Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Контрольная работа по математике №2.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

605.31 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь

Брестский государственный технический университет

Кафедра высшей математики

Функция нескольких переменных

Интегральное исчисление функции одной переменной

Дифференциальные уравнения

Методические рекомендации и варианты контрольных работ

по разделам «Функция нескольких переменных.

Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения»

для студентов технических специальностей заочной формы обучения

Брест 2003

УДК 517.9

В настоящей методической разработке приведены варианты контрольных заданий по разделам «Функция нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения» общего курса высшей математики для студентов технических специальностей заочной формы обучения. Даны некоторые методические рекомендации, полезные для успешного выполнения контрольных работ.

Составители: А.В. Санюкевич, к.ф.-м.н., доцент Л.Т. Мороз, доцент А.В. Дворниченко, ассистент

Рецензент: Н.Н.Сендер, заведующий кафедрой высшей математики Брестского государственного университета, канд. физ.-мат. наук, доцент

Методические указания к выполнению контрольной работы

В соответствии с учебным планом студенты-заочники I курса всех технических специальностей во II семестре выполняют две письменные контрольные работы по курсу «Высшая математика».

Задания в контрольных работах составлены в тридцати вариантах. Выбор варианта определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента. Приступая к выполнению контрольной работы, необходимо ознакомиться с соответствующими разделами программы курса и методическими указаниями, изучить литературу. Далее следует предварительно наметить схему решения задачи.

Требования к выполнению контрольной работы.

1.Контрольная работа должна быть выполнена и представлена в установленные сроки.

2.В начале работы должен быть указан номер варианта работы.

3.Задачи нужно решать в том порядке, в каком они даны в задании.

4.Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие. Необходимо отделить решение задачи от ее условия некоторым интервалом. В том случае, если задача имеет общую формулировку, ее условие следует переписывать, заменяя общие данные конкретными, соответствующими номеру варианта.

5.Решение задачи следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями. Задачи, к которым даны ответы без развернутых расчетов, пояснений и кратких выводов, будут считаться нерешенными.

6.Выполненная контрольная работа должна быть оформлена аккуратно, написана разборчиво, чисто, без помарок и зачеркиваний. Запрещается произвольно сокращать слова (допускаются лишь общепринятые сокращения).

7.В конце работы следует привести список использованной литературы (автор, название учебника, главы, параграфа, страницы). Работа должна быть подписана студентом с указанием даты ее выполнения.

8.При удовлетворительном выполнении работа оценивается “допущена к защите”. К собеседованию студент обязан учесть все замечания рецензента и, не переписывая работу, внести в нее необходимые исправления и дополнения. После успешного прохождения собеседования студент получает зачет по работе и допускается к экзамену. Студенты, не получившие зачета по предусмотренным учебным планом работам, к экзаменам не допускаются.

На обложку контрольной работы необходимо наклеить бланк установленного образца и разборчиво заполнить все имеющиеся там реквизиты, отсутствие которых может задержать отправку проверенной работы. Указывайте индекс вашего предприятия связи, разборчиво пишите свою фамилию.

Если студент не может самостоятельно выполнить контрольную работу или какую-то ее часть, следует обратиться к ведущему преподавателю за консультацией. В письменном запросе надо точно указать, что именно непонятно и какая литература использована при написании работы.

Вопросы по разделам «Функция нескольких переменных.

Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения»

1.Функции нескольких переменных (ФНП). Определение, способы задания и геометрическая интерпретация ФНП.

2.Предел и непрерывность ФНП. Частные приращения и частные производные.

3.Полное приращение ФНП и дифференцируемость ФНП. Полный дифференциал ФНП.

4.Достаточные условия дифференцируемости ФНП. Приложение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

5.Производная сложной функции. Производные неявной функции.

6.Частные производные и дифференциалы высших порядков.

7.Производная по направлению. Градиент и его свойства. Линии и поверхности уровня.

8.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

9.Экстремум ФНП. Необходимые и достаточные условия экстремума ФНП.

10.Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Условный экстремум ФНП.

11.Метод множителей Лагранжа.

12.Метод наименьших квадратов.

13.Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование.

14.Методы интегрирования в неопределенном интеграле: замена переменной, интегрирование по частям.

15.Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование простейших рациональных дробей. Общая схема интегрирования рациональных дробей.

16.Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

17.Интегрирование чётных и нечётных степеней и произведений тригонометрических функций. Интегрирование рациональных тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.

18.Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

19.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Геометрический и механический смыслы определенного интеграла.

20.Свойства определенного интеграла.

21.Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

22.Методы интегрирования определенного интеграла: метод подстановки (замены переменной); формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

23.Интегрирование четных, нечетных и периодических функций.

24.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теоремы сравнения.

25.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теоремы сравнения.

26.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей в декартовых и полярных координатах; вычисление объемов тел; вычисление длины кривой.

27.Механические приложения определенного интеграла: масса плоской пластины; статические моменты плоской фигуры; центр тяжести плоской фигуры.

28.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные понятия ДУ.

29.Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения.

30.Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в квадратурах: ДУ с разделяющимися переменными; однородные ДУ; линейные ДУ первого порядка; уравнение Бернулли.

31.ДУ высших порядков. Общие понятия. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Понятие краевой задачи.

