§ 44. Кольцо

В различных отделах математики, а также в применениях мате­матики к технике и естествознанию приходится весьма часто встре­чаться с положением, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами совсем иной природы. Большое число таких примеров можно найти в предшествующих главах книги — напомним умножение и сложение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразова­ниями. Общее определение алгебраической операции,которому удо­влетворяют операции сложения и умножения в числовых кольцах, а также операции в указанных примерах, состоит в следующем.

Пусть дано некоторое множество М,состоящее или из чисел, или из объектов геометрической природы, вообще из некоторых вещей, которые мы будем называтьэлементамиэтого множества. Говорят, чтов множестве М определена алгебраическая операция, если указан закон, по которомулюбойпаре элементова, Ьиз этого множестваоднозначным образомставится в• соответствие не­который третий элемент с, также принадлежащий кМ.Эта операция может быть названасложением,и тогда с будет называтьсясуммой элементоваиЬи обозначаться символом с —а-\-Ь;эта операция мо­жет быть названаумножением,т. е.сбудетпроизведениемэлемен­товаиЬ, е = аЬ\возможно, наконец, что для операции, определен­ной в множествеМ,будет введена новая терминология и символика.

В каждом из числовых колец определены две независимые опе­рации— сложение и умножение. Что же касается вычитания и деления, то их нельзя считать новыми операциями, так как они являются обратными соответственно для сложения и для умножения, если мы примем следующее общее определение обратной операции.

Пусть в множестве Мопределена алгебраическая операция, на­пример сложение. Говорят, чтодля этой операции существует обратная операция— вычитание, если длялюбойпары элемен­това, ЬизМсуществует вМтакой элементй,притом лишьедин­ственный,который удовлетворяет равенствуЬ-\-й—а. Элементй называется тогдаразностьюэлементоваиЬи обозначается сим­воломй—а—Ь.

В числовых полях обратной операцией обладает, очевидно, как сложение, так и умножение (последнее, правда, ограниченно: дели­тель должен быть отличным от нуля). В числовых же кольцах, не являющихся полями (как, например, в кольце целых чисел), обрат­ной операцией обладает лишь сложение.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ

§ 51. Кольцо многочленов от нескольких неизвестных

Нередко приходится рассматривать многочлены, зависящие не от одного, а от двух, трех, вообще от нескольких неизвестных. Так, в первых главах книги нами уже изучались линейные и квадратичные формы, представляющие собой примеры таких многочленов. Вообще многочленом/(*„х₂,...,х„) от п неизвестных х^ х₂, ...,х_п над некоторым полем Рназывается сумма конечного числа членов видах\¹х^къ ... Хп^п,где все ^ 0, с коэффициентами из поляР;при этом предполагается, понятно, что многочлен/(х₁, х_г,. . .,х_п)не содержит подобных членов и что рассматриваются лишь члены с отличными от нуля коэффициентами. Два многочлена отпнеизвестных,/(лг^ лг₂,х_п) нg(x₁,x2, х_п),считаютсяравными(илитождественно равны­ми),если равны их коэффициенты при одинаковых членах.

Если дан многочлен /{х_х, х₂,.. .,х_п) над полем Р, то егосте­пенью по отношению к неизвестному х^г =1,2,..., п,называется наивысший показатель, с каким входитх₁в члены этого многочлена. Случайно эта степень может быть равной 0, что означает, что хотя/ считается многочленом отпнеизвестныхх_г, Хг, . .., х_г, ..х_п,но неизвестноехIна самом деле в его запись не входит.

С другой стороны, если мы назовем степенью члена

Л1Л>2• • ♦Л'П

число к_х+кг+ ... + т. е. сумму показа телей при неизвестных, тостепенью многочлена/(лг„Хг, ...,х_п)(т. е. степенью посово­купности неизвестных)будет наивысшая из степеней его чле­нов. В частности, многочленами нулевой степени будут, как и в случае одного неизвестного, лишь отличные от нуля элементы из поляР. С другой стороны, как и в случае многочленов от одного неизвестного, нуль будет единственным многочленом отпнеизвестных, степень которого не определена. Понятно, что многочлен в общем случае может содержать несколько членов наивысшей степени и поэтому нельзя говорить о старшем (по степени) члене многочлена.

