Методическое пособие по Тв и МС
.pdf
|
B, DB (u), σB (u), |
затем |
|
B = h |
|
B +C , |
DB (x) = h2 DB (u), |
|||||||||||
u |
x |
u |
||||||||||||||||
σB (x) = hσB (u). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 1 |
|
|
||||
|
Если |
x |
- |
числа малые, |
то |
u |
|
|
= h x , |
h = const, |
|
|
B, |
|||||
|
i |
x |
u |
|||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
h |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
DB (x) = |
DB (u). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h2 |
|
|
|
= ai−1 + ai , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для интервального распределения x |
i = |
|
. |
||||||||||||||
|
1,k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для аудиторной работы
1.В результате проверки партии деталей по сортам получены значения: 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 3. Составить вариационный ряд, статистическое распределение частот (относительных частот), полигон частот, эмпирическую функцию распределения. Найти xB, DB,σB. (Ответ: xB=1,88; σ B =0,95).
2.Дана выборка объема 50.
|
|
38 |
60 |
|
41 |
51 |
|
33 |
|
42 |
45 |
|
21 |
53 |
60 |
||
|
|
68 |
52 |
|
47 |
46 |
|
42 |
|
43 |
57 |
|
44 |
54 |
59 |
||
|
|
77 |
47 |
|
28 |
27 |
|
49 |
|
49 |
14 |
|
28 |
61 |
30 |
||
|
|
61 |
35 |
|
47 |
46 |
|
58 |
|
45 |
42 |
|
21 |
30 |
40 |
||
|
|
67 |
65 |
|
39 |
35 |
|
41 |
|
60 |
54 |
|
42 |
59 |
60 |
||
|
|
Составить вариационный ряд, интервальное распределение частот, |
|||||||||||||||
|
|
гистограмму относительных частот. Найти xB, DB,σB. |
|
|
|||||||||||||
|
|
(Ответ: |
|
B = 46,4; σB =13,14). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задания для индивидуальной работы |
|
|
||||||||
1. |
Свой |
|
вариант аттестационной |
работы, |
задание |
№ |
1. Составить |
||||||||||
|
вариационный ряд, интервальное распределение частот, взяв число |
||||||||||||||||
|
интервалов k = 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Построить |
полигон |
частот, |
график эмпирической функции, |
найти |
xB, DB,σB.
3.Построить гистограмму относительных частот, график эмпирической функции F *(x). Найти xB, DB,σB.
I.
2.
xi |
2 |
4 |
|
5 |
|
7 |
10 |
||
mi |
15 |
20 |
|
10 |
|
10 |
45 |
||
(Ответ: |
|
B = 6,8; |
σB = 3,16). |
|
|
||||
x |
|
|
51
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервалы |
1-5 |
5-9 |
|
9-13 |
13-17 |
17-21 |
|
||||||||||||
|
Частоты |
10 |
20 |
|
50 |
12 |
|
8 |
|
|
||||||||||
|
(Ответ: |
|
|
|
B =10,52; |
|
σB = 4,05). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
II. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
2 |
|
5 |
|
7 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
mi |
|
5 |
|
25 |
|
15 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(Ответ: |
|
B = 5,8; σB =1,99). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервалы |
10-15 |
|
15-20 |
|
20-25 |
25-30 |
|
30-35 |
|||||||||||
|
Частоты |
2 |
|
4 |
|
|
8 |
|
4 |
|
2 |
|||||||||
|
(Ответ: |
|
B = 22,5; |
σB = 5,48). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
III. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
2 |
|
3 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
mi |
|
10 |
|
15 |
|
5 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
B = 4,2; |
σB =1,66). |
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервалы |
2-7 |
|
7-12 |
|
|
12-17 |
17-22 |
22-27 |
||||||
|
Частоты |
5 |
|
10 |
|
|
25 |
|
6 |
|
4 |
||||
|
(Ответ: |
|
B =13,9; |
σB = 5,11). |
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
IV. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
15 |
|
20 |
|
25 |
|
|
30 |
|
10 |
|
|
|
|
mi |
|
10 |
|
15 |
|
30 |
|
|
20 |
|
7 |
|
|
|
(Ответ: |
x |
B = 22,8; |
σB = 6,12). |
|
|
|
|
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервалы |
3-5 |
5-7 |
7-9 |
9-11 |
11-13 |
13-15 |
15-17 |
||
|
Частоты |
4 |
6 |
20 |
40 |
25 |
10 |
5 |
||
|
(Ответ: |
|
B = 6,82; |
σB = 2,61). |
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