32.Уравнения, допускающие понижение порядка.

33.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, их свойства.

34.Структура общего решения ЛОДУ. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами.

35.Линейные неоднородные ДУ (ЛНДУ). Структура общего решения ЛНДУ.

36.ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

37.Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

38.Системы дифференциальных уравнений. Определение, общее решение, задача Коши.

39.Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключения.

40.Линейные нормальные системы ДУ с постоянными коэффициентами.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

"ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ"

Задание 1. По данной функции z=f(x,y) вычислить выражение F.

Варианты 01–06:

1.01z = x x2 + y2 ;

1.04z = arctg(2x − y) ;

Варианты 07–12:


1.07	z =		y	+sin		y	;

			x			x
1.10	z = y cos x − xsin y ;
Варианты 13–18:
1.13	z =	x + y			;

			y
1.16	z = xsin(x + y) ;

Варианты 19–24:

1.19 z = y x2 − y2 ; 1.22 z = x + cos2 y ;

Варианты 25–30:

1.25	z = yex + x				y ;
1.28	z =	x	+ln	y	;
		y		x

F = ∂2 z −2 ∂2 z + 3 ∂z .

∂x2 ∂x∂y ∂y

1.02	z = ex cos y + ey sin x ;
1.05	z = arcsin(x + y) ;

F = ∂2 z + 2 ∂2 z − ∂z . ∂x2 ∂y∂x ∂x

1.08 z = xxy− y ;

1.11z = 2cos2 (x − y) ;


F = 2		∂2 z		+	∂2 z		−4	∂z	.
F = 2		∂x2		+	∂y2		−4	∂y	.
		∂x2			∂y2			∂y
1.14	z =		x + y			;
1.14	z =					;
			y − x
1.17	z = (x + y)sin(xy) ;

F = 2 ∂2 z + ∂2 z − ∂z ∂z . ∂x∂y ∂y2 ∂x ∂y

1.20	z = y x2 +1 ;
1.23	z = cos y + xsin y ;

F = ∂2 z +4 ∂2 z +4 ∂2 z .

∂x2 ∂x∂y ∂y2

1.26 z = ex cos y − ysin x ;

1.29	z =	x	+sin	y	;
		y		x

1.03	z = exy + xy ;
1.06	z =sin x cos y ;

1.09	z =	x	ln	y	;
		y		x

1.12	z = y ln x +				y ;

1.15	z =	x + y	;
		yx

1.18	z = arccos( y − x) ;

1.21 z = y x2 + y2 ;

1.24z = 2sin2 (x + y) ;

1.27	z = y cos(x + y) ;
1.30	z = x y +cos	y	.

		x

Задание 2. Найти экстремум функции двух переменных z = ax2 +bxy +cy2 + dx + ky + m .

№

варианта

2.1

–2

2.2

–2

–4

–5

–2

2.3

–3

–2

–7

2.4

–3

№	a	b			с					d		k	m		№	a		b	c	d	k	m
варианта	a	b			с					d		k	m		варианта	a		b	c	d	k	m
2.5	5	2			1				3			1	4		2.6	–6		2	–3	–4	–5	–4
2.5	5	2			1				3			1	4		2.6	–6		2	–3	–4	–5	–4
2.7	–7	–1			–2				–5			–9	–5		2.8	8		–8	3	4	4	0
2.9	9	10			3				8			–1	7		2.10	–10		–6	–1	–6	6	0
2.11	–1	–5			–7				3			6	–7		2.12	2		6	5	–1	2	4
2.13	3	6			4				–3			–6	4		2.14	–4		–10	–7	–3	6	–2
2.15	–5	–14			–10				–2			1	0		2.16	6		–10	5	4	–6	7
2.17	7	9			3				2			–6	8		2.18	–8		–12	–5	4	1	0
2.19	–9	–1			–1				–4			6	3		2.20	10		8	2	9	3	–5
2.21	1	–4			5				–3			1	5		2.22	–2		–8	–9	–8	6	5
2.23	–3	–10			–9				2			6	2		2.24	4		8	2	–2	–4	6
2.25	5	8			4				4			8	7		2.26	–6		4	–1	2	–4	2
2.27	–7	9			–3				9			–12	–4		2.28	8		7	2	–2	4	2
2.29	9	4			1				4			–1	6		2.30	–10 –14			–5	3	1	–8
																				→
Задание 3. Даны функция u=f(x,y,z), точка A(x0;y0;z0) и вектор a . Найти:
																					→
1) grad u в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора a .
	3.01 u = x3 − xyz +											3z2 x +				→	= (−3;12;−4) ;
	3.01 u = x3 − xyz +											3z2 x +	2y2 z , A(1;0;1) ,			a	= (−3;12;−4) ;
	3.02 u =				x2 + y2										→
	3.02 u =				x2 + y2						−3z2 , A(3;4;2) , a = (3;4;12) ;
	3.03 u = 3x2 y2 − yz2 +3xyz ,														→	= (4;2;−4) ;
	3.03 u = 3x2 y2 − yz2 +3xyz ,													A(1;2;−1) , a		= (4;2;−4) ;
															→
	3.04 u = xy − x2 z2 + y2 + z , A(4;−1;2) , a = (2;1;−2) ;
	3.05 u =				xz		,			A(5;3;1) ,			a = (−8;4;8) ;
													→
				x − y							A(1;1;1) , a = (2;2;1) ;
	3.06 u = zy + zx ,										A(1;1;1) , a = (2;2;1) ;
													→
				x			y
					z	2									→
	3.07 u =				z					,	A(6;8;10) , a = (6;2;3) ;
	3.07 u =			x2 + y2						,	A(6;8;10) , a = (6;2;3) ;
				x2 + y2
															→
	3.08 u = x2 −3xyz + y2 , A(2;1;6) , a = (−6;−3;−2) ;
	3.09 u = z				x2 + y2										→
	3.09 u = z				x2 + y2							, A(8;6;1) , a = (2;−3;6) ;
	3.10 u = 4 + x3 + z2 − xyz ,														→
	3.10 u = 4 + x3 + z2 − xyz ,												A(0;2;1) , a = (1;−2;2) ;
		u =			xy	2							→
	3.11				xy			,		A(0;2;1) , a				= (3;2;6) ;
	3.11		1		+ z2			,		A(0;2;1) , a				= (3;2;6) ;		→
			1		+ z2
	3.12 u = x2 y + z2 −											5xz + yx ,					= (−1;2;		−2) ;
	3.12 u = x2 y + z2 −											5xz + yx ,			A(10;2;−4) ,	a	= (−1;2;		−2) ;
	3.13 u = 2 y3 − xz +											3z2 x + 2 y2 z , A(2;1;1) ,				→	= (−3;2;−6) ;
	3.13 u = 2 y3 − xz +											3z2 x + 2 y2 z , A(2;1;1) ,				a	= (−3;2;−6) ;