Длямногочленов от пнеизвестных над полемРследующим обра­зом определяются операции сложения и умножения.Суммоймного­членов /(л:,, лг₂, . .х_п)иg(x_i, х₂, ■ .х„)называется многочлен, коэффициенты которого получаются сложением соответственных коэффициентов многочленов / и §■; если при этом некоторый член входит лишь в один из многочленов /,g,то коэффициент при нем в другом многочлене считается, понятно, равным нулю. Произведение двух «одночленов» определяется следующим равенством:

ах\'х\^г.. . х^к_п^п• Ьх^!1х¹% . . . х¹„ — {аЬ) лг*‘⁺'^,л£^,+,\ . .х^^1п,

после чего произведениемногочленов/(*!,х₂,х_п)их_г,х_п) определяется как результат почленного перемножения и последующего приведения подобных членов.

При таком определении операций совокупность многочленов от п неизвестных над полем Р превращается в коммутативное кольцо, причем это кольцо не содержит делителей нуля.В самом деле, при я=1наши определения совпадают с теми, которые были даны в § 20 для случая многочленов от одного неизвестного. Пусть уже доказано, что многочлены от л—1неизвестныхх₁, х₂, . .., х„_₁ с коэффициентами из поляРсоставляют кольцо без делителей нуля. Всякий многочлен отпнеизвестныхх_1Г х₂, ...,х„_₁, х_пможно представить, притом единственным способом, как многочлен от неиз­вестногох_пс коэффициентами, являющимися многочленами отх_1Г х₂, ...,х'_п_₁;обратно, всякий многочлен отх_пс коэффициентами из кольца многочленов от лг,,х₂, ...,х_п_₁над полемРможно рассматривать, конечно, как многочлен над этим же полемI^і от всей совокупности неизвестныхх₁, х₂, . . ., х_п_₁, х_п.Без труда проверяется, что полученное нами взаимно однозначное соответствие между многочленами отпнеизвестных и многочленами о>т одного неизвестного надкольцом многочленов отп—1неизвестных является изоморфным по отношению к операциям сложения и умножения. Доказываемое утверждение вытекает теперь из того, что многочлены от одного неизвестного над кольцом многочленов отп—1неиз­вестных сами составляют кольцо, причем оно как кольцо многочле­нов от одного неизвестного над кольцом без делителей нуля само не содержит делителей нуля (см. § 47).

Мы доказали, следовательно, существование кольца многочленов от п неизвестных над полем Р;это кольцо обозначается симво­ломР[х„ х₂, ..., х_п).

Следующие рассмотрения позволяют посмотреть на кольцо много­членов от пнеизвестных с несколько иной точки зрения. Пусть полеРсодержится в некотором коммутативном кольце /. в качестве подкольца. Возьмемвів элементов а,, а₂, .. .,а_пи найдем мини­мальное подкольцоVкольца содержащее эти элементы и все полеР,т. е. подкольцо, получающееся в результатеприсоединения к полю Р элементов а,, а₂, . .а_п.Подкольцо состоит из всех элементов кольца £, которые выражаются через элементы а_ра₂,...,а_п и элементы поляРпри помощи сложения, вычитания и умножения. Легко видеть, что это будут в точности те элементы кольца £, которые можно записать (при помощи операций, имеющих место вЦ в виде многочленов от а„ а₂,...,а_пс коэффициентами изР, причем эти элементы будут как элементы кольца /. между собой складываться и умножаться как раз по указанным выше правилам сложения и умножения многочленов отпнеизвестных.

Конечно, данный элемент р из подкольца будет, вообще говоря, обладать многими различными записями в виде многочлена от а_г, а₂, . . .,а_пс коэффициентами из поляР.Если для всякого р изV такая записьоднозначна,т. е. если различные многочлены от а_х,а₂,...,а„будут различными элементами кольцаV(и, следо­вательно, кольцаV),то система элементов а_г, а₂, . ..,а_пназываетсяалгебраически независимойнад полем Р, в противном случае —алгебраически зависимой').Отсюда можно вывести такое заключение^-.

