Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения л. Эйлера)

Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости. Для ввода этих уравнений выделим в покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами ,,и с центром в точкеА, ориентируем этот параллелепипед относительно координатных осей ;;(рис. 3).

Рис. 3. К выводу уравнения Л. Эйлера

На грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости действуют поверхностные силы – силы гидростатического давления направленные внутрь параллелепипеда и массовые силы – сила тяжести и сила инерции переносного движения. Равнодействующая массовых сил.

Установим связь между гидростатическим давление в точке А () и массовыми силами.

Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда

; ; ;

; ; ;

Эти же силы гидростатического давления, выраженные через гидростатическое давление в т. А.

; и т.д.

Здесь ;и т.д. градиенты давления по соответствующим координатным осям.

Равнодействующая массовых сил

Условие равновесия выделенного параллелепипеда:

; ;

Рассмотрим случай .

,

или в развернутом виде:

где ;

–проекция единичной массовой силы (т.е. сила, отнесенная к единице массы) на ось .

После простейшего преобразования получаем , а по аналогии для других координатных осей;.

Таким образом, условием равновесия жидкости будет

₍₁₃₎

В таком виде система уравнений была получена Л. Эйлером в 1775 году.

Система дифференциальных уравнений показывает, что градиенты гидростатического давления в направлении каждой из координат осей равны проекциям на эти же оси единичных массовых сил.

Уравнение гидростатики

Умножим каждый из членов, входящих в систему (13) дифференциальных уравнений, соответственно на ;;и просуммируем их. В результате этих действий получим:

(14)

Уравнение (14) является аналитическим выражением распределения гидростатического давления жидкости.

Для случая покоящейся жидкости гидростатическое давление . Следовательно, правая часть уравнения (14) представляет полный дифференциал давления -.

Таким образом, приведенное выше уравнение (14) приобретает следующий вид:

(15)

Применим уравнение (15) к случаю абсолютного покоя жидкости, когда массовой силой является только сила тяжести. При принятом направлении координатных осей проекции этой силы будут:

; ;,

а уравнение (15) применительно к точке 1 получает вид:

.

После интегрирования получим:

При – давление на свободной поверхности, а– глубина погружения в жидкости точки, для которой определяется давление:

(16)

где		– давление на свободной поверхности;
		– плотность жидкости.

Уравнение (16) называется основным уравнением гидростатики.

Закон Паскаля

«Если жидкость находится в состоянии покоя, то изменение давления на любой внешней поверхности, возникающее от действия внешних сил, передается без изменения во все точки объема, занимаемого данной жидкостью».

Доказательство из уравнения (16).

Абсолютное давление в т. А при размещении поршня в положении – (рис.3):

(17)

После перемещения поршня в положение (рис. 3а) давление на свободной поверхности увеличится на величинуи будет равно , а абсолютное давление в т. Абудет равно

т.е. при изменении давления на свободной поверхности на , на эту же величину увеличится давление в точке А.

Эта идея использована Паскалем в принципиальной концепции гидропроцесса.

Рис. 3а. Схема действия давления по закону Паскаля.