3.14

u =

x2 + z2

+ 5 y2 ,

→

= (3;4;12) ;

A(3;1;4) , a

3.15

u =

3x2 −

5xy2 + yz2 + xyz , A(2;2;−1) ,

→

a = (−4;4;−2) ;

3.16

u =

3xy −

→

= (4;4;−2) ;

2x2 z + y2 + z2 , A(4;−4;2) , a

3.17

u =

xyz

A(2;0;1) , a = (−24;12;8) ;

→

3.18

u =

x −2 y

A(1;2;1) , a = (2;2;1) ;

y + zx ,

→

u =

+ y

→

3.19

A(3;2;10) , a = (−6;−3;2) ;

→

3.20

u =

2x2 −

4xyz + zy2

, A(2;3;6) ,

a = (2;−3;−6) ;

3.21

u = xz2 +

x2 + y2 ,

→

= (4;−2;4) ;

A(3;4;1) , a

3.22

u =

3z + yx3 + xz2 − zy2 ,

→

A(1;−1;1) , a = (−2;−2;1) ;

→

3.23

u =

, A(3;1;2) , a

= (12;−4;6) ;

y + z2

3.24

u = x2 y + y2 z + z2 x −4xyz , A(3;2;−1) ,

→

a = (1;−2;−2) ;

3.25

u =

3x2 y2 −2 y2 z2 + x2 z2

→

= (3;2;6) ;

, A(2;2;2) , a

3.26

u =

→

2xy − x2 z2 + zy2 − 2xz , A(−3;−1;2) , a = (2;1;2) ;

3.27

u =

xyz

, A(1;1;1) ,

a = (−2;1;2) ;

→

x + y + z

3.28

u = zyx −

→

= (2;3;6) ;

2x2 − 2 y2 + 2xy , A(2;1;5) , a

+ z

→

3.29

u =

A(3;2;2) , a = (−4;2;4) ;

3.30

u = x2 + 5xyz + 2z2 ,

→

A(3;7;2) , a = (−3;6;−2) .

Задание 4. При

изучении

функциональной

зависимости y = f (x)

произведен ряд изменений величины x и получены соответствующие значения величины y. Результаты измерений занесены в таблицу:

X	1	2	3	4	5	6	7
Y	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7

Предполагая, что теоретически зависимость между значениями признаков выражается линейной функцией y=ax+b, по методу наименьших квадратов найти параметры a и b. Каково значение признака Y при x=4,25?

Вариант	X	1	2,2	3,4	4,6	5,8	7	8,2	9,4
4.01	Y	2,906	4,415	4,865	4,922	6,797	8,655	10,213	10,459

	Вариант		X		1		2,2		3,4		4,6		5,8		7		8,2	9,4
	4.02		y		5,093		7,096		10,116		9,362		12,695		16,964		20,013	20,832
	4.03		y		8,109		10,872		15,515		16,891		21,106		25,398		28,406	31,833
	4.04		y		-1,272		5,470		8,230		12,992		16,886		22,901		27,614	30,145
	4.05		y		-0,798		4,683		10,667		15,921		20,002		30,021		36,400	40,593
	4.06		y		-1,989		6,912		14,558		17,852		26,124		35,992		41,764	47,705
	4.07		y		10,900		20,914		27,971		34,477		44,058		53,829		64,470	67,831
	4.08		y		11,175		20,484		29,693		38,841		47,239		60,096		68,877	75,256
	4.09		y		12,849		21,971		32,778		43,196		52,650		65,492		77,294	85,744
	4.10		y		5,609		16,241		28,410		38,782		51,803		64,031		76,158	87,720

