Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Kр№2 (Заказ № 1113 - 2010)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

510.21 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «Брестский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации и варианты контрольной работы по разделам «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения», «Числовые и функциональные ряды» общего курса дисциплины «Высшая математика» для студентов экономических специальностей заочной формы обучения (сокращенной)

Брест 2010

УДК 51(075.8)

В настоящей методической разработке приведены варианты контрольных заданий по разделам «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения» и «Числовые и функциональные ряды» общего курса дисциплины «Высшая математика» для студентов экономических специальностей заочной формы обучения (сокращенной). Даны методические рекомендации, полезные для успешного выполнения контрольной работы.

Составители: Гладкий И.И., доцент, Дерачиц Н.А., ассистент

Лебедь С.Ф., доцент, к.ф.-м.н.

Махнист Л.П., доцент, к.т.н.

Рецензент: Савчук В.Ф., зав. кафедрой информатики и прикладной математики УО «Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина», к.ф.-м.н., доцент.

Организационно-методические указания

Вконтрольную работу по разделам «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения» и «Числовые и функциональные ряды» общего курса дисциплины «Высшая математика» включено восемь заданий. В нумерации задач первое число – номер задания (задачи), второе (после точки) – номер варианта.

Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии со своим вариантом. Номер варианта определяется по двум послед-

ним цифрам шифра (номера зачетной книжки студента).

При выполнении контрольной работы условия задач нужно запи-

сывать полностью. В случае, если задача имеет общую формулировку, ее условие следует переписывать, заменяя общие данные конкретными, соответствующими номеру варианта.

Решение всех задач приводить подробно и аккуратно, давать достаточные пояснения и делать необходимые рисунки и таблицы.

Вконце каждой задачи должен быть ответ.

Вопросы учебной программы

1.Понятие функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных.

2.Производная по направлению. Градиент.

3.Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия.

4.Метод наименьших квадратов.

5.Первообразная и неопределенный интеграл.

6.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

7.Основные методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.

8.Задача о площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл.

9.Свойства определенного интеграла.

10.Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.

11.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

12.Приложения определенного интеграла в экономике.

13.Понятие несобственных интегралов первого и второго рода.

14.Понятие двойного интеграла, его свойства. Вычисление двойного интеграла по правильным областям.

15.Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Задача Коши. Теорема существования (формулировка).

16.ДУ с разделяющимися переменными.

17.Линейные ДУ первого порядка. Однородные ДУ первого порядка.

18.ДУ второго порядка. Задача Коши. ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.

19.Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ). Свойства решений.

20.Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского.

21.Однородные ЛДУ второго порядка. Метод Эйлера.

22.Неоднородные ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

23.Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.

24.Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.

25.Знакопеременные ряды. Условная и абсолютная сходимость.

26.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

27.Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.

28.Свойства степенных рядов.

29.Разложение в степенные ряды функций ex , sin x, cos x, (1+ x)m.

30.Приложения степенных рядов.

Задания контрольной работы

Задание 1

Задана функция z = f (x,y ) . Требуется: а) найти частные производные функции z ;

б) найти градиент функции z в точке M0(x0;y0 );

в) вычислить производную функции z в точке M0 в направлении векто-
ра aG	;
г) вычислить эластичность функции z по x и по y в точке M0 ;
д) исследовать на экстремум.			G
1.1	z = x2 + xy + y2 −3x −6;	M0 (1; 2) ;
			a = ( 3;4) .
1.2	z = 2x3 − xy2 +5x2 + y2 ;	M0 (1; −1) ;	G
			a = ( −3;4).
1.3	z = x2 + xy + y2 −6x −9y ;	M0 (2;3);	G	−3) .
			a = ( 4;
1.4	z = −x2 − xy − y2 +3x + 6;	M0 (2; −2);	G
			a = ( − 4;−3).
1.5	z = x2 + xy + y2 −6x −9y ;	M0 (−1; 2) ;	G	−8).
			a = ( 6;
1.6	z = x2 + xy + y2 −6x −9y ;	M0 (3; −2);	G
			a = ( −8;6) .
1.7	z = x2 + xy + y2 −6x −9y ;	M0 (−2;2);	G
			a = ( − 4;3).
1.8	z = x2 + 4xy + y2 −2y −1;	M0 (−1; −1) ;	G	−8).
			a = ( 6;
4

1.9z = 6xy −9x2 −9y2 + 4x + 4y +3;