Если поле Р является побкольцом коммутативного кольца Ь и если система элементов а_х, а₂, . . ., а_пиз Ь алгебраически не­зависима над Р, то подкольцо V кольца I, порождаемое при­соединением к полю Р элементов а_иа₂, а_п, изоморфно кольцу многочленов Р[х_ъх₂, .. ., х_п].

Из других свойств кольца многочленов от пнеизвестныхР[х_ъ х₂,.. ,, лг„] укажем на следующее: это кельцо можно вклю­чить вполе рациональных дробей Р(лг₁,х₂, . ..,х_п) от п неиз­вестных над полем Р.Всякий элемент этого поля может быть

записан в виде -^где/и^—многочлены из кольца Р[х_г, х₂,...,

причем тогда и только тогда если /г[) = ^ф. Сложение и

умножение этих рациональных дробей производятся по правилам, которые, как было указано в § 45, справедливы для частных во всяком поле. Доказательство существования поля Р(х_г, х₂,. . .,х_п) проводится так же, как это делалось в § 50 для случая /2=1.

Для многочленов от нескольких неизвестных можно построить теорию делимости, обобщающую ту теорию делимости для многочленов от одного неизвестного, которую мы изучали в гл. 5 и 10. Так как, однако, детальное изучение кольца многочленов от нескольких неизвестных не входит в наши задачи, то мы ограничимся только вопросом о разложении многочлена на неприводимые множители.

Введем сначала следующее понятие: если все члены многочлена /(¹!,х₂,...,х_п)имеют одну и ту же степень б, то такой многочлен назы­ваетсяоднородным многочленом,или, короче,формойв-й степени; нам уже известнылинейныеиквадратичные формы,можно рассматривать, далее,кубичные формы,все члены которых имеют по совокупности неиз­вестных степень 3, и т. д.Всякий многочлен от п неизвестных однозначно представим в виде суммы нескольких форм от этих неизвестных, притом имеющих разные степени: достаточно объединить вместе все члены, имеющие одну и ту же степень, чтобы получить искомое представление. Так, многочлен четвертой степени{ (хг, х₂, х₃) = Зх₁х1 — 7х*х1+х₂ — 5х₁х₂х₃-{-^х*-~2х₃ — 6-{-х1будет суммой формы четвертой степених*—7^Х\^Х\<кубичной формы —5х₁х₂х₃-\-

х*,линейиой формых₂—2х₃и свободного члена (формы нулевой степе­ни) —6.

Докажем теперь следующую теорему:

Степень произведения двух отличных от нуля многочленов от п неиз­вестных равна сумме степеней этих многочленов.

Предположим . сначала, что нам даны формыф(х_г, х_г, ...,х_п)сте­пени в и(х_г, х₂, ..., х_а)степениЬ.Произведение любого члена формы ф на любой ' член формы гр будет, очевидно, иметь степень в-)-/, а потому произведение ф1|) будет формой степени8+ /, так как приведение подобных членов не может сделать все коэффициенты этого произведения равными нулю ввиду отсутствия в кольцеР [х₁, х₂,...,х_п]делителей нуля.

Если теперь даны произвольные многочлены \(х₁.х₂, ..., х_п)и

£(*!, х₂*„) соответственно степеней5и (, то, представляя каждый из

них в виде суммы форм разных степеней, мы получим:

I(*!,х_г, . . . , х„)=Ф (*!, X *„)+...,

ё(*1,Ч*„) = Ф (*1-*2

где ф и будут соответственно формами степеней в и Ь,а многоточия заменяют суммы форм меньших степеней. Тогда

^ = фф + ...;

форма ф>|> имеет, по доказанному, степень 5+ ^, а так как все члены, заме­ненные многоточием, имеют меньшую степень, то степень произведения будет раина в+ Теорема доказана.

