Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт международных связей

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ, часть 2.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

890.05 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Методические указания по математическому анализу (часть 2)

Пример 1 Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

Решение : Частные производные от функции нескольких переменных по одной из переменных находятся в предположении, что другие переменные являются постоянными величинами. Таким образом, функция нескольких переменных становится обычной функцией одной переменной, к которой применяются все известные правила дифференцирования функции одной переменной.

Требуется найти Положим

Находим производную функции по переменной :

Полагая , находим первую производную функции

по переменной y:

Теперь найдем производные второго порядка. Возьмем первую производную по , считая постоянным, продифференцируем еще раз по .

Получим . Если, считая x постоянным, мы продифференцируем ещё раз, но уже по y, то получим

Теперь возьмем первую производную по и считая x постоянным, продифференцируем еще раз по y. Мы получим

Если мы, взяв , и считая y постоянным, продифференцируем еще раз, но по переменной x получим

Обратим внимание, что ; это равенство справедливо при условии непрерывности данных производных.

Пример 2. Даны функции и точка М(1,02;2,05). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции в точке М и оценить относительную погрешность.

Решение: Приближенное значение некоторой функции f(x,y) в точке (x,y) с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)

где , значение функции f(x,y) в точке .

Точка подбирается таким образом, чтобы легко вычислялось; , приращение функции f(x,y) в точке по переменным x и y соответственно.

В качестве точки возьмем точку N(1,2), так как значение x и y в точке N целые и точка N близка к данной точке M.

Тогда

в точке

Вычислим точное значение

Итак, принимая вместо точного значения 3,9979 значение , мы допускаем абсолютную погрешность или относительную погрешность

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в ограниченной замкнутой области D:

Решение: Точка являются точкой экстремума (максимума или минимума) функции z=f(x,y), если значение функции в этой точке соответственно больше или меньше значений, принимаемых ее в некоторой окрестности точки , то есть при всех x и y достаточно близких к и . Точка P, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции f(x,y) называются стационарной точкой этой функции.

Найдем стационарные точки функции z(x,y)

Стационарная точка y функции z одна. Это точка 0.

Входит ли точка (0,0) в область D? Построим эту область.

- - парабола с вершиной в точке (0,-4). Точки пересечения с осью x: , ,

- y=0 – ось x.

Точка (0,0) входит в область D. Установим, является ли стационарная точка 0 точкой экстремума. Это делается так: Пусть стационарная точка функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке

. .

Если , то функция f(x,y) имеет в точке экстремум:

max-при A<0 и min при A>0.

Если , то точка не является точкой экстремума.

Если , то требуется дополнительное исследование.

Исследуем нашу функцию z по формулам.

, точка (0,0) не является точкой экстремума.

4. Исследуем поведение функции на границе.

Так как Z не имеет ни max ни min, ее наибольшим и наименьшем значением является наибольшее и наименьшее из значений, принимаемых на границе.

Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее из значений, принимаемых на границе.

4а. Рассмотрим верхнюю границу y=1. На ней функция Z(x,1) превращается в

, в этой точке возможен экстремум. Знак производной меняется с – на +, то есть в точке - минимум z =-2.25

при

В точке

4б. Рассмотрим нижнюю границу

В точке производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума

В точке производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума . При функция z уже вычислялось. Видим, что от функция убывает до , затем возрастает до а затем убывает до .

То есть наименьшее значение для всей границы , а наибольшее

Ответ: Наибольшее значение функции z в замкнутой области D , наименьшее .

Пример 4. Даны функция трех переменных , вектор и точка .

Найти: 1) Grad u в точке M₀;

2) производную в точке M₀ по направлению вектора ;

Решение:

1) Вектором градиентом функции трех переменных u(x,y,z) является вектор grad (или в случае двух переменных)

Найдем частные произведения функции u:

Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке M_o.

Следовательно вектор-градиент в точке M₀ имеет вид:

2) Производная по направлению вектора вычисляется по формуле , то есть равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Так как , то его длина и, следовательно, единичный вектор, совпадающий по направлению с , , используя формулу скалярного произведения в координатной форме , получим

Итак производная функции u по направлению вектора равна .

Пример 5. Докажем сходимость ряда . Для этого ряда имеем , . Значит,

Так как , то ряд сходится.

Пример 6

Исследовать сходимость ряда (А):

Решение. Для ряда (А*), составленного из абсолютных величин рассматриваемого ряда, общий член . Применяем к ряду (А*) признак Даламбера:

Ряд (А) сходится абсолютно.

Пример 7. Определить область (абсолютной и условной) сходимости функционального ряда: .