1.10z = 2x3 − y2 +2xy +2 ;

1.11z = y2 + 4xy + x2 −2x +1;

1.12z = x2 − xy + y2 − 4x + 2 ;

1.13z = x3 −6xy − y2 + 4 ;

1.14z = y3 +3yx2 −15y −12x +5 ;

1.15z = y3 +3yx2 −15y −12x +5 ;

1.16z = 3x2 − x3 +3y2 + 4y ;

1.17z = x2 +2x + y2 + 4y −6;

1.18z = x2 −6x + y2 + 4y +2;

1.19z =1+15x −2x2 − xy −2y2 ;

1.20z = x2 + xy + y2 − 4x −5y +3 ;

1.21z = 2xy −3x2 −2y2 +10;

1.22z = x2 − xy + y2 +3x −2y + 2;

1.23z = x2 −2xy + 4y2 +10;

1.24z = x2 + xy + y2 − 4x −5y +3 ;

1.25z = 3y2 − y3 +3x2 + 4x ;

1.26z = x2 + xy + y2 − 4x −5y +3 ;

1.27z = y3 −6xy − x2 +5;

1.28z = x3 +3xy2 −15x −12y ;

1.29z = x2 + y2 + xy −3y −6x +1;

1.30z = x2 + y2 + xy −3y −6x +1;

M0 (−1; −1) ; M0 (−1; −1) ; M0 (−2;2); M0 (1; − 4); M0 (2; −2); M0 (−1; −1) ; M0 (3; −2); M0 (2; 4);

M0 (4; −1); M0 (2; −1) ; M0 (2;3); M0 (2;−3); M0 (−2;−3) ; M0 (−1; −1) ; M0 (−2;−2) ; M0 (2;3); M0 (2;3); M0 (3; −2); M0 (1; −3) ; M0 (1; −1) ; M0 (1;−2); M0 (2;1);

aG = (12;5). aG = ( 6;−8). aG = (12;5). aG = ( −5;12) . aG = ( − 6;8). aG = (12;5). aG = ( 8;−6) . aG = ( 8;15) . aG = ( − 6;8) . aG = ( − 8;15) .

aG = ( − 8;−15) . aG = ( −15;8) . aG = ( − 8;−6) . aG = ( −15;−8) . aG = ( − 3;−4) . aG = ( 6;−8).

aG = ( − 3;−4) . aG = (−12;5). aG = ( −8;6). aG = ( − 6;8). aG = ( − 4;−3). a = ( 8;15) .

Задание 2 2.01-2.15 Приведены данные за определенный период по банкам кате-

гории B для сумм вклада от 50 тыс. до 500 тыс. долларов для юридических лиц. Найти зависимость вида y = a x +b величины средней банков-

ской ставки y по срочным валютным депозитам от срока вклада в меся-

цах x . Вычислить банковскую ставку для вкладов такого рода на срок i месяцев. На сколько в среднем увеличится процентная ставка при увеличении срока вклада на один месяц?

Срок вклада (мес.), x	1	2	3	4	5	6	9
% годовых, y	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7

Необходимые числовые данные приведены в таблице 1:

Таблица 1

	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	i
2.01	9,56	10,94	12,00	11,74	12,14	13,14	14,17	7
2.02	9,26	10,64	11,70	11,34	11,84	12,84	13,87	8
2.03	9,82	10,63	11,98	11,85	12,36	13,47	14,39	10
2.04	9,94	11,34	12,40	12,14	12,54	13,54	14,57	11
2.05	10,56	11,93	13,02	12,70	13,12	14,14	15,18	13
2.06	8,55	9,93	11,99	10,73	11,13	12,15	13,16	12
2.07	8,61	9,81	11,97	10,76	11,25	12,30	13,41	13
2.08	9,76	10,53	11,65	11,93	12,74	13,51	14,50	11
2.09	10,46	11,83	12,92	12,61	13,02	14,18	13,78	10
2.10	9,62	10,03	11,38	11,25	11,76	12,87	13,79	8
2.11	8,85	10,23	12,29	11,03	11,43	12,45	13,46	7
2.12	10,35	11,73	12,82	12,51	12,83	13,85	14,98	11
2.13	11,05	12,44	13,52	13,23	13,54	14,76	15,63	10
2.14	9,70	10,52	11,86	11,52	12,22	13,24	14,01	8
2.15	9,62	10,82	11,96	12,70	11,50	12,22	13,02	7