Многочлен ф называется делителеммногочлена /, а / —делящимся наф, если в кольцеР[х₁,х₂,...,х_п)существует такой многочлен1|>, что / = срг)?. Легко видеть, что свойства делимости I — IX из § 21 сохраняются и в рассматриваемом сейчас общем случае. Многочлен /■ степеник,/г^1,на­зываетсяприводимымнад полемР,если он разлагается в произведение многочленов из кольцаР [х_1г х₂. ...,х_ц],степени которых меньше /г, инеприводимым— в -противоположном случае.

Всякий многочлен из кольца Р [х_}, х_г, ..., х_п], имеющий степень, отличную от нуля, разлагается в произведение неприводимых множи­телей. Это разложение однозначно с точностью до множителей нуле­вой степени.

Эта теорема обобщает соответствующие результаты из § 48, относящиеся к многочленам от одного неизвестного. Ее первое утверждение доказывается дословным повторением рассуждений из указанного параграфа. Доказатель­ство второго утверждения представляет уже значительные трудности. Прежде чем проводить его, мы заметим, что из второго утверждения этой теоремы вытекает такое следствие: если произведение двух многочленов £ и § из кольца Р[*1,х₂, ..., х_п] делится на неприводимый многочлен р, то хотя бы один из этих многочленов делится на р.Действительно, в противном случае мы получили бы для произведения два разложения на неприво­димые множители, одно из которыхрне содержит, а другое содержит.

Пусть теорема уже доказана для многочленов от пнеизвестных, и мы хотим доказать ее для многочлена от я+1неизвестныхх, х_г, х₂, х_п. Запишем этот многочлен в виде <р (х); его коэффициенты будут, следова­тельно, многочленами отх_1г х₂,...,х_п. Дляэтих коэффициентов теорема уже доказана, т. е. каждый из них однозначно разлагается' в произведение не­приводимых множителей. Назовем многочлен <р(х) примитивным(точнее,примитивным над кольцом Р [х_г, х₂,...,*„]), если его коэффициенты не содержат ни одного общего неприводимого множителя, т. е. в совокупности взаимно просты, и докажем следующуюлеммуГаусса:

Произведение двух примитивных многочленов само есть примитивный многочлен.

В самом деле, пусть даны примитивные многочлены

1(х) = а_а^+а₁х^к-¹+ ... +а1Х^к-‘+...+а_к, ё (^х) = Ь_пх¹ -р Ь^х^{1 1} + Ьрі¹ і-\-Ьі

с коэффициентами из кольца Р [х_х,дг₂,...,х_п] и пусть

IМ £(х)= с₀дг^й+г4-с₁д^^+г“¹+...+с_і+/х^к+1-^іі+Л +...+с_к+1.

Если ЭТО произведение не примитивно,ТО коэффициенты С₀,С_к+1

будут обладать общим неприводимым множителем р — р(х₁,х₂, ...,х„). Так как все коэффициенты примитивного многочленаI \х)не могут делиться нар,то пусть коэффициент а,- будет первым, нарне делящимся; анало­гично черезЪу мы обозначим первый коэффициент многочленаg (х),не делящийся нар.Перемножая почленно} (х)и §(х) и собирая члены, со­держащиех^к+1~^и+-*Кмы получим:

С/₊/=а;&/+^аі_і6/+і + Я[-2^/+2+ • • •+°і+і*/-і + ^аі+2&/-2+ • • •

Левая часть этого равенства делится на неприводимый многочлен р.На него заведомо делятся также все слагаемые правой части, кроме первого; дей­ствительно, ввиду условий, наложенных на выборі и /, все коэффициенты

<Ч-і, г³такжеЬ]_і, 6/_₂, ... делятся нар.Отсюда следует, что

произведение также делится на р, а поэтому, как отмечено выше, на р должен делиться хотя бы один из многочленов а,-,Ьрчто, однако, не имеет места. Этим заканчивается доказательство леммы в предположении справед­ливости основной теоремы для многочленов отпнеизвестных.

Кольцо Р [х_г, х₂,содержится, как мы знаем, в поле рацио­

нальных дробей Р (х_1гх₂,...,х_п),которое мы обозначим через<2:

Ч^Р^, Х_г, ...,Х„).