Вариант		x		2		3,5		5		6,5		8		9,5		11		12,5
4.11		y		3,796		5,142		7,592		5,543		9,547		12,496		13,438		12,780
4.12		y		5,061		5,218		10,349		9,584		11,846		16,632		19,856		19,931
4.13		y		10,104		15,263		19,291		22,813		27,485		33,266		37,904		40,142
4.14		y		2,920		8,615		16,209		18,335		23,751		35,405		39,930		42,043
4.15		y		19,495		25,030		32,133		39,374		45,191		55,223		62,080		69,256
4.16		y		20,802		30,937		38,377		46,370		55,764		65,629		77,226		82,777
4.17		y		11,420		21,356		31,541		41,254		50,768		63,972		76,055		81,342
4.18		y		21,532		33,117		45,129		56,794		67,037		81,250		95,260		104,653
4.19		y		30,366		43,690		57,803		69,708		83,782		98,642		111,295		124,497
4.20		y		10,883		25,112		39,727		51,910		66,846		84,850		100,574		112,995

	Вариант		x		3		3,5		4		4,5		5		5,5		6	6,5
	4.21		y		6,220		5,826		6,231		6,362		7,008		8,207		9,572	8,586

4.22y 9,704 11,856 11,712 12,304 12,975 15,363 16,184 16,225

4.23	y 5,619 5,413 7,485 8,107 9,717 12,403 14,747 13,622

4.24y 19,618 23,547 23,356 24,241 24,674 29,510 31,222 29,816

4.25y 24,897 27,678 29,951 31,051 31,367 37,280 39,335 41,304

4.26y 11,390 14,174 16,637 18,644 20,332 25,796 29,155 31,466

4.27y 9,855 12,715 17,049 19,398 21,684 28,202 30,252 33,293

4.28y 26,918 31,557 37,362 38,122 42,272 47,036 50,988 54,258

4.29y 32,533 35,897 40,845 43,174 45,774 53,413 60,508 61,255

4.30y 26,281 30,450 37,320 38,905 43,721 52,873 56,549 59,396

Задание 5. Найти

неопределенные интегралы (результаты проверить

дифференцированием).

(2x +1)dx

5.01а) ∫

x − x

dx ;

б) ∫

;

в) ∫x2 cos xdx ;

г) ∫

dx ;

(2x +1)2 + 3

− x

5.02а) ∫

8x −2x5

б) ∫

1 −e2tgx

в) ∫2x

2 x

dx ;

г) ∫

2x −1

dx ;

cos2 x dx ;

dx ;

+ 2x

5.03а) ∫

−

б) ∫

ln(2x + 3) + 3

dx ;в) ∫x arctg3xdx ;

г) ∫

3x +1

dx ;

2x + 3

−3x

5.04а) ∫

x −

2x3

dx ;

б) ∫sincos3 xx dx ;

5.05а) ∫2x

x dx ;

2 +arcsin x

x−

б) ∫

1 − x2

dx ;

+1)

−1

5.06а) ∫

+5x

;б) ∫

x +1

dx ;

5.07а) ∫3

x3x+ x4

dx ;б) ∫xe3 x2 −5dx ;

5.08а) ∫

x3 +

dx ;

б) ∫esin x−2 cos xdx ;

5.09а) ∫

dx ;

б) ∫

ln(3x +5)

dx ;

(3x +5)

5.10а) ∫

x2 −5

;

б) ∫xe1+3 x2 dx ;

5.11а) ∫

x10

+6 x

; б) ∫

ctg2 x +6

dx ;

sin2 x

1 −arcsin2 x

5.12а) ∫

+ 5x

dx ;б) ∫

1 − x2

dx ;

5 −ln

− 2)

5.13а) ∫

−

dx ;

б) ∫

x −2

5.14а) ∫

x17

− x2

dx ; б) ∫

5 ln(4x +1)

dx ;

4x +1

5.15а) ∫

x +4x3

dx ;

б) ∫

3 +ln3 (x + 2) dx

x + 2

в) ∫2x2 sin 4xdx ;

г) ∫

4x +1

dx ;

+4x

в) ∫(5 − x2 )e5 xdx ;

г) ∫

+ 2

dx ;

−5x

в) ∫arcsin6 xdx ;

г) ∫

6 x +4

dx ;

+6 x

в) ∫(2 − x2 )cos7 xdx ;г) ∫

7 x +4

dx ;

−7 x

в) ∫(x2 + x)e8 xdx ;

г) ∫

8x −2

dx ;

+8x

в) ∫arccos 9xdx ;

г) ∫

9x −1

;

−9x

в) ∫(x2 + 3)exdx ;

Г) ∫

x −4

dx ;

+10x

в) ∫(1 − x

)cos xdx ;

г) ∫

x −3

dx ;

− x

−1

в) ∫4x arctg2xdx ;

г) ∫

2x −1

dx ;

−3x + 2

;в) ∫(2x −1)sin 3xdx ; г) ∫

3x +1

dx ;

+4x +3

в) ∫(4x − x2 )e4 xdx ;

г) ∫

4x +7

dx ;

−5x +4

;в) ∫arcsin 5xdx ;

г) ∫

5x +8

dx ;

