20. Свойства средней арифметической.
Свойства средней важны для понимания механизма расчета этого показателя, а так же для разработки ряда более сложных статистических методик.
Свойства:
1. Если из всех вариантов ряда вычесть или ко всем вариантам добавить постоянное число, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это число.
Σ(Xi+A)fi/Σfi=Xa+A
2. Если все варианты ряда умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая соответственно увеличится или уменьшится в это число раз.
Σ(xi*B)fi/Σf=Xa*B
3. Если все частоты увеличить или уменьшить в постоянное число раз, то средняя от этого не изменится.
Σxi*(fi*C)/Σfi*C=Xa
4. Сумма отклонений всех вариантов ряда от средней арифметической равна 0.
21. Алгоритм определения средней арифметической методом моментов.
m1=(Σ(xi-A)*fi)/Σfi
X=m1K*A
где:
xi – варианта или центр интервала
A – число выбранное исследователем совершенно произвольно, однако, на практике А чаще всего = варианте или центру интервала имеющему наибольшую частоту или частость.
К – произвольное число, однако чаще всего это наибольший общий делитель имеющийся во всех полученных разностях вида xi – А
Последовательность расчета:
1 – Выбирается условная средняя А
2 – Находится отклонение от вершины А каждой варианты или центра интервала, т. е разности xi-А
3 – Находится наибольший общий делитель К на который могли разделить разности полученные в шаге 2, без остатка, т.е выражение вида (xi-А)/К
4 – находится произведение вида: ((xi-А)/К)* fi
5 – находится сумма произведений полученная в шаге 4
Σ((xi-А)/К)* fi
6 – Находится сумма частот
Σ fi
7 – рассчитывается m1
8 – рассчитывается средняя арифметическая.
22. Параметрические средние. Медианное значение.
Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы..
Медиана (Me) — это такая варианта, которая приходится строго на середину упорядоченного ряда и делит этот ряд пополам.
Пример: обследование 12 коммерческих пунктов обмена валюты позволило зафиксировать различные цены за доллар США при его продаже
№ пункта обмена валюты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Цена за 1 долл. США, руб.
5795 5805 5800 5815 5810 5790 5825 5810 5805 5820 5800 5810
Найдем медиану. Ее расчет по несгруппированным данным производится следующим образом:
а) расположим индивидуальные значения признака в возрастающем порядке:
XI Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10 X11 XI2
5790 5795 5800 5800 5805 5805 5810 5810 5810 5815 5820 5825
б) определим порядковый номер медианы по формуле
В нашем случае № Me = 6,5. Это означает, что медиана расположена между шестым и седьмым значениями признака в ранжированном ряду, так как ряд имеет четное число индивидуальных значений. Таким образом, Me равна средней арифметической соседних значений 5805 и 5810:
Me = (5805+5810)/2 = 5807,5 руб.
Иной порядок вычисления медианы в случае нечетного числа индивидуальных значений.
Предположим, мы наблюдали не 12, а 11 пунктов обмена валюты, тогда ранжированный ряд будет выглядеть следующим образом (отбрасываем 12 пункт):
XI Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10 XII
5790 5795 5800 5800 5805 5805 5810 5810 5810 5815 5820
Определяем номер медианы: № Me = (11 + 1)/2 = 6; на шестом месте находится Х6 = 5805. Это и есть медиана (Me = 5805 руб.).
В интервальном ряде формула медианы:
,
где XMe – нижняя граница медианного интервала;
hMe – его величина;
(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя,
который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);
SMe-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;
mMe – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).