Рассмотрим кольцо многочленов С} [х].Если многочлен ф (х) принадлежит к этому кольцу, то каждый его коэффициент представим в виде частного многочленов из кольцаР \х_ь х₂, .... х_п].Вынося за скобки общий знаме­натель этих частных, а затем и общие множители из числителей, можно представить <р(х)в виде

ф (х) = у I (х).

Здесь аиЬявляются многочленами из кольцаР [х_1г х₂, , х_п],а1(х)—

многочленом от хс коэффициентами изР [х₁,х_п],причем даже

примитивным многочленом, так как его коэффициенты уже не имеют общих множителей.

Этим путем всякому многочлену ф (*) из кольца 5 [х]поставлен в соот­ветствие примитивный многочлені (х). Для данногоф(х) многочлен£(х) определен однозначно с точностью до отличного от нуля множителя из поля Р. Действительно, пусть

фМ=у£М=7г(*).

где ц (х)— снова примитивный многочлен. Тогда

0.(11(X) =&С£(х).

Таким образом, айиЬсполучены вынесением всех общих множителей из коэффициентов одного и того же многочлена надкольцомР [х_ъ х₂, х_п]. Отсюда вытекает, ввиду справедливости в этом кольце (по предположению индукции) теоремы об однозначности разложения, чтоайиЬсмогут отли­чаться друг от друга лишь множителем нулевой степени. Таким же множи­телем, следовательно, отличаются друг от друг примитивные многочлены /(*) иg(x).

Произведению двух многочленов из кольца <2 [х] соответствует произ­ведение соответствующих им примитивных многочленов. В самом деле, если

Ф М = у/М.Ц{х) =^8(х), где /(х)И £(х)— примитивные многочлены, то

ПГ

фМ 'Ф (X) [(х) ё (х).

Но, как доказано выше, произведение / (х)£(х)является примитивным много­членом.

Отметим, далее, что если многочленф(х) из кольца<2[х] неприводим, над полем 0., то соответствующий ему примитивный многочлен [(х), рассматриваемый как многочлен от х, х_1гх₂х_п, также будет непри­водимым, й обратно.В самом деле, если многочлен / приводим, / = /х/а» то оба множителя должны содержать неизвестноех,так как иначе много­член / не был бы примитивным. Отсюда вытекает разложение многочлена Ф (х)над полемС}:

Ф М = у/(*)= ( у-

Обратно, если многочлен ф (х)приводим надС},ф(х)= фх(х)ф₂(х),то при­митивные многочлены /х (*)И /₂(я), соответствующие многочленам Фх(х) и ф₂(х),будут оба содержатьх,но их произведение, как доказано выше, равно /(х)(с точностью до множителя из поляР).

Возьмем теперь примитивный многочлен / и разложим его на неприво­димые множители, / — /х’/₂••• /*• Все эти множители не только должны содержать неизвестноех,но даже будут примитивными многочленами, так как ■ иначе многочлен / не был бы примитивным.Это разложение прими­тивного многочлена/будет однозначным с точностью до множителей из поля Р.В самом деле, ввиду предшествующей леммы, можно смотреть на это разложение как на разложение /(х)на неприводимые множители над полем <3, но для многочленов от одного неизвестного над некоторым полем однозначность разложения нам уже известна; эта однозначность имеет место с точностью до множителей из5; однако в нашем случае, благодаря при­митивности всех множителей /,-, она будет с точностью до множителей изР.

После этих лемм, справедливость которых нами доказана, исходя из индуктивного предположения, доказательство нашей основной теоремы про­ходит без всяких затруднений. В самом деле, всякий неприводимый много­член из кольца Р[х,х_ъ х_п]будет или неприводимым многочленом из кольцаР[дс_х,х₂, ..., х_п],или же неприводимым примитивным многочле­ном. Отсюда следует, что если нам дано некоторое разложение многочлена ф(л, лс_х, х₂,х_п) на неприводимые множители, то, объединяя множители, мы представим <р в виде

Ф (х, х_ъх₂ Х_п)=а (х_ъх₂, х_п) [ (х, х_г, х₂, х_п),

где а от ж не зависит, а Iявляется примитивным многочленом. Мы знаем, однако, что это разложение для ф однозначно с точностью до множителей изР.Так как, с другой стороны, однозначность разложения на неприводи­мые множители для многочленааотпнеизвестных имеет место по пред­положению индукции, а для примитивного многочлена /; доказана в предше­ствующей лемме, то наша теорема для случая «+1неизвестных также полностью доказана.