+6 x + 5

5.16а) ∫

x9 − x3

б) ∫

tg2 x −1

dx ;

в) ∫(x

+1)cos6 xdx ; г) ∫

6 x +1

dx ;

−7 x +6

cos2 x

2 +

7 x

7 x −1

5.17а) ∫7 −x3 x

dx ;

б) ∫xe3 x 5dx ;

в) ∫(x

+7 x)e dx ;

г) ∫

dx ;

−8x +7

5.18а) ∫5x −3x2 dx ;

б) ∫e4 x3 −2 x2dx ;

в) ∫arccos 8xdx ;

г) ∫

8x + 5

dx ;

+ 9x +8

5 +

5.19а) ∫

x −5

dx ;

б) ∫5x4 (ex

1 +1)dx ; в) ∫(x + 9)e9 xdx ;

г) ∫

21 −9x

dx ;

−10x + 9

arcsin

2xdx

5x + 20

5.20а) ∫

− x

dx ;

б) ∫

;

в) ∫(1 − x)cos10xdx ;г) ∫

dx ;

1 −4x2

4x2 + x −3

5.21а) ∫

dx ;

б) ∫

;

в) ∫2x arctgxdx ;

г) ∫

4x +1

dx ;

3 2 −ex

2x2 + x −1

5.22а) ∫

x +7 x5

dx ;

б) ∫

2 − arctg2 x

dx ;

в) ∫(x

− x)sin 2xdx ;

г) ∫

2x −5

dx ;

1 + x2

2x2 +5x + 2

2x3

3x −2

5.23а) ∫

x +

dx ;

б) ∫x

5 +7 x2 dx ;

в) ∫(3x2 − x)e3 xdx ;

г) ∫

dx ;

x2 −5x +6

5.24а) ∫

x3 +6

dx ;

б) ∫

3 2ln x

−5

dx ;

в) ∫arcsin 4xdx ;

г) ∫

6 xdx

;

x2 − 2x −8

5.25а) ∫7 x

x dx ;

cos3xdx

5x +1

б) ∫

;

в) ∫(x − x2 )cos 5xdx ;

г) ∫

dx ;

5 + 3sin 3x

x2 −3x −10

sin xdx

6 x + 2

5.26а) ∫5x

−x

x dx ;б) ∫

в) ∫(2x2 +6 x)e6 xdx ;

г) ∫

dx ;

;

1 + cos2 x

x2 + 8x +12

5.27а) ∫

−5x

dx ; б) ∫

5 +

ctg3x

dx ;

в) ∫arccos7 xdx ;

г) ∫

7 xdx

;

x2 −5x −14

sin2 3x

5.28а) ∫

3 x +4x

dx ;

б) ∫

7 + 2ln x

dx ;

в) ∫(x

+ 8)e

8 x

dx ;

г) ∫

8 − 2x

dx ;

x2 −10x +16

− x

б) ∫

sin xdx

в) ∫arcsin 9xdx ;

г) ∫

2 −9x

5.29а) ∫

dx ;

;

dx ;

7 cos2 x

x2 +7 x −18

5.30а) ∫

x − x

dx ;

б) ∫

(3 + 2tgx)dx

;

в) ∫x

cos10xdx ;

г) ∫

3x + 3

dx .

cos2 x

3x2 −10x + 3

Задание 6. Вычислить определенный интеграл

6.01

∫9

;

6.02

49∫

xdx

;

6.03

11∫

;

6.04

15∫

;

x −5

x x −

3 +

4 x x −

x +1

6.05

24∫

;

6.06

10∫

xdx

;

6.07

∫9

;

6.08

18∫

x −2

dx ;

1 + x −

x −1

x +5

1 + x

6.09

16∫

x3dx

;

6.10

∫9

x −5

dx ;

6.11

∫5

x +4

dx ;

6.12

∫4

2x +1

dx ;

x −7

−3

1 x + x

6.13

∫8

x +1 + x2

dx ; 6.14

∫9

xdx

;

6.15

14∫

;

6.16

∫2

x3dx

;

x +1

4 + x

3 + x + 2

−1

x + 2

6.17

12∫

x3dx

;

6.18

10∫

x +1

dx ; 6.19

16∫

xdx

;

6.20

∫9

;

x −3

x x −

x −1

1 (x −1) x

6.21

14∫

;

6.22

11∫

x2dx

;

6.23

∫8

3 xdx

;

6.24

∫7

x −1

;

