Алгебраические структуры таблица

Группы

Поля

Кольца

Векторные пространства

Группой называется множество , на котором определена одна внутренняя бинарная алгебраическая операция *, которая подчиняется трем законам (аксиомы группы).

1. Закон ассоциативности: , .

2. Существование нейтрального элемента:

3. Существование симметричного элемента:

.

Опр. Если группа подчиняется еще одному закону:

4. Закон коммутативности: , ,

тогда группа называется коммутативной.

– обозначение.

Коммутативную группу называют абелевой, если ее групповая операция записана в аддитивной форме.

Примеры групп.

1. Множество целых чисел относительно сложения с нейтральным элементом-абелева.

2. Множество рациональных чисел относительно сложения .

3. Множество действительных чисел относительно сложения .

4. Обозначим и – множества рациональных и действительных чисел без нулевого элемента (без нуля). Тогда оба множества относительно умножения являются коммутативными группами.

Полем называется множество К, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции (сложение и умножение) и подчиняющиеся следующим законам (аксиомы поля).

1. Закон ассоциативности относительно сложения:

.

2. Существование нулевого элемента:

.

3. Существование противоположного элемента:

.

4. Закон коммутативности относительно сложения:

.

(это абелева группа отн +)

5. Закон ассоциативности относительно умножения:

.

6. Существование единичного элемента:

.

7. Существование обратного элемента:

.

(только у поля)

8. Закон коммутативности относительно умножения:

.

9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

и .

полем называется алгебраическая структура с двумя алгебраическими операциями (сложение и умножение), такая, что относительно сложения множество К является абелевой группой, а относительно умножения множество является коммутативной группой и умножение дистрибутивно относительно сложения.

Опр. Пусть К – поле. Тогда группу называют аддитивной группой поля К, а группу – мультипликативной группой поля К.

Теорема (Простейшие свойства поля)

1. .

2. .

3. Если х и у – элементы поля К, то равенство возможно лишь при или .

Примеры полей.

1) Множество рациональных чисел.

2) Множество действительных чисел.

3) Поле рациональных дробей с одной неизвестной.

4) Поле из двух элементов: . Здесь 0 – нулевой элемент, 1 – единичный. Сложение и умножение задаются таблицами Кэли:

и

Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно сложения множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения.

Другими словами, алгебраическая структура называется кольцом, если выполняются следующие законы:

1 – 4. Законы абелевой группы относительно сложения;

5. Закон ассоциативности умножения:

;

6. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

и .

Опр. Если в кольце А выполняется:

7. Закон коммутативности умножения

,

то кольцо А называется коммутативным кольцом.

Опр. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения:

8. Закон существования единичного элемента

,

то кольцо А называется кольцом с единицей.

Замечание. Любое поле является коммутативным кольцом с единицей. Но обратное утверждение является неверным, т.к. не в каждом коммутативном кольце с единицей справедлив закон существования обратного элемента.

Пример

1) Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей.

2) Множество всех многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно операций сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом с единицей.

3) Множество – всех числовых функций, определенных на отрезке числовой оси относительно обычных операций сложения и умножения числовых функций является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. (Простейшие свойства кольца)

Пусть А – произвольное кольцо. Тогда

1. .

2. Если кольцо А обладает единицей, то

.

Опр. Пусть А – произвольное кольцо, .

Если , но , тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то элементы а и b называются делителями нуля.

Опр. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.

Опр. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.

Пример

1) Кольцо целых чисел Z является областью целостности.

2) Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности.

Пусть - произвольное множество, элементы которого мы будем называть векторами, К - поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множестве определена внешняя бинарная алгебраическая операция над полем К, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

;

Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называют векторным пространством над полем К, если эти алгебраические операции подчиняются следующим законам (аксиомы векторного пространства).

1. Закон ассоциативности сложения:

.

2. Существование нулевого вектора:

.

3. Существование противоположного вектора:

.

4. Закон коммутативности сложения:

.

5. Закон ассоциативности умножения вектора на скаляр:

.

6. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов:

.

7. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров:

.

8. , где 1 - это единица поля К.

Опр. Векторное пространство над полем вещественных чисел называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или х = 0.

4. .

Пример. Обозначим через множество всех векторов как направленных отрезков. Мы уже знаем (см. выше примеры групп), что относительно сложения векторов множество является абелевой группой. Нам известна еще одна операция с векторами – умножение вектора на число, в результате которой получается тоже вектор. Значит, эта операция является внешней бинарной алгебраической операцией на множестве над полем действительных чисел: . Осталось проверить все аксиомы векторного пространства, причем первые 4 нами уже проверены. Столь же легко проверяются и остальные аксиомы. Таким образом, множество всех векторов как направленных отрезков образует вещественное векторное пространство.