечении образуют точку p, которая вместе с точками 2 и 4 создаёт “треугольник правдоподобия” (2, 4, p), окаймляющий область, по которой проходит гипотетическая кривая.

Рис.3.1. Схема определения новой опорной точки 3 массива данных.

Треугольник полностью определён своими вершинами, так что полностью определён и его центр тяжести (2, 4, p) как НОТ, положение которого не зависит не только от масштабов переменных, но и от их размерностей.

Метод доверительного треугольника работает только на выпуклой или вогнутой функции, что проверяется попаданием точки p в интерполируемый интервал как по аргументу, так и по функции.

Выполнив такие расчёты для всех n₀-1 интервалов, где n₀ - количество исходных узлов интерполяции, получим НОТ первой рекурсии в количестве n₁ = 2n₀-1. Весь алгоритм представлен пунктами:

1. начало алгоритма, указание количества интервалов N_min;

2. ввод трёхмерного массива (Ø_i, γ_i, β_i, s_i), i=0, 1, 2 …, N длины N+1;

3. удвоение длины массива N=Nּ2;

4. организация циклов от i=N до 2, шаг –2; идти на П.6;

5. удвоение индексов i-ых элементов массива (Ø_i, γ_i, β_i, s_i);

6. расчёт 1-ой и (N-1)-ой НОТ по формуле центра тяжести доверительного треугольника, если этот треугольник вписывается в область определения интервала, иначе - по формуле средины стягивающей хорды;

7. организация циклов от i=2 до N-2, шаг 2; идти на П.9;

8. расчёт i-ой НОТ в центре тяжести доверительного треугольника, если этот треугольник вписывается в область определения интервала, иначе - в средине стягивающей хорды; идти на П.7;

9. контроль количества интервалов; если Nּ2<N_min, то идти на П.2;

10) печать результатов;  конец.

Пример. Для данных ситового анализа (табл. 3.1) требуется найти НОТ внутри интервалов данных. Расчёт выполнялся на ЭВМ.

Таблица 3.1

Исходные данные ситового состава угля.

Крупность, мм	Выход Класса, %	Зольность, %	Содержание серы, %
0≤<0,5	20,00	90,00	1,80
0,5≤<1	20,00	45,00	1,85
1≤<3	15,00	25,00	2,00
3≤<5	5,00	22,00	2,10
5≤<13	3,00	20,00	7,50
13≤<50	5,00	15,00	2,20
50≤<100	32,00	10,00	0,80
0≤d<100	100,00	36,40	1,73

После выполнения i рекурсий количество узлов составит величину N_i= 2ⁱ(N₀-1)+1. Результаты даны рис.3.2.

Таким образом, рекурсивный метод knot– продолжения массива данных ситового состава не требует поиска функций для описания массива внутри интервалов данных и обеспечивает монотонность интерполированных характеристик при любой закономерности распределения крупности угля. С решением задачи оптимальной минимизации набора сит при выполнении ситового анализа угля в производственных условиях ОФ можно ознакомиться в работе [8].

Контрольные вопросы:

1. Каким параметром определяется информативность масива данных сепарабельности?

2. По какому признаку прогнозируют распределение ситовых и фракционных показателей продуктов сепарации?

3. Какая идея используется для описания дискретных данных?

4. Назовите три соглашения по описанию самых общих свойств массивов сепарабельности.

5. В чём заключается сущность продолжения массива данных фракционного состава?

Литература к лекции: [7, …, 11]