Лекция 8

Лисенко В.І.

«Вища математика»

І КУРС

Опорні конспекти лекцій

Лекція №8. Прямі лінії та площини

Література:

1. Тевяшев А.Д., Литвин О.І. Вища математика в прикладах та задачах. Ч.І. – К.: Кондор, 2006. – 588 с. (с. 36-37, 45-50).

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч І.– М. 2005. –304 с. (с. 53-63).

3. Гусак А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов. В 2 т. Т.1. – Минск: ТетраСистемс, 2007 – 544с. (31-40 с.).

4. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум: Навчальний посібник: К.: Центр навч. Літератури, 2005 – 536с. (с. 103-109).

Основні теоретичні положення

Предметом аналітичної геометрії є вивчення геометричних образів алгебраїчними методами.

Кожна точка на площині ототожнюється з упорядкованою парою чисел, а в просторі – з упорядкованою трійкою чисел – координатами цієї точки.

1. Найпростіші задачі аналітичної геометрії:

а) Відстань між двома точками та

Розв’язання

Обчислимо координати вектора .

Знаходимо довжину вектора .

(1)

б)Поділ відрізка у заданому відношенні.

Нехай кінці відрізка задані своїми координатами та , а точка поділяє відрізок у відношенні . Тобто Інакше це можна записати так: . Запишемо останню рівність у векторній формі . Звідки:

, інакше

.

На основі рівності векторів, маємо:

(2)

Якщо точка М(x;y;z) поділяє відрізок навпіл, тобто , то

; ; (3)

Приклад 1. Знайти відстань між точками та , а також координати точки М, що поділяє відрізок у відношенні .

Розв’язання.

За формулою (1) маємо:

. Тоді

; ; .

Тобто ; ; ;

.

2. Основні задачі аналітичної геометрії

а) Складання рівняння геометричного об’єкта, який розглядають як геометричне місце точок.

б) Дослідження і побудова геометричного об’єкта за його рівнянням.

3. Пряма на площині

Означення: будь-яке рівняння першого степеня відносно x та y визначає на площині деяку пряму. Записують (3), де А, В, С – числові коефіцієнти, причому А і В одночасно не дорівнюють нулю.(записують )

Самостійно дома записати частинні випадки рівнянь прямих та побудувати їх графіки, якщо:

1) ; ; ;

2) ; ; ;

3) ; ; ;

4) ; ; ;

5) ; ; ;

Залежно від способу задання прямої на площині одержують різні види рівнянь, які систематизовані в таблиці 1.

Таблиця 1.

Примітка 1. Щоб одержати рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно вектору , треба на прямій вибрати точку і записати скалярний добуток векторів та . .

2. Щоб одержати канонічне рівняння прямої (чи рівняння прямої, що проходить через дві точки) треба записати в координатній формі колінеарність векторів та ( та ).

Другий спосіб.

Зведемо задані рівняння до рівнянь прямої з кутовим коефіцієнтом

Тепер тангенс шуканого кута можна знайти за формулою

;

Приклад 4.

Знайти відстань між двома прямими: та .

Розв’язання

Прямі задані загальними рівняннями є паралельні, оскільки координати векторів, перпендикулярних до цих прямих ( та ) пропорційні.

Знайдемо координати будь-якої точки, що задовольняє рівняння першої прямої.

Нехай х=2, тоді , звідки у=2. тобто точка належить першій прямій.

За формулою (4) знаходимо її відстань від другої прямої (тобто відстань між паралельними прямими).

4. Пряма у просторі. Основні види рівнянь прямої у просторі.

1. Рівняння прямої, що проходить через дві точки та

(12)

2. Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку і має напрямний вектор

(13)

3. Загальне рівняння прямої, що визначена перетином двох непаралельних площин

(14)

Приклад 5. Вершини трикутника АВС задані координатами: , , . Записати рівняння медіани АМ.

Розв’язання

Користуючись формулами (3), знаходимо

Координати точки як середини відрізка ВС.

; ; .

; ; .

Отже .

Скористаємось формулою рівняння прямої, що проходить через дві точки А та М.

. Одержимо

;

1. Види рівнянь площини.

а) Рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Нехай точка належить цій площині. Тоді вектор і перпендикулярні, а значить їх скалярний добуток дорівнює нулю.

; (1) –

рівняння площини, яка проходить через точку і має вектор нормаль

Якщо у формулі (1) розкрити дужки, то одержимо

ї

(*)

Позначимо . Тоді формула (*) матиме вигляд:

(2) – загальне рівняння площини.

Зауваження.

Вектор називають нормальним вектором або вектором нормалі площини .

Приклад 1.

Записати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .

Розв’язання:

У формулу (1) підставимо координати точки і вектора

;

;

;

.

Дослідимо загальне рівняння площини

1. Якщо D=0, то воно приймає вигляд і визначає площину, що проходить через початок координат. (Це рівняння задовольняє точка О(0;0;0))

2. Якщо А=0, то рівняння (2) приймає вигляд і визначає площину, вектор нормалі якої перпендикулярний осі Ox (Оскільки ), а значить площина паралельна до осі Ox. Отже, якщо у загальному рівнянні площини коефіцієнт при х дорівнює нулю, площина паралельна до осі Ох.

Аналогічно, якщо:

В=0, то площина паралельна осі Oy;

С=0, то площина паралельна Oz;

А=В=0. то площина паралельна до площини Оху;

А=С=0, то площина паралельна до площини Охz;

В=С=0, то площина паралельна до площини Оyz;

A=D=0, то площина проходить через Ох;

В=D=0, то площина проходить через Оу;

С=D=0, то площина проходить через Оz;

А=В=D=0, то площина Сz=0 співпадає з Оху;

В=С=D=0, то площина Ах=0 співпадає з Оyz;

А=С=D=0, то площина Ву=0 співпадає з Охz;

Якщо у рівнянні (2) коефіцієнт , то поділивши всі члени рівняння на і позначивши , , , одержимо:

; , тобто

(3) – рівняння площини у відрізках.

У цьому рівнянні , і – відповідно абсциса, ордината і апліката точок перетину площини з осями Ох, Оу та Оz.

Нехай на площині задані три точки , та . Візьмемо на площині довільну точку . Оскільки всі чотири точки лежать на площині, то вектори , та компланарні, тому їх мішаний добуток дорівнює нулю. (**)

Запишемо координати цих векторів

, ,

. Тоді рівність (**) прийме вигляд:

(4) –

Приклад 2.

Записати рівняння площини, яка проходить через три точки , , .

Розв’язання:

Скористаємось формулою (4)

, одержимо .

Звідки: , тобто . Поділимо почленно на . Одержимо , тобто .

Нехай , , . Тоді рівняння площини має вигляд , оскільки точки А, В і С лежать на осях Ох, Оу та Оz.

2. Кут між площинами. Умова паралельності і перпендикулярності двох площин.

Нехай задано дві площини і відповідно рівняннями:

Двогранний кут між площинами вимірюється лінійним кутом, який дорівнює куту між нормальними векторами цих площин та . Тоді (5)

Якщо , то , а значить . Тобто (6) –умова перпендикулярності площин.

Якщо , то , а значить їх координати пропорційні:

(7) – умова паралельності площин.

3. Відстань від точки до площини.

Якщо площина задана рівнянням , а точка , то відстань від точки до площини обчислюють за формулою:

(8) – відстань від точки до площини.

Приклад 3.

Знайти висоту АН піраміди, заданої своїми вершинами: , , , .

Розв’язання:

За формулою (4) знаходимо рівняння площини, яка проходить через точки B, C, D.

, ,

, , .

Висота АН дорівнює відстані від площини BCD до точки . Тобто:

.

4. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.

а) б)

Рис.1

Оскільки , то він утворює з направляючим вектором прямої кут (коли рис. 1(а)) або (коли рис. 1(б)).

Так як під розуміють гострий додатний кут, то , або . Тобто . Одержимо:

(9) – синус кута між прямою та площиною.

5. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.

.

, коли вектор нормалі площини , напрямний вектор прямої перпендикулярні. Тобто (10).

, при умові, що , тобто (11).

а) б)

Рис.2

Приклад 4.

Визначити кут між прямою і площиною Р, яка проходить через точки , , , .