52
4.2. Точечные и интервальные оценки для неизвестных параметров генеральной совокупности
Любой параметр θ~ , найденный по выборке, извлеченной из генеральной совокупности СВ Х, является подходящей оценкой (подходящим приближенным значением) параметра θ этой совокупности, если:
1. M (θ~) =θ ;
2. |
при данном |
|
|
объеме |
|
|
|
выборки |
|
|
n |
имеет |
минимальную |
|
дисперсию, |
||||||||||||||||||||||
|
D (θ~) = min ; |
P ( |
|
θ~ −θ |
|
|
< ε)→1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
при n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Такой параметр θ~ является соответственно несмещенной, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эффективной и состоятельной оценкой параметра θ |
из |
генеральной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
совокупности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Точечная оценка определяется одним числом, при этом выборка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
должна быть достаточно большого объема. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Выборочное среднее |
|
xB является несмещенной и |
состоятельной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
оценкой генеральной средней |
x |
Г : |
|
x |
Г ≈ |
x |
B , причем |
M ( |
|
B ) = |
x |
Г и |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim P ( |
|
|
|
B − |
|
Г |
|
|
< ε)=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности является |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
исправленная дисперсия S2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
DГ ≈ S2 , где S2 = |
|
n |
|
|
DB, |
M (S2 ) = DГ . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Генеральное среднее квадратическое отклонение не имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
несмещенных оценок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
σ Г ≈σB или σr ≈ S , но M (σB ) ≠σr и M (S) ≠σr . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
При n < 30 |
применяются интервальные оценки. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Интервал |
(θ~ −δ,θ~ |
+δ ), |
покрывающий |
параметр |
θ |
с заданной |
||||||||||||||||||||||||||||||
вероятностью (надежностью) |
γ , называется доверительным. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
P (θ~ −δ <θ < θ~ +δ ) |
= P |
( |
|
θ −θ~ |
|
|
<δ )= γ , где δ - точность оценки. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пусть СВ Х подчиняется нормальному распределению с параметрами a = M (X) и σ =σ (X) = D (X) , т.е. X N (a ;σ).
а) Доверительный интервал для а при известном σ :
|
B − |
tσ |
|
< a < |
|
B + |
tσ |
|
, где 2Φ(t) = γ |
||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tσ |
= γ . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
или P |
a − xB |
|
< |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
б) Доверительный интервал для a при неизвестном σ :
xB − tγnS < a < xB + tγnS ,
где число tγ = t(γ,n) находим по таблице 3 распределения Стьюдента
(стр. 74), S – исправленное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки, γ - надежность.
в) Доверительный интервал для σ :
S(1− q) <σ < S(1+ q), если q <1, 0<σ < S(1+ q), если q >1.
Число q = q(γ,n) находим по таблице 6 (стр. 77).
Задания для аудиторной работы
1.Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии по выборке
xi |
1250 |
1275 |
1280 |
1300 |
mi |
20 |
25 |
50 |
5 |
(Ответ: xΓ ≈1274,5 ; DΓ ≈168,88).
2.В результате пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены значения ( в мм): 92, 94, 103, 105,
106. Найти xB ,DB ,σB , S2 , S . (Ответ: xB =100, DB = 34, S2 = 42,5).
3.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х, если генеральное среднее квадратическое отклонение
σ = 4, xB =10,2 , объем выборки n =16. (Ответ: 7,64 < a <12,76).
4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально
распределенной генеральной совокупности по xB будет равна 0,2, если
σ =σ (X) =1,5. (Ответ: 179).
