- •Общие методические указания
- •Вопросы учебной программы
- •КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1.
- •Решение типового варианта контрольной работы
- •В данном случае будем иметь
- •Практические занятия для первого семестра.
- •Занятие 1. Вычисление определителей. Матрицы, действия над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •3. Решение линейных алгебраических систем.
- •Занятие 2. Линейные операции над векторами. Прямая на плоскости.
- •2. Непрерывность функции.
- •1. Возрастание, убывание функции. Экстремумы функции.
- •3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •4. Асимптоты графика функции.
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Аналогично, x |
= −1 |
|
и |
|
x |
= −5 – |
корни |
уравнения |
|
2x2 +11x +5 =0, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
(x |
+5)=(2x +1)(x +5). Подставляя в предел, |
||||||||||||||||||||
|
+11x +5 = 2 x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2x |
|
35 |
|
= 0 |
|
= lim ( |
|
)( |
|
|
) = lim |
x |
|
7 |
= |
|
12 = 4 . |
|||||||||||||
lim |
|
x |
2 |
|
|
x −7 |
x |
+5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
||||
x→−5 |
2x +11x +5 |
|
0 |
x→−5 |
(2x +1)(x +5) |
x→−5 |
(2x +1) |
|
−9 |
3 |
|||||||||||||||||||||
3) lim |
|
2x −1 |
−2x−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→∞ |
|
2x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем неопределенность вида 1∞ . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Для этого прибавим и вычтем в скобке 1, и (-1) приведем к общему знаменателю с дробью:
|
|
2x −1 −2x−4 |
∞ |
|
|
|
2x −1 |
−2x−4 |
|
|
lim |
|
|
|
=(1 |
)= lim |
1 |
+ |
|
−1 |
= |
|
2x + 4 |
|||||||||
x→∞ |
|
2x + 4 |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2x −1−2x − 4 −2x−4 |
|
|
|
−5 |
|
−2x−4 |
|
||
= lim |
1 |
+ |
|
|
= lim |
1 |
+ |
|
|
|
. |
|
2x + 4 |
2x + |
4 |
||||||||||
x→∞ |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
Преобразуем показатель степени:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−2 x−4) |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x+4 |
2 x+4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2x − |
1 |
−2x−4 |
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
= |
||
2x + |
|
|
|
|
2x + |
4 |
|
|||||||||||
x→∞ |
|
4 |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(−2 x−4) |
−5 |
|
|
lim 10x+20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ex→∞ |
|
|
2 x+4 = ex→∞ 2x+4 = e5. |
|
|
|
|
|
|
2. Непрерывность функции.
Теоретические сведения.
Непрерывность функции определяется в точках, принадлежащих области определения.
Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 D( f ) , если в точке x0 существуют односторонние пределы функции, они равны между собой и равны значению функции в точке x0 , т. е. если
lim |
f (x) = lim f (x) = f (x0 ) или f (x0 −0) = f (x0 +0) = f (x0 ) . |
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
Те точки области определения, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.
48
Классификация точек разрыва. Если точка разрыва функции f (x)
принадлежит множеству D( f ) и является двухсторонней предельной точкой этого множества, то различают разрывы двух видов.
1.Функция f (x) имеет в точке x0 разрыв первого рода, если в
этой точке существуют односторонние пределы функции, но по крайней мере один из них не равен значению данной функции в точке x0 . При этом возможны случаи:
f (x0 −0) = f (x0 +0) ≠ f (x0 ) ,
в этом случае f (x) в точке x0 имеет устранимый разрыв; если
|
|
|
f (x0 −0) ≠ f (x0 +0) , |
||
то в этом случае |
f (x) в точке x0 |
|
имеет разрыв с конечным скачком. |
||
При этом число |
|
|
f (x0 −0) − f (x0 +0) |
|
называют скачком функции f (x) в |
|
|
точке x0 .