2.16-2.30 Приведены данные о росте индекса Доу-Джонса и росте цены акций (долл.). Найти зависимость вида y = ax + b между ростом цены

акций y и ростом индекса x . Вычислить рост цены акции при росте индекса, равным x0 .

		x		2,0		2,5		3,0		3,1	3,5	3,7	4,3
	y (долл.)				y1	y2		y3		y4	y5	y6	y7
Необходимые числовые данные приведены в таблице 2:
												Таблица 2
		y1	y2		y3		y4		y5		y6	y7	x0
	2.16	4,4	4,5		4,6		4,6		4,7		4,8	4,9	2,6
	2.17	4,3	4,2		4,4		4,5		4,6		4,8	5,0	2,7
	2.18	4.5	4,6		4,7		4,8		4,7		4,9	5,1	2,8
	2.19	4,0	4,1		4,2		4,3		4,4		4,6	4,8	2,9
	2.20	4,7	4,8		4,9		5,0		4,9		5,1	5,2	3,2
	2.21	5,5	6,6		5,6		5,6		5,8		5,9	6,0	3,3
	2.22	4,5	5,1		5,2		5,4		5,3		5,2	6,2	3,4
	2.23	6,3	6,6		6,8		6,7		7,0		6,9	7,1	3,6
	2.24	2,3	4,4		3,4		3,2		3,6		3,7	4,2	3,8
	2.25	5,2	6,3		5,3		5,2		5,6		5,7	5,9	3,9
	2.26	2,4	2,6		2,7		2,8		2,9		3,0	3,4	4,0
	2.27	3,7	3,8		3,9		4,0		4,1		4,6	4,8	4,1
	2.28	6,0	6,3		6,5		6,1		6,6		6,8	7,3	4,2
	2.29	4,1	4,2		4,3		4,4		4,5		4,7	4,9	2,1
	2.30	4,8	4,9		5,0		5.1		5,2		5,4	5,7	2,3

Задание 3

Найти неопределённые интегралы.

а)

б)

в)

∫

cos x dx

∫(x +3)e−x dx ;

∫

(x −1)dx

3.01

;

4 −sin2 x

x (4 +

x )

∫

sin x dx

∫(

2x −1)e2 x dx ;

∫

3.02

;

4 x (9 +

x )

cos2 x −3

3.03

∫x2 ex3 dx ;

∫(

4x + 2)sin2x dx ;

∫

x dx

4 − x

∫

∫x sin x cos x dx ;

∫

3.04

;

x (x + 4

x + 4).

x6 − 25

3.05

∫sin3 x cos x dx ;

∫x2 ln x dx ;

∫

x −1dx

x + 3

ex dx

∫(

x +1 cos3x dx ;

∫

3.06

∫4 + e2x ;

x + 2 (x − 6

x + 2 +11)

)

3.07

∫arctg1+ x2x dx ;

∫x e−2x dx ;

∫

x dx

x (2 − x )

3.08

∫

sin x dx

;

∫(1−2x)e3x dx ;

∫

x dx

9 −cos2 x

x + 4

3.09

∫

;

∫(4x −1)e

−3x

dx ;

∫

x ln2 x + 2

x −3 (x − 4)

3.10

∫x 3 4 + x2dx ;

∫(x + 2)cos

dx ;

∫

x (x + 3)

3.11

∫

cos

dx ;

∫(1−3x)sin

dx ;

∫

3 x (x −9 3 x )

3.12

∫

2x dx

;

∫(2 − x)e−x dx ;

∫

2dx

3 x −1(x −1+ 36 3 x −1)

1+ x2

∫

sin x dx

∫(

2 −3x)sin2x dx ;

∫

3.13

;

3 x2 (1+ 3 x )

cos2 x − 4

3.14

∫cos4 x sin x dx ;

∫(2 + 3x)e− 2 dx ;

∫

x +1dx(x −3).

а)

б)

в)

x dx

−

∫

3.15

∫

;

∫(3x − 4)e

3 dx ;

3 x2 (4 + 3 x2 ).

cos2 x2

∫sinlnx

x dx ;

∫(x + 2)ln x dx ;

∫

x −1dx

3.16

(x −1)(x −2 x −1)

x −1 dx

3.17

∫

;

∫(x +5)sin 4x dx ;

∫(

x −)1 .

cos2 x

4 −tg2x

∫

3 x dx

3.18

∫

x dx

;

∫(3x −1)cos 4x dx ;

3(x + 43 x )

3 x3 + 4

x+1

∫

3.19

∫

dx ;

∫(3x + 4)e3x dx ;

x (2 x −34 x )

x +1

;

x2 +1

3.20

∫x 4 −ln2 x

∫(3 − x)cos x dx ;

∫

x −1

dx .

