3. Перспектива точки и прямой предметной плоскости
Пусть в предметной плоскости дана прямая AB, и требуется построить ее проекцию ab в картинной плоскости (рис. 2.5).
Искомая проекция ab лежит в проектирующей плоскости Q, проходящей через центр проекции S и прямую AB, потому для ее нахождения достаточно построить плоскость Q и провести проектирующие лучи SA и SB .
Поскольку прямая AB принадлежит плоскостям E и Q, то линией их пересечения является продолжение прямой до ее пересечения с основанием картины TT в точке l.
П
Q
Точки i1 и l принадлежат картинной P и проектирующей Q плоскостям, и потому соединяющая их прямая i1l является линией пересечения плоскостей P и Q.
Теперь для нахождения искомой проекции ab достаточно провести проектирующие лучи SA и SB, пересечение которых с линией i1l даст точки a и b.
Т
T
Исходя из изложенного, для построения перспективы прямой предметной плоскости необходимо выполнить следующие действия:
-
найти двойную точку, продолжив прямую до пересечения с основанием картины;
-
отыскать точку схода проекции прямой, проведя параллельную ей линию из центра проекции до пересечения с линией действительного горизонта;
-
провести направление перспективы, соединив двойную точку с точкой схода;
-
провести в концы прямой предметной плоскости проектирующие лучи, пересечение которых с направлением перспективы даст искомую проекцию.
Изложенный метод используется и для отыскания проекций отдельных точек. При этом проектирующая плоскость проводится через исходную точку предметной плоскости, центр проекции и главную точку схода. Для отыскания искомой проекции нужно провести через исходную точку A (рис. 2.5) прямую параллельно проекции главной вертикали до пересечения с основанием картины TT, соединить полученную двойную точку с главной точкой схода i и провести проектирующий луч SA.
4. Теорема Шаля. Эпюры
Найдем проекцию a точки A предметной плоскости (рис. 2.6) и будем вращать картинную плоскость P вокруг основания картины TT и одновременно плоскость действительного горизонта E вокруг линии действительного горизонта hihi вместе с построениями на них, сохраняя взаимную параллельность плоскости действительного горизонта и предметной. Вращение прекратим, как только предметная плоскость E, картинная P и плоскость действительного горизонта E сольются в одну, точка S окажется в положении S, точка i – в положении i, а точка a – в положении a. По условию Si=Si и il=li.
Докажем, что проекция a точки A при вращении плоскостей своего положения не изменила.
Из подобных треугольников Sai и Aal следует:
lA/Si=la/ia. (2.2)
Треугольники Sai и aAl также подобны, и можно записать:
lA/Si=la/ia. (2.3)
Так как Si=S i, приравняем левые части выражений (2.2) и (2.3)
la/ia=la/ia
и составим производную пропорции
Поскольку ia+al=ia+al=il, то и ia=ia, т. е. проекция a точки предметной плоскости A при одновременном вращении плоскостей своего положения не изменила. Этим доказана теорема, известная в специальной литературе как теорема Шаля:
Если при одновременном вращении плоскости действительного горизонта вокруг линии действительного горизонта hihi и предметной плоскости вокруг основания картины TT сохраняется их взаимная параллельность, то проектирующий луч SA всегда проходит через ту же пару сопряженных точек предметной (A) и картинной (a) плоскостей.
Результат не изменится при одновременном вращении любой пары плоскостей: E и E, E и P, или P и E, если плоскости E и E останутся параллельными. Это обстоятельство имеет в фотограмметрии исключительно большое значение и лежит в основе всех методов обработки аэроснимков с преобразованными связками проектирующих лучей.
Совмещенное положение всех трех основных плоскостей вместе с построениями на них называется эпюром (от французского «épure» – «улучшенный»). Если эпюр получен путем увеличения угла наклона картинной плоскости до 1800 (как на рис. 2.6), он называется эпюром растяжения (рис. 2.7), а если уменьшением этого угла до 00 – эпюром сложения (рис. 2.8).
Техника отыскания проекции точек и прямых предметной плоскости на эпюрах аналогична рассмотренной в § 15 для решения задачи на пространственном чертеже, и иллюстрируется рис. 2.7 и 2.8 (точки схода и двойные точки на чертежах не обозначены).
К недостаткам эпюра растяжения относится наличие острых углов в точках пересечения прямых, затрудняющих уверенное отыскание проекций, а эпюра сложения – большая загруженность чертежа из-за совмещенного положения картинной и предметной плоскостей.
На эпюре сложения, в силу равенства отрезков Si и ci (формулы 2.1), центр проекции S совпадает с точкой нулевых искажений c и ее проекцией C. Это означает, что углы с вершиной в проекции точки нулевых искажений C равны проекциям этих углов в картинной плоскости (с вершиной в точке нулевых искажений c).