5. Из генеральной совокупности извлечена выборка |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
-0,5 |
-0,4 |
-0,2 |
0 |
0,2 |
0,6 |
0,8 |
1 |
1,2 |
1,5 |
|
mi |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенного признака Х при помощи доверительных интервалов. (Ответ: −0,04 < a < 0,88;
0,32 <σ <1,04).
54
6.Из генеральной совокупности нормально распределенного признака Х извлечена выборка объема n, найдено исправленное среднее квадратическое отклонение S. Определить доверительный интервал, покрывающий σΓ с надежностью γ = 0,999, если:
а) n =10, S = 5,1; |
б) n = 50, S =14. (Ответ: а) (0; 14,28); |
б) (7,98; 20,02) ). |
|
Задания для индивидуальной работы
1.По заданному распределению найти несмещенные оценки для xΓ и DΓ .
2.X N (a,σ). Составить доверительный интервал для а, если известны
γ, xB , n и σ .
3.X N (a,σ). Составить доверительный интервал для σ , если известны
γ, n и S.
4. |
X N (a,σ). Составить |
доверительные |
интервалы для а и σ с |
||||||||||||||
I. |
надежностью 0,95 для данной выборки. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
2560 |
|
2600 |
|
2620 |
2650 |
1700 |
|
|
|||||
|
|
mi |
|
7 |
|
|
|
8 |
|
15 |
|
9 |
6 |
|
|
||
2. |
γ = 0,99, |
σ = 5, |
|
|
|
B =16,8, |
n = 25. |
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
3. |
γ = 0,95, |
n =16, |
|
s =1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
-2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
||
II. |
|
mi |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
340 |
|
360 |
|
375 |
380 |
390 |
|
|
|||||
|
|
mi |
|
10 |
|
20 |
|
30 |
|
12 |
8 |
|
|
||||
2. |
|
γ = 0,95, σ = 5, |
|
B =14, n = 25. |
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
3. |
γ = 0,999, n = 50, |
|
|
s =16. |
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
-3 |
|
|
|
-1 |
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
||
III. |
mi |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
184 |
|
189 |
|
193 |
196 |
199 |
|
|
|||||
|
|
mi |
|
8 |
|
10 |
|
20 |
|
15 |
7 |
|
|
55
2. |
γ = 0,99, |
σ = 6, |
|
|
|
B = 30,1, n = 9. |
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||
3. |
γ = 0,999, n =12, |
|
|
s = 0,6. |
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
-2 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
||
IV. |
|
mi |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
235 |
|
261 |
282 |
|
304 |
317 |
|
|||||
|
|
mi |
|
6 |
|
|
|
8 |
|
18 |
|
13 |
5 |
|
||
2. |
γ = 0,999, σ = 8, |
|
|
|
B = 42,8, |
n =16. |
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
||||||||||||
3. |
γ = 0,99, |
n =10, |
|
s = 0,8. |
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
4 |
5 |
6 |
||
|
|
mi |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
4.3. Статистическая проверка гипотез. Критерии Пирсона и Колмогорова.