Из_чдоказанных выше лемм вытекает еще одно интересное следствие:если многочленф(*)с коэффициентами из Р[х₁, х₂,..., х_п] приводим над полем 0,—Р (%, х₂, ..., *„),то он может быть разложен на мно­жители, зависящие от х и имеющие коэффициентами многочлены из кольца Р[л^х₂, х_п].Действительно, если многочлену ф(х)соответствует при­митивный многочлен{(х), т. е. ф (д:)=а[(х),то, как мы знаем, из разложи­мости ф (х) следует разложимость1(х)\последнее приводит, однако, к раз­ложению ф(х)над кольцомР [х_1г х_г, х_п].

В отличие от случая многочленов от одного неизвестного, которые, как мы знаем из § 49, могут быть разложены на линейные множители над соот­ветственно подобранным расширением рассматриваемого основного поля, над любым полем Р существуют абсолютно неприводимые много­члены произвольной степени от нескольких(двух или более)неизвестных, т. е. многочлены, которые остаются неприводимыми при любом расширении этого ПОЛЯ.

Таков, например, многочлен

1(х, у) = ц>(х) + у,

где ф (х)— произвольный многочлен от одного неизвестного над полемР. Действительно, если бы в некотором расширенииРполяРсуществовало разложение

/.(*> {/)=£(*. У)Ь(х, У),

то, записывая § и Л по степеням у,мы получили бы, что, например,

ё(х, у) ==а₀ (х)у + а₁(х), к (х, у)=Ь₀(х),

т. е. А не зависит от у,а затем, ввидуа₀ (х) Ь₀ (х) = 1,чтоЬ₀(х)имеет сте­пень0, т. е. й не зависит и отх.

Лексикографическое расположение членов многочлена. Для

многочленов от одного неизвестного мы имеем два естественных спо­соба расположения членов — по убывающим и по возрастающим сте­пеням неизвестного. В случае многочленов от нескольких неизвест­ных такие способы уже отсутствуют: если дан многочлен пятой степени от трех неизвестных

У {Хх, Х%, ⁼⁼Х^Х^Х^ Х_гХз Х%Х$ Х^Х^Хз,то его можно было бы записать и в виде

/(*!, X2, х_г) — Х^Х^ Х^Х^Х^ Х±Х% х$ х^х^,

и нет оснований одну из этих записей предпочесть другой. Суще­ствует, однако, способ вполне определенного расположения членов многочлена от нескольких неизвестных, зависящий, впрочем, от вы­бора нумерации неизвестных; для многочленов от одного неизвест­ного он приводит к расположению членов по убывающим степеням неизвестного. Этот способ, называемый лексикографическим,под­сказан обычным приемом расположения слов в словарях («лексико­нах»): считая буквы упорядоченными так, как это принято в алфа­вите, мы определяем взаимное положение двух данных слов в словаре по их первым буквам, если же эти буквы совпадают, то по вторым буквам и т. д.

Пусть дан многочлен /(х₁,х₂,. ..,х_п)из кольцаР[х_1} х₂,...,д:_п] и в нем два различных члена:

(1)

а + ьУ 2, (1) 1

а + Ь 1/2 (2) 2

ё (*1, Ч *„) = Ф (*1- *2 315

1(х, у) = ц>(х) + у, 318

/(*!, X2, хг) — Х^Х^ Х^Х^Х^ Х±Х% х$ х^х^, 318

—1ог1 + 5*-2ог2— • • • ~Ь(—1)* — 1^1стА_1 + (— 1)й6огй = 0 (2) (к^п). 331

®8 = уМі —«*)= уК —*2), 332

/(а1, «2. • ■ ■> а„) = °- 334

/MgW = vh4vi+'-4 ... +с,.+/*(*+г>-"'+/>+ ... +с*+1. 351

/(*) = (*-3)(лг*+* + 2). 356

f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn~*+... +a„_1x+a„ нужно найти все целые корни многочлена 357

f(x) — aoXn -f a1xn~1 -j- ... +я„_1лг + ап с рациональными коэффициентами. Тогда, очевидно, многочлен . g(x) = anx,‘-i-an_1x'!~1-j- ... -f- atx -f- a0, 360