∫

ex dx

∫(x +3)sin 4x dx ;

∫

3.21

;

4 x ( x + 4 x ).

e2x −9

∫

3 arcsin x +1

∫x ex+2 dx ;

∫

2dx

3.22

dx ;

2x + 4 (

2x + 4 +7)

1− x2

3.23

∫x sin(1− x2 )dx ;

∫x e2x−1 dx ;

∫

2x dx

2x −1

∫cosx x dx ;

∫(x +5)e−2x dx ;

∫

3.24

x −1( x −1 + 2)

∫

ctg x −1

∫(4 − x)cos5x dx ;

∫

3.25

;

dx .

sin2 x

x + 2

3.26

∫

x dx

;

∫(1+5x)sin2x dx ;

∫

dx .

3x3 + 4

x −1

3.27

∫

arcsin x

dx ;

∫(7 −2x)cos

dx ;

∫

x dx

1− x2

x + 2

∫

x dx

∫x sin(2x +3)dx ;

∫

3.28

;

6 − x4

x +1 +

(x +1)3

3.29

∫

;

∫(x + 2)e−3x dx ;

∫

sin2 x cos2 x

(2 − x) +

1− x

	а)	б)			в)
3.30	∫ex cosex dx ;	∫(x −1)cos(x −1)dx ;	∫	dx		.
				2 1+ x +1
			(		)

Задание 4

Найти выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков товара, законы спроса и предложения на которые определяются функциями:

D : p = a − x2 , S : p = b + c x2 ,

где x – количество товара, p – цена на этот товар.

Данные к задаче взять из таблицы 3.

Таблица 3

	4.01	4.02	4.03	4.04	4.05	4.06	4.07	4.08	4.09	4.10
a	18	35,6	49	38	100	88	22	23,3	34	32
b	6	14,8	13	32	46	13	12	17,7	10	12
c	2	0,3	3	0,5	5	2	1,5	0,4	0,5	0,25

	4.11	4.12	4.13	4.14	4.15	4.16	4.17	4.18	4.19	4.20
a	13,2	47	43	16	52	75	50	48	60	83
b	2,4	15	15	7	17	19	27,5	30	12	23
c	0,2	1	6	1,25	0,4	2,5	1,5	0,125	2	14

	4.21	4.22	4.23	4.24	4.25	4.26	4.27	4.28	4.29	4.30
a	150	78	70	66	43	19	51	52	55	70
b	40	46	15	21	13	6	27	7	10	54
c	0,1	7	1,2	4	0,2	2,25	5	4	0,25	3

Задание 5

Найти общее решение дифференциальных уравнений.

5.01y′ + sin x y = (2x −1)ecos x .

5.03x y′ + y = ex .

5.05x y′− y = 2x ln x .

5.07y′ + tg x y = (6x2 +1)cos x .

5.09cos x y′−sin x y = e−x .

5.11x y′+3y =12 (1+ x).

5.13x ln x y′− y = 3x3 ln2 x .

5.15 y′−	2y		(x +1)2
		=	cos2 x .
	x +1

5.02y′+ 2x y = 3x2 + 4x + 2 .

5.04x2 y′ − 2x y = 3 .

5.06x y′ + y = 3 x2 .

5.08x y′ − 2y = 2x4 .

5.10y′+cos x y = cos x .

5.12x y′ − 2y = x3 cos x .

5.14	(x +1)y′− y = ex (x +1)2 .
5.16	y′+	2xy	=	2sin2x .
		1+ x2
				1+ x2

5.17

y′−ctgx y = 2x sin x .

5.18

x y′+ y = −2ln x .

5.19

y′+ 2x y = 2x e−x2 .

5.20

(x2 +1)y′+ 4xy = 3 .

5.21

y′−3x2y = 3x2ex3 .

5.22

(x +1)y′+ y = x3 + x2 .

5.23

x2y′ + x y = −1.

5.24

y′+2y = e−x .

5.25

y′− 2x y = 3x

x ex2 .

5.26

cos x y′−sin x y = 2x .

5.27

y′ −tgx y

5.28

y′−

y = 4(x −2)3 .