Из некоторой генеральной совокупности взята выборка достаточно большого объема n и составлено или дискретное (1), или интервальное (2) распределение частот:
xi |
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|
… |
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||
mi |
|
m1 |
|
|
m2 |
|
|
… |
|
|
|
mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Интервалы |
|
a0 −a1 |
|
|
|
a1 −a2 |
a2 −a3 |
|
|
… |
|
|
|
|
ak−1 − ak |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||
|
mi |
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
m3 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
mk |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ∑ mi = n , mi - эмпирические частоты, |
i = |
1,k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теоретические |
(выравнивающие) |
частоты |
m |
|
определяются |
по |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
′ = n P , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
формуле: m |
|
i = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi |
= P (ai−1 < X < ai ) |
|
|
|
|||||||||||||
где |
Pi = P (X = xi ) для распределения |
(1) и |
|
- |
для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
распределения (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai − |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
h |
|
x B |
|
|
||||||||||
|
Если X |
N (a,σ), где a ≈ xB , |
σ ≈σ |
|
, то |
= |
|
, где |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
σ |
|
|
|
σ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
i |
|
B |
|
|
B |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
h = x − x |
, |
|
ϕ (x) = |
|
|
|
e−x2 /2 или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
i i−1 |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
P |
= P (a < X |
< a ) |
= Φ |
ai − x B |
−Φ |
|
ai−1 − x B |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
i−1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Φ(x) = |
|
|
∫ e−t2 /2dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B )2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x− |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e− |
x |
||||||
Плотность вероятности для СВ Х равна |
f (x) = |
|
|
|
|
2σB2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
σB |
|
2π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если СВ Х имеет показательное распределение, то плотность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вероятности |
f (x) = λe−λx , |
x ≥ 0 и λ = |
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
xB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai−1 |
|
|
ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P = P (a |
|
< X < a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i−1 |
i |
) = e |
xB −e xB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Критерий Пирсона. |
При |
уровне |
|
значимости |
α =1−γ |
выдвигаем |
нулевую гипотезу H0 и ей альтернативную гипотезу H1.
H0: |
в генеральной совокупности |
признака |
Х |
есть |
нормальное |
||||
(показательное) распределение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1: в генеральной совокупности признака Х нет выбранного |
|||||||||
распределения. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
Составляем выборочную статистику |
χ2набл. = ∑ |
|
(mi −mi ) |
|
. |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
mi′ |
|
|
|
По |
таблице 4 «Критические точки |
распределения «хи-квадрат» |
|||||||
(стр. 75) |
находим χ2крит . (α, k − r −1), |
где |
k – число |
пар |
значений в |
таблице (1) или число интервалов в таблице (2), r = 2 для нормального распределения, r =1 - для показательного распределения.
Если χ2набл. < χ2крит ., то нет оснований отвергнуть гипотезу H0, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.
Если χ2набл. > χ2крит ., то гипотезу H0 отвергают, различие в частотах mi и mi′ значимо.
Критерий Колмогорова применяется только для проверки гипотез о непрерывном распределении.
При уровне значимости α проверяются гипотезы
H0: в генеральной совокупности действует теоретическая функция F (x) выбранного распределения.
H1: выбранное распределение не имеет такой функции
распределения.
Составляем выборочную статистику
57
|
|
|
λ |
|
= |
|
|
max |
|
F *(x )− F (x ) |
|
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
опыт н. |
|
|
|
|
|
1≤i≤k |
|
i |
i |
|
|
|
|
|||
где F *(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
||
- эмпирическая функция распределения, F *(x) = |
. |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
x |
− |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F (x) = 0,5 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+Φ |
|
σB |
для нормального распределения. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F (x) =1−e−λx , |
x ≥ 0, |
λ = |
|
1 |
|
для показательного распределения. |
||||||||||||||
|
|
|
|
xB
По таблице значений функции Колмогорова находим λкрит .. Если
λопыт н. < λкрит ., то принимаем гипотезу H0, если λопыт н. > λкрит ., то H0
отвергается.
Пример. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено распределение
Время, |
0-5 |
5-10 |
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
|
t (час) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Частота, mi |
133 |
45 |
15 |
4 |
2 |
1 |
Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том,
что время работы элементов распределено по показательному закону. Известно, что плотность показательного распределения имеет вид
f (x) = λe−λ t , t ≥ 0, |
λ = |
1 |
. P (a <t <b) = e−λa −e−λb . |
|
|||
|
|
tB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m |
−m |
′)2 |
|
Время, |
|
|
ti mi |
|
|
|
i |
i |
|
|
mi |
ti |
Pi |
200 Pi |
|
|
mi′ |
|
|
||
t |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0-5 |
133 |
2,5 |
332,5 |
1−0,3734 = 0,6266 |
125,3 |
|
0,473 |
|
|
|
5-10 |
45 |
7,5 |
337,5 |
0,3734−0,1395= 0,2339 |
46,78 |
|
0,068 |
|
|
|
10-15 |
15 |
12,5 |
187,5 |
0,1395−0,0521= 0,0874 |
17,48 |
|
0,352 |
|
|
|
15-30 |
7 |
22,5 |
157,5 |
0,0521−0,0027 = 0,0494 |
9,88 |
|
0,840 |
|
|
|
∑ |
200 |
|
1015 |
|
199,44 |
|
1,733 |
|
|
Интервалы, где mi < 5, объединили в один от 15 до 30.