Решение. При каждом значении имеем обычный числовой ряд. Применяем к нему признак Даламбера, как это делалось при исследовании абсолютной сходимости. Вводим величину:

Отыскиваем предел

Для тех значений , при которых , рассматриваемый ряд сходится абсолютно. Для значений , при которых , исследуемый ряд расходится, (общий член не стремится к нулю). Точки, для которых , подлежат специальному рассмотрению, так же как и точки, для которых нельзя было составить величину . В данном примере это точки . Сразу отметим, что при ряд состоит из одних нулей и, очевидно, является абсолютно сходящимся, а при ряд не определен. Решим неравенство .

Это неравенство равносильно следующему: . Но - расстояние от точки до точки , а - расстояние от точки до . Так как начало координат равноудалено от точек А и В, то неравенство |МА| < |МВ| выполняется, если точка М лежит на положительной полуоси, т.е. если . При имеем , и потому а поэтому ряд расходится.

При имеем , и потому эту точку рассматриваем отдельно. Получаем ряд: , который сходится условно.

Итак, областью сходимости ряда является числовой луч: [0; ). При: исследуемый ряд сходится условно, а в остальных точках луча: [0; ) - абсолютно.

Для отыскания области сходимости этого ряда можно было применить признак Коши (радикальный). В этом случае вводится последовательность и отыскивается предел (если он существует). Далее решается неравенство . На множестве, являющемся егo решением, ряд сходится абсолютно. Там, где , ряд расходится (общий член не стремится к нулю). Точки, в которых , требуют отдельного рассмотрения.

Пример 8. Найдем область сходимости ряда .

Решение. Применяем признак Даламбера. Имеем:

Если |, тогда .

Из выражения для следует, что и при и при | исследуемый ряд сходится абсолютно. Заметим, что при признак Даламбера не применим, но в этом случае ряд состоит из нулей и его абсолютная сходимость тривиальна.

Далее при , но в этих точках общий член ряда по абсолютной величине равен , и потому ряд расходится.

Итак, во всех точках числовой оси, кроме , рассматриваемый ряд сходится и притом абсолютно.

Пример 9..

Решение. Применим признак Даламбера .

Следовательно, и данный ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 2.

Решение. Применим признак Коши .

Следовательно, и ряд сходится только в точке .

Пример 10. .

Решение. .

Следовательно, и ряд сходится на интервале . Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1). Пусть .

Получим числовой ряд . Этот ряд расходится.

2). Пусть .

Получим числовой ряд

Этот ряд также расходится.

Таким образом, степенной ряд сходится только внутри промежутка .

Пример 11 Найти частное решение дифференциального уравнения , при условии .

Решение: ;

─ уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим обе части уравнения на xy, .

Интегрируя, получим: ; ;

; ─ общее решение.

y(1)=1; ln1+1-1=c; c=0; частное решение .

Пример 12 Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Обозначим , и проверим, являются ли эти функции однородными одной степени.

; , и однородные функции степени 1, данное уравнение является однородным.

Применим подстановку , ; ; разделим обе части уравнения на x, ; ; .

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

;; ;

;

Вместо u, в полученное решение, подставим ;; ;

─ общее решение уравнения.

Пример 13 Найти общее решение уравнения .

Решение: ─ уравнение линейное.

Применим подстановку ;

; найдем v из уравнения ;

; ;; ; .

Функцию u найдём из уравнения

; ;; ; .

Искомую функцию y находим из равенства

─ общее решение.

Пример 14 Найти общее решение уравнения .

Решение: ─ уравнение Бернулли.

Разделим обе части уравнения на , .

Введём замену ; и подставим в данное уравнение . Получили линейное уравнение.

Введём замену ; ;

; ; ;; ; ; ;; ; ; ; ; .

; ;

─ общее решение.

Решение однородного линейного дифференциального уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

характеристическое уравнение.

Корни характеристического уравнения	Вид решения
1. k₁, k₂ – действительные различные корни
2. k=k₁=k₂; k₁, k₂ – действительные равные корни
3. k_1, 2= k₁, k₂-комплексные корни

Пример 15

;

Характеристическое уравнение ; k₁=1, k₂=2;

Общее решение

Пример 16

; ; ;

Общее решение

Пример 17

; ; ; ,

Общее решение ─ .

Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

─ линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и g.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

─ общее решение соответствующего однородного уравнения;

─ частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Для подбора частного решения по виду правой части f(x) и корней характеристического уравнения можно пользоваться следующей таблицей.

Рассмотрим только те случаи, в которых корни характеристического уравнения – действительные числа.

Правая часть уравнения f(x)	Корни характеристическо-го уравнения	Вид частного решения уравнения
1. ─ действительное число ─ многочлен степени n>0 относительно x.	а) ─ не является корнем характеристическо-го уравнения, т.е ,
	б) ─ является корнем характеристическо-го уравнения =,
	в) ─ является двукратным корнем характеристичес-кого уравнения