2 + x −

x −2

x +5

2 x x +

6.25	∫9	xdx		;			6.26	14∫		dx		; 6.27 ∫6	dx		; 6.28	∫9	dx		;
6.25	∫9			;			6.26	14∫	3 + x −5			; 6.27 ∫6			; 6.28	∫9			;
	1 x +9							6	3 + x −5			1 1 + x +3				2 x x +7
6.29	∫7	x2dx			;		6.30	17∫		xdx	.
6.29	∫7				;		6.30	17∫			.
	2	x + 2						8		2x −7
	Задание 7. Вычислить площадь плоской фигуры,													ограниченной линиями
y = ax2 +bx +c						и	y = kx + d .		Выполнить рисунок. Значения коэффициентов
даны в таблице:
№			a			b	c		k	d		№	a	b	c		k		d
варианта			a			b	c		k	d		варианта	a	b	c		k		d
7.01			1			4	2		1	6		7.02	1	4	5		2	8
7.03			1			4	8		3	10		7.04	1	6	1		4	4
7.05			1			6	4		5	6		7.06	1	8	7		6	10
7.07			1			8	0		7	2		7.08	1	2	3		8	-2
7.09			1			2	6		9	-4		7.10	2	2	9		10	3
7.11			2			2	2		1	5		7.12	2	4	5		2	17
7.13			2			4	8		3	11		7.14	2	6	1		4	5
7.15			2			6	4		5	5		7.16	2	8	7		6	31
7.17			2			8	0		7	3		7.18	2	2	3		8	11
7.19			2			2	6		9	3		7.20	2	2	9		10	19
7.21			3			2	2		1	4		7.22	3	4	5		2	6
7.23			3			4	8		3	10		7.24	3	6	1		4	9
7.25			3			6	4		5	14		7.26	3	8	7		6	15
7.27			3			8	0		7	4		7.28	3	2	3		8	12
7.29			3			2	6		9	4		7.30	3	2	9		10	5

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

"ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Задание 1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального

уравнения.

1.01 (x2 + 2xy)dx + xydy =0 ;

1.04 xy′sin xy + x = ysin xy ;

1.07 xy + y2 = (2x2 + xy) y′;

1.10 y′ = xy +cos xy ;

1.13 yex = x( y′ex −ey ) ;

1.02	xyy′ = y2 + 2x2 ;
1.05	y′=	y	+sin	y
					;
		x		x
1.08	y2 + x2 y′= xyy′;

1.11y′ = 4 + y + y2 ;

xx2

1.14 xy′ = xsin xy + y ;

1.03

y − xy′ =

x2 + y2 ;

1.06

xy′ln

= x + y ln

;

1.09

′

+ y

+ x =0 ;

y x

′

1.12

− y

= x tg x ;

1.15 xy′ = x e

+ y ;

1.16 xy′+ y(ln

−1) =0 ;

1.17 y′=

;

1.18 y′=

x + y

;

x − y

1.19 (x − y)dx + xdy =0 ;

1.20 y′=

x − y

;

1.21 xyy′− y2 = x2 y′;

x + y

1.22 ydx + (

xy −

x)dy =0 ; 1.23 xy′ = 2( y −

xy ) ; 1.24 xy′ = y +

x2 + y2 ;

1.25 (x

+6 x

+ y

)dx + 4xy(x

+ y

)dy =0

;

1.26 3y′ =

+ 9 ;

1.27

1.28 xy′− y =

y ;

3ysin

y −3xsin 3x

dy =0 ;

arctg

1.29 4(x2 y + y)dy +

5 + y2 dx =0 ;

1.30 (x2 + xy) y′ = x x2 − y2 + xy + y2 .

Задание 2. Найти частное решение уравнения y′+ g(x) y = h(x) ,

удовлетворяющее начальному условию y(x0 ) = y0 .

y′

2.01

− x y = x

y(1) = e ;

2.02

− y tg x =

y(0) = 2 ;

cos x

y′

2.03

= 4x

, y(1) = 2 ;

2.04

−

= xcos x ,

y(0) =0 ;

y′

2.05

−

= cos

x ln(tg

)

, y(

2 ) =π ; 2.06

+ x y

y(1) =0 ;

sin x

2.07

(1 + x2 ) y′+ y = arctg x , y(0) = 2 ;

2.08

y′cos x + y =1 −sin x , y(0) = 3 ;

2.09

y′

1 − x2

+ y = arcsin x ,

y(0) =0 ;

2.10

y′+ 2xy = xe−x2 ,

y(0) = 2 ;

2.11

y′

= xln x , y(e) =

y′sin x − y cos x =1,

−

2 e

;

2.12

y( 2 ) =0 ;

xln x

′

2.13

+3y tg 3x

=sin6 x , y(0) = 3 ;

2.14

+ y =sin x ,

y( 2 )

= π ;

2.15

xy′+ (x +1) y = 3x2e−x ,

y(1) =0 ;

2.16

x( y′− y) = ex ,

y(1) =0 ;

2.17

(x +1) y′+ y = x3 + x2 ,

y(0) =0 ;

2.18

(xy′−1)ln x = 2 y ,

y(e) =0 ;

2.19

x2 y′+ xy +1 =0 ,

y(1) =0 ;

2.20

xy′− 2 y + x2 =0 ,

y(1) =0 ;

2.21

xy′+ y = ln x +1,

y(1) =0 ;

2.22

xy′−2 y = 2x4 ,

y(1) =0 ;

′

2.23

−1) y

− xy = x

− x , y( 2) =1;

2.24

y = x( y

− xcos x) , y( 2 ) =0 ;

В следующих примерах за неизвестную функцию принять x.

