Пример 12. Решить уравнение

Решение

Преобразуем уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, поскольку

Первое уравнение решим как однородное. Разделим обе его части на в противном случае, из уравнения, получим, что ичто невозможно). В результате деления на , приходим к уравнению:

Ответ:

Пример 13. Решите уравнение.

Решение

Преобразуем уравнение:

.

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

Ответ:

Пример 14. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение: . Применим тождество преобразования суммы синусов в произведение:.

Учитывая, что cosx функция четная, получим: .

Уравнение примет вид: .

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

.

Ответ: .

Пример 15. Решите уравнение.

Решение

Преобразуем уравнение, применяя тождество понижения порядка

, получим:

Ответ:

Пример 16. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем произведение функций в сумму, получим

Ответ:

Пример 17. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения:

.

Ответ: .

Пример 18. Решите уравнение

Решение

Область допустимых значений:

Преобразуем уравнение, заменив 1 на и преобразуя разность синусов, в правой части уравнения, в произведение. Тангенс, заменим на частное от деления синуса на косинус.

Отсюда находим

Определим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.

Для этого, установим, найдутся ли такие целые значения n, k, m, при которых:

Из этих неравенств видно, что ни при каких целых значениях k и n значения x не выйдут за область допустимых значений, т. е. оба множества корней входят в область допустимых значений и являются решениями уравнения.

Ответ: .

Пример 19. Решить уравнение

Решение

Преобразуем уравнения, используя формулы приведения и формулы преобразования произведения синусов и косинусов в сумму:

Ответ:

Пример 20. Решить уравнение

Решение

В правой части уравнения разложим разность квадратов на множители, а затем применим формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:

Левую часть уравнения преобразуем, используя формулы преобразования суммы синусов в произведение:

Уравнение примет вид:

,

Ответ: .

Пример 21. Решить уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

Преобразуем уравнение:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

- все значения входят в ОДЗ.

Ответ:

Пример 22. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, применяя формулу приведения:

,

. Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Ответ: .

Пример 23. Решите уравнение.

Решение

Преобразуем уравнение:

.

- это однородное уравнение первой степени, относительно sinxиcosx,.

Если допустить, что cosx= 0, тогда из уравнения следует,sinx= 0, но при одном и том же значенииxэто невозможно.

Разделим обе части уравнения на cosx, получим:

.

Ответ:;.

Пример 24. Решите уравнение.

Решение

Преобразуем уравнение:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности:

Уравнение cosx= 1,5 корней не имеет. Уравнениеcosx-sinx= 0 однородное первой степени относительноsinxиcosx,.

Если допустить, что cosx= 0, тогда из уравнения следует,sinx= 0, но при одном и том же значенииxэто невозможно.

Разделим обе части уравнения на cosx, получим:

.

Ответ: .

Пример 25. Решите уравнение5sinx=sin3x.

Решение

Преобразуем уравнение:

.

Ответ:.

Пример 26. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя тождества:

и .

Получим уравнение:

.

Ответ: .