2.Функция f (x) имеет в точке x0 разрыв второго рода, если в
этой точке по крайней мере один из односторонних пределов бесконечен или не существует.
Отметим важное свойство элементарных функций. Элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, причем в точке а она
непрерывна |
справа ( f (a +0) = f (a) ), а |
в точке |
|
|
b - |
|
слева |
|||
( f (b −0) = f (b) ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задания. |
|
|
3x +3 |
|
|
|
|||
1. Установить область непрерывности функции y = |
|
и найти |
||||||||
|
2x + 4 |
|||||||||
ее точки разрыва. |
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−9 |
, x ≠ 3, |
|
||||||
2. При |
каких значениях А функция |
|
|
|
|
|
будет |
|||
|
− |
3 |
||||||||
f (x) = x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
A, x =3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
непрерывной в точке x =3 ? Построить ее график.
Индивидуальные задания.
Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.
|
|
x + 4, x <1, |
|
|
x +1, x ≤ 0, |
1. |
|
|
2. |
|
|
f (x) = x2 + 2,−1 ≤ x <1, |
f (x) = (x +1)2 ,0 < x ≤ 2, |
||||
|
|
2x, x ≥1. |
|
|
−x + 4, x > 2. |
|
|
|
|
49
|
|
x + 2, x ≤ −1, |
|
|
−x, x ≤ 0, |
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = x2 +1,−1 < x ≤1, |
|
4. f (x) = −(x −1)2 ,0 < x < 2, |
|
|||||
|
|
−x +3, x >1. |
|
|
x −3, |
x ≥ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Решение типового варианта. |
|
x −1, x ≤ 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Исследовать данную функцию на непрерывность |
f (x) = |
|
< x < 2, |
||||
|
x2 ,0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x, |
x ≥ 2. |
|
Решение. Функция f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
определена и непрерывна на интервалах |
(−∞;0), (0;2) и (2;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках x1 = 0 и
x2 = 2 .
Исследуем на непрерывность функцию в точке x1 = 0 . Для этого
вычислим односторонние пределы и значение функции в точке x1 = 0 . Имеем:
|
f (0 −0) = lim |
f (x) = lim |
(x −1)= −1, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (0 +0) = lim |
f (x) = lim |
|
x2 = 0, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (0) =(x −1) |
|
x=0 = −1. |
|
|
|
x1 = 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так как |
f (0 −0) ≠ f (0 + 0) , |
то в точке |
данная |
функция |
имеет |
|||||||||||
разрыв |
с |
конечным |
скачком, |
и |
этот |
скачок |
равен |
|||||||||
|
f (0 −0) − f (0 + 0) |
|
= |
|
−1+ 0 |
|
=1. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Для точки x2 = 2 имеем: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f (2 −0) = lim |
f (x) = lim |
|
x2 = 4, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→2−0 |
|
|
|
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (2 +0) = lim |
f (x) = lim |
|
2x = 4, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→2+0 |
|
|
|
|
x→2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
f (2) = 2x x=2 = 4.
Так как f (2 −0) = f (2 +0) = f (2) , то в точке x2 = 2 функция непрерывна.
Занятие 4. Производная. Теоретические сведения.
Предел отношения приращения функции y к приращению
аргумента x при произвольном стремлении x к нулю называется
производной функции y = f (x) в точке x и обозначается одним из следующих символов: y′, f ′(x) , dydx . Таким образом
50
|
′ |
′ |
dy |
|
y |
|
f (x + x) − f (x) |
|
y |
|
= f (x) = |
|
= lim |
|
= lim |
|
. |
|
dx |
x |
x |
|||||
|
|
|
x→0 |
x→0 |
|
Если указанный предел существует, то функцию f (x) называют
дифференцируемой в точке x , а операцию нахождения производной y′ – дифференцированием.