2.25

′

+ x = 4 y

+ 3y

, y(2)

=1;

2.26

(x + y

)dy − ydx =0 ,

y(0) =1;

2.27

(x −2xy − y2 ) y′+ y2 =0 ,

y(0) =1;

2.28

y = xy′+ y′ln y ,

y(2) =1;

2.29

(2x +3)dy − y

=0 ,

y(1) =0 ;

2.30

′

) = y ,

y(0) = 2 .

y (x + y

Задание 3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

3.01

(1 − x2 ) y′− xy −3xy2 =0 ;

3.02

4xy′+3y = −ex x4 y5

; 3.03

y′+ y = e

y ;

y′

2 y

y′

2 y

3.04

+ x =

y3 ;

3.05

−

;

3.06

+ x

;

x −1

cos2 x

3x2 y

′

3.07 y′−

= y

+1)sin x ; 3.08

= y

cos x + y tg x

; 3.09

+ 2 y

= y

;

x3 +1

3.10

y′−2 y tg x + y2 sin2 x =0 ;

3.11

xy′−2x2

y = 4 y ;

3.12

y′− xy = −y3e−x2 ;

3.13

xdy +( y + x2 y2 )dx =0 ;

3.14

xydy = ( y2 + x)dx ;

3.15

xy′+ y = y2 ln x ;

3.16

′

+ 2xy = 2x

;

3.17

′

+ y

cos x = y tg x ; 3.18

′

= −xy

;

y x + y

		y2		3
3.19	ydy =		− x		dx ;
		x

3.22	(x +1)( y′+ y2 ) = −y ;
3.25	2x3 yy′+3x2 y2 +1 =0 ;
3.28	xy2 y′= x2 + y3 ;

3.20

2 y′−

;

3.21

y′+ y =

;

x2 −1

3.23

yy′ = xe2 x + y2 ;

3.24

y′+ xy = x3 y3 ;

3.26

x(x −1) y′+ y3 = xy ; 3.27

y′+ x 3

y = 3 y ;

3.29

y′= x y + 2xe

y ;

3.30

y′+

= (x

−3x) y

Задание 4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

−

′′+

′

4.02 y

′′

= x +sin x ;

′′=

′

−

′

4.01 y(1 ln y) y

ln y)( y )

0 ;

4.03

( y )

;

4.04

y′′−

y′

= x(x −1) ;

4.05

y′′

;

4.06

y′′

y′

+ x ;

x −1

x2 +1

4.7

(1 + x

) y

′′

′

=0 ;

′′

′

;

4.09 yy

′′

′

= y

ln y ;

+1 +( y )

4.08 4( y

)

=1 +( y )

−( y )

4.10

(x −1) y

′′

− y

′

=0 ;

4.11

′′

= arctg x ;

4.12

(1 − x2 ) y′′− xy′= 2 ;

′′

−

′

4.14

′′

= xcos x ;

′′−

′

4.13

y (2 y

2( y )

0 ;

4.15

( y )

0 ;

4.16

′

′′

′

;

4.17

′′

′ 2

=0 ;

4.18

′′

+ x

′

=1;

(2 y + y ) y

= ( y )

2x( y )

y′

4.20

′′

−2

4.19

xy′′= y′ln

;

y′′

;

4.21

= cos

;

4.22

(1 +e

) y

′′

+ y

′

=0 ;

4.23

′′

+1 =0 ;

4.24

′′

′

= x ;

( y )

4.25

y′′= y′− xy′;

4.26

xy′′− y′

;

4.27

′′

′

;

= x

y xln x = 2 y

4.28

′′

= cos

x +e

−x

;

4.29

′′

1 −

′ 2

;

4.30

′′

= y

′

( y )

+( y )

Задание 5. Найти общее решение линейного однородного

дифференциального уравнения второго порядка.

5.01 а)

y′′− y′−2 y =0 ;

б)

y′′−4 y′+4 y =0 ;

в)

y′′+ 25 y =0 ;

5.02 а)

y′′−25 y′=0 ;

б)

y′′−6 y′+9 y =0 ;

в)

y′′−2 y′+10 y =0 ;

5.03	а)	y′′−4 y′+ 3y =0 ;	б)
5.04	а)	y′′+4 y′−5 y =0 ;	б)
5.05	а) y′′−8 y′=0 ;		б)
5.06	а)	y′′+5 y′+4 y =0 ;	б)
5.07	а)	2 y′′−9 y′−7 y =0 ;	б)
5.08	а)	y′′−3y′=0 ;	б)
5.09	а)	2 y′′+9 y′+7 y =0 ;	б)
5.10	а) 7 y′′−9 y′+ 2 y =0 ;		б)
5.11	а) y′′+4 y′=0 ;		б)
5.12	а) 7 y′′+9 y′+ 2 y =0 ;		б)
5.13	а)	4 y′′+8 y′+3y =0 ;	б)
5.14	а)	5 y′′+4 y′− y =0 ;	б)
5.15	а)	3y′′+8 y′+4 y =0 ;	б)
5.16	а)	3y′′−4 y′+ y =0 ;	б)
5.17	а)	y′′−13y′+36 y =0 ;	б)
5.18	а)	3y′′−8 y′+4 y =0 ;	б)
5.19	а)	2 y′′+3y′+ y =0 ;	б)
5.20	а) y′′+36 y′=0 ;		б)
5.21	а)	4 y′′−8 y′+3y =0 ;	б)
5.22	а)	5 y′′−4 y′− y =0 ;	б)
5.23	а)	y′′−49 y =0 ;	б)