−2

cos3 x

5.29

y′−cos x y = (2x +cos x)esin x . 5.30

(x +1)2 y′+(x +1)y = 2 .

а) Решить задачу Коши.

Задание 6

б) Найти общее решение дифференциального уравнения

6.01

а) y

′′

−2y

′

+5y = 0 ,

y(0) = 5 ,

′

= 7 ;

б) y

′′

− 4y

′

−21y = 0 .

y (0)

6.02

а) y

′′

− y

′

−2y = 0 ,

y(0) = 3 ,

′

= 3 ;

б) y

′′

+10y

′

+ 25y = 0 .

y (0)

6.03

а) y

′′

+5y

′

+ 6y = 0 ,

y(0) =1,

′

= −4 ;

б) y

′′

−6y

′

+10y = 0 .

y (0)

6.04

а) y

′′

+ 4y

′

−5y = 0 ,

y(0) = −4 ,

′

= 2 ;

б) y

′′

+ 4y

′

+8y = 0.

y (0)

6.05

а) y

′′

+ 4y

′

+ 4y = 0 ,

y(0) =1,

′

= −1;

б) y

′′

+ 6y

′

= 0 .

y (0)

6.06

а) y

′′

−3y

′

+ 2y = 0 ,

y(0) = 2 ,

′

=1;

б) 4y

′′

−12y

′

+9y = 0 .

y (0)

6.07

а) y

′′

+9y = 0 ,

y(0) = −1,

′

= 3 ;

б) y

′′

−7y

′

+12y = 0.

y (0)

6.08

а) y

′′

+ 2y

′

−8y = 0 ,

y(0) = −2 ,

′

= −2 ;

б) y

′′

+3y = 0 .

y (0)

6.09

а) y

′′

+ 2y

′

+17y = 0 ,

y(0) = −1,

′

= 5 ;

б) y

′′

−6y

′

−7y = 0 .

y (0)

6.10

а) y

′′

−5y

′

+ 6y = 0 ,

y(0) =1,

′

= 4 ;

б) y

′′

− 4y

′

+13y = 0 .

y (0)

6.11

а) y

′′

−7y

′

+10y = 0 ,

y(0) = −1,

′

= 2 ;

б) y

′′

+9y = 0 .

y (0)

6.12

а) y

′′

−6y

′

+10y = 0 ,

y(0) = 0 ,

′

=1;

б) y

′′

+7y

′

+ 6y = 0 .

y (0)

6.13

а) y

′′

+ y

′

−2y = 0 ,

y(0) =1,

′

= 4 ;

б) y

′′

+ y

′

= 0 .

y (0)

6.14

а) y

′′

−7y

′

+ 6y = 0 ,

y(0) = −3 ,

′

= 2 ;

б) y

′′

−6y

′

+ 25y = 0 .

y (0)

6.15

а) y

′′

−3y

′

= 0,

y(0) = 2 ,

′

= 3 ;

б) y

′′

− 4y

′

+ 20y = 0 .

y (0)

6.16

а) y

′′

+10y

′

+ 25y = 0 ,

y(0) =1,

′

= −1;

б) y

′′

+ 2y = 0 .

y (0)

6.17

а) y

′′

−2y

′

−3y = 0,

y(0) = 2 ,

′

= 0 ;

б) 4y

′′

+ 4y

′

+ y = 0 .

y (0)

6.18

а) y

′′

+ 4y = 0 ,

y(0) = −1,

′

= 2 ;

б) y

′′

+ 2y

′

−15y = 0 .

y (0)

6.19

а) y

′′

+8y

′

+ 25y = 0 ,

y(0) = 0 ,

′

= 4 ;

б) y

′′

−11y

′

+10y = 0 .

y (0)

6.20

а) y

′′

−7y

′

−8y = 0,

y(0) = 3 ,

′

= 3 ;

б) y

′′

+5y = 0 .

y (0)

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.03.2016591.04 Кб65Kontrolnaya_rabota_po_matematike_4.pdf
#
01.03.2016510.21 Кб10Kр№2 (Заказ № 1113 - 2010).pdf
#
01.03.20164.23 Mб32Аттестационная работа.doc
#
01.03.201683.76 Кб65вышка(Rutegs).docx
#
01.03.2016702.19 Кб55вышка.docx
#
01.03.20161.77 Mб124Вышмат. Часть 1. Первый семестр. БрГТУ.pdf
#
01.03.2016605.31 Кб101Контрольная работа по математике №2.pdf