Если С– постоянное число и u =u(x) , v = v(x) – некоторые
дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1.(u ±v)=u′± v′;
2.(Cu)′ =Cu′;
3.(uv)′ =u′v +v′u ;
4.u ′ = u′v −2 uv′ (v ≠ 0) .
v v
Производная сложной функции. Если y = f (u) , u =ϕ(x) , т.е. y = f (ϕ(x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то y′x = yu′u′x .
|
Таблица производных основных элементарных функций |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
(uα ) =αuα−1u′ |
(α R); |
9. |
(ctg u) = − |
|
|
|
u′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
sin2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2. |
(au )′ = au ln a u′; |
|
10. |
|
(arcsin |
u)′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u′; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
1−u2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
(eu )′ = euu′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
′ |
||||||||
|
1 |
|
|
|
11. |
|
(arccos |
u) |
= − |
1−u2 u |
||||||||||||||||||||||
4. |
(loga u)′ = |
|
|
|
|
u′; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
u ln |
a |
|
|
|
|
u)′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
(ln u)′ = 1 u′ |
; |
|
|
|
12. |
|
(arctg |
|
|
|
|
|
|
u′ |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
+u |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
(sin u) |
|
= cos u u′; |
13. |
|
(arcctg |
u) |
= − |
|
u′; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1+u2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7. |
(cos u)′ = −sin u u′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
(tg u) |
= |
|
u′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Найти производные следующих функций: |
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) y =5x4 −37 x3 + 7 / x8 +12 ; |
2) y = x5 sin x ; |
3) |
y = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
2.Используя формулы и правила дифференцирования, найти производные данных функций:
1) |
y = ex tg 3x ; |
|
tg2 3x |
|
|
|
||||||
2) |
y =sin5 (3x2 +1); |
9) y = ln4 x ; |
|
|
||||||||
3) |
y = ln3 (x −2−x ); |
10) |
y = x3tg5x ; |
|||||||||
11) |
y = x ctg |
2 |
(7x + 2); |
|||||||||
|
y = x sin2 x 2x2 ; |
|
||||||||||
4) |
12) |
y = 3 x4 + sin4 3x ; |
||||||||||
5) |
y = x3 ln2 x ; |
|
y = |
(x −4)2 |
||||||||
|
|
sin5x |
|
13) |
|
; |
||||||
6) |
y = |
; |
arccos 2x |
|||||||||
2 |
|
|
||||||||||
|
|
e−x |
14) |
y = ex ln |
sin x ; |
|||||||
7) |
y =(x9 +1)cos5x ; |
15) |
y = arctg2x ; |
|||||||||
8) |
y = |
tg5x |
|
|
e x |
|
|
|||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
e4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индивидуальные задания
Найти производные данных функций:.
Вариант 1 |
|
|
Вариант 2 |
|
||||||
1) |
y =9x3 +5/ x −7 / x4 + 3 x7 , |
1) |
y =3 x + 4/ x5 + 3 x2 −7 / x , |
|||||||
2) |
y = x2 sin3 3x , |
2) |
y = 3 x (e3x −5), |
|||||||
|
|
ln5x |
|
|
|
|
arcsin2 x |
|
||
3) |
y = ex2 |
. |
|
3) |
y = |
e |
x |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
Вариант 4 |
|
||||||
1) |
y = x3 + 2/ x5 − 4/ x5 −5x3 , |
1) |
y = 7x2 +3/ x − 5 x4 +8/ x3 , |
|||||||
2) |
y =3xln (1− x), |
2) |
y =(xe2x +3)5 , |
|||||||
3) |
y = |
ln x |
|
|
|
|
|
|
||
|
. |
|
y = |
ln3 x |
. |
|
||||
arcctgx2 |
3) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin3x |
|
||
|
|
|
|
Решение типового варианта |
||||||
|
Найти производные данных функций: |
|
|
|
|
|||||
|
1) y = 6/ x4 −3/ x +3x3 − x , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2) y = e2x sin3 (7x +3), |
|
|
|
|
|
|
52