y′′−8 y′+16 y =0 ;	в)	4 y′′−8 y′+5 y =0 ;
4 y′′−4 y′+ y =0 ;	в)	y′′+6 y′+13y =0 ;
y′′+4 y′+4 y =0 ;	в)	y′′+ 2 y′+5 y =0 ;
9 y′′−12 y′+4 y =0 ;	в)	y′′+ 2 y′+17 y =0 ;
16 y′′+8 y′+ y =0 ;	в)	y′′−4 y′+ 20 y =0 ;
y′′+6 y′+9 y =0 ;	в)	y′′+4 y′+5 y =0 ;
25 y′′−10 y′+ y =0 ;	в)	y′′+ 2 y′+10 y =0 ;
9 y′′−6 y′+ y =0 ;	в)	y′′+4 y′+ 20 y =0 ;
9 y′′+12 y′+4 y =0 ;	в)	y′′+ y =0 ;
y′′−10 y′+ 25 y =0 ;	в)	y′′+4 y′+8 y =0 ;
y′′+12 y′+36 y =0 ;	в)	y′′+10 y′+ 29 y =0 ;
16 y′′−8 y′+ y =0 ;	в)	y′′+ 2 y′+ 2 y =0 ;
y′′+10 y′+ 25 y =0 ;	в)	y′′+4 y′+13y =0 ;
y′′−12 y′+36 y =0 ;	в)	y′′+ 2 y′+5 y =0 ;
25 y′′+10 y′+ y =0 ;	в)	y′′+6 y′+ 25 y =0 ;
25 y′′+ 20 y′+4 y =0 ; в)		y′′+6 y′+10 y =0 ;
9 y′′−24 y′+16 y =0 ; в)		y′′−6 y′+10 y =0 ;
4 y′′−12 y′+9 y =0 ;	в)	y′′+12 y′+37 y =0 ;
4 y′′−20 y′+ 25 y =0 ; в)		5 y′′+4 y′+ y =0 ;
36 y′′−12 y′+ y =0 ;	в) 10 y′′+ 2 y′+ y =0 ;
16 y′′−8 y′+ y =0 ;	в)	8 y′′+4 y′+ y =0 ;

5.24а) 4 y′′+5 y′+ y =0 ; б) 9 y′′+ 24 y′+16 y =0 ; в) 10 y′′−6 y′+ y =0 ;

5.25а) 2 y′′− y′− y =0 ; б) 4 y′′+ 20 y′+ 25 y =0 ; в) 29 y′′+10 y′+ y =0 ;

5.26 а)	y′′+13y′+ 36 y =0 ; б) 16 y′′+ 24 y′+9 y =0 ; в) 5 y′′−4 y′+ y =0			;
5.27 а)	y′′−64 y =0 ;	б) 36 y′′+12 y′+ y =0 ;	в) 5 y′′+ 2 y′+ y =0	;
5.28 а)	4 y′′−5 y′+ y =0 ;	б) 16 y′′−24 y′+9 y =0	; в) 8 y′′−4 y′+ y =0 ;
5.29 а)	2 y′′+ y′− y =0 ;	б) 4 y′′+12 y′+9 y =0 ;	в) 10 y′′+6 y′+ y =0 ;
5.30 а)	y′′−6 y′=0 ;	б) 4 y′′+ 28 y′+49 y =0	; в) 10 y′′−2 y′+ y =0 .

Задание 6. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

6.01	y′′+4 y = 4(sin 2x + cos 2x) ; 6.02		y′′+16 y = xsin 2x ;
6.03	y′′+4 y′+4 y = xe2 x ;	6.04	y′′+ 2 y′+ 5 y = ex ((x +1)cos 2x + 3sin 2x) ;
6.05	y′′−2 y′+ 2 y = 4ex cos x ;	6.06	y′′−4 y′+13y = e2 x (xcos3x − xsin 3x) ;
6.07	y′′+ y = e2 x (x2 + x +1) ;	6.08	y′′+ 2 y′+ y = e−x sin 2x ;
6.09	y′′+3y′−10 y = xe−2 x ;	6.10	y′′−6 y′+13y = 34e−3 x sin 2x ;
6.11	y′′−2 y′+ 2 y = ex sin x ;	6.12	y′′−3y′+ 2 y = (34 −12x)e−x ;
6.13	y′′+ y′−2 y = cos x −3sin x ; 6.14 y′′−6 y′+ 25 y = 2sin x +3cos x ;

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.03.2016510.21 Кб10Kр№2 (Заказ № 1113 - 2010).pdf
#
01.03.20164.23 Mб32Аттестационная работа.doc
#
01.03.201683.76 Кб65вышка(Rutegs).docx
#
01.03.2016702.19 Кб55вышка.docx
#
01.03.20161.77 Mб124Вышмат. Часть 1. Первый семестр. БрГТУ.pdf
#
01.03.2016605.31 Кб101Контрольная работа по математике №2.pdf
#
01.03.2016706.61 Кб148Контрольная работа №1 по высшей математике.pdf
#
01.03.2016720.84 Кб81Контрольная работа №2 по высшей математике.pdf
#
01.03.2016944.4 Кб80Контрольная работа №3 по высшей математике.pdf
#
01.03.2016900.21 Кб88Кр № 4 по математике (ФЗО техн).pdf
#
01.03.201612.6 Mб81математика.doc