Ф с,/ s,t(x) = xn + aixn-l + $Jxn-*+ ... + 360

х = 0, ... а„ ... 362

О, РхР. (3) 362

= /_х,&2~^2> • • • »^1—1⁼А'—1>^Н<-^>Ь'

Иными словами, член (1) будет выше члена (2), если показатель при х_гв (1) больше, чем в (2), или если эти показатели равны, но показатель прих_ъв (1) больше, чем в (2), и т. д. Легко видеть, что из того, что член (1) выше члена (2), не следует, что степень первого по совокупности неизвестных больше степени второго: из членов

Х1Х%Хз_уХуХ^Х^

первый выше, хотя имеет меньшую степень.

„ Очевидно, что из любых двух различных членов многочлена /(х_х, х₂,.. .,х_п)один будет выше другого. Легко проверить также, что если член (1) выше члена (2), а член (2), в свою очередь, выше члена

х?'х?’... л£\ (3)

т. е. существует такое /, 1^/^п,что

1\⁼⁼^2~®2> • • ‘ »^/—1⁼—1» ^-^>®/*

то, независимо от того, будет ли / больше, равно или меньше /, член (1) будет выше члена (3). Таким образом, ставя раньше тот из двух членов, который выше, мы получим вполне определенное упорядочение членов многочлена f(x₁, х₂,... ,х_п), которое и назы­вается лексикографическим.

Так, многочлен

/{х_1}х₂, х_а, х^ — х⁴₁-\-Зх²₁х1х₃— х\х1х1 + 5х₁х₃х1 + 2х₂+ Х³₃Х4—4

расположен лексикографически.

При лексикографической записи многочлена f(x₁, х₂,...,х_п) один из его членов будет стоять на первом месте, т. е. будет выше всех других членов. Этот член называетсявысшим членом много­члена;в предшествующем примере высшим членом будет членх\. Относительно высших членов мы докажемлемму,которая будет использована при доказательстве основной теоремы следующего параграфа:

Высший член произведения двух многочленов от п неизвестных равен произведению высших членов сомножителей.

В самом деле, пусть перемножаются многочлены/(х_и х₂, ...,х_п) и §1*1,х₂, ... ,х_п).Если

ах\'х\² ... х^к_п^п (4)

будет высший член многочлена /(х_г, х₂, ... ,х_п),а

а'*! лг^ . .. х^(5)

• любой другой член этого многочлена, то существует такое /, 1^п,что

. . . , &;-! “ ^

Если, с другой стороны,

Ьх1ЛГа². . .х'п,(6)

Ь'х['х¹£ ... х(7)

будут высший и любой другой члены многочлена g(x₁, х₂, то существует такое у,1^у^/г,что

... , /у_ 1 — I}-\1 I] I]•

Перемножая члены (4) и (6), а также члены (5) и (7), мы получаем:

аЪх\^^кх\^^и.. . 4^П+Ч (8)

а'Ь’х\*^ихТ^и • • • х^\ (9)

Легко ' видеть, однако, что член (8) выше члена (9); если, напри­мер,I^ у, то

^к1+К —+ ^1. • • • . *1-1 4- А-1^{== 5}|-1 +^-1,НОк;4- /; > 5₍. +t_i,

так как й_;>5_;, Так же проверяется, что член (8) будет

выше произведения членов (4) и (7), а также выше произведения членов (5) и (6). Таким образом, член (8) — произведение высших членов многочленов / иg—будет выше всех других членов, полу­чающихся в результате почленного перемножения многочленовfug, а потому этот член не уничтожается при приведении подобных членов, т. е. остается высшим членом в произведенииfg.