tB = |
1015 |
= 5,075; |
λ = 0,197. |
|
200 |
|
f (t) = 0,197e−0,197t t ≥ 0. |
Плотность распределения имеет вид |
По критерию Пирсона при уровне значимости α = 0,05 проверяем, значимо или нет различие в частотах mi и mi′.
58
|
′ |
2 |
|
χ2набл. = ∑ |
(mi −mi ) |
|
=1,733; |
mi′ |
|
||
|
|
|
|
χ2крит . (0,05; 4 −1−1) = χ2крит . (0,05;2) = 6,00. |
|||
Так как χ2набл. < χ2крит ., то различие в mi и mi′ незначимо, нет |
оснований отвергать гипотезу о показательном распределении в генеральной совокупности.
Проверим эту гипотезу по критерию Колмогорова. Находим эмпирическую функцию распределения F *(ai ) и теоретическую функцию распределения F (ai ) =1−e−0,197ai .
ai |
|
mi |
F *(ai ) |
|
|
|
|
|
|
F (ai ) |
|
|
F *(ai )− F (ai ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
133 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0,665 |
|
|
1−0,3734 |
= 0,6266 |
|
0,0384 |
|
|||||||||
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
0,890 |
|
|
1−0,1395 |
= 0,8605 |
|
0,0295 |
|
|||||||||
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
0,965 |
|
|
1−0,0521= 0,9479 |
|
0,0171 |
|
||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
1,000 |
|
|
1−0,0027 |
= 0,9973 |
|
0,0027 |
|
|||||||||
λ |
= |
|
|
max |
|
F *(a |
|
)− F (a |
|
) |
|
= |
|
0,0384 |
= 0,543. |
|
|||||
|
200 |
|
i |
i |
|
200 |
|
||||||||||||||
опыт н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λкрит .(0,05) =1,358; 0,543<1,358.
Следовательно, гипотеза о показательном распределении не отвергается.
Задания для аудиторной работы
1.При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном
распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.
mi |
6 |
12 |
16 |
40 |
13 |
8 |
5 |
mi′ |
4 |
11 |
15 |
43 |
15 |
6 |
6 |
(Ответ: H0 принимается).
2.Используя критерий Пирсона при уровне значимости α = 0,05,
проверить гипотезу о виде распределения в генеральной совокупности, выдвинув ее для заданного распределения частот.
59
xi |
15 |
|
20 |
|
25 |
30 |
35 |
||
mi |
7 |
|
10 |
|
17 |
13 |
8 |
||
(Ответ: |
|
B = 25,45; |
s = 6,18; |
χ2набл. = 3,7). |
|
||||
x |
|
3.Используя критерии Пирсона и Колмогорова при уровне значимости
α= 0,05, проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном
распределении генеральной совокупности χ с заданным эмпирическим распределением, если:
Интерв (-20;-10) |
(-10; 0) |
|
(0; 10) |
(10; 20) |
(20;30) |
(30;40) |
(40;50) |
||
ал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота |
20 |
47 |
|
80 |
89 |
40 |
16 |
8 |
|
(Ответ: |
|
B =10,4; |
s =13,67; |
χ2í àáë. = 4,82; λî ï û ò = 0,497). |
|
||||
x |
|
4.Используя критерии Пирсона и Колмогорова при уровне значимости
α= 0,05, проверить, согласуется ли гипотеза о показательном
распределении с заданным эмпирическим распределением, если:
Интервал |
0-90 |
90-180 |
180-270 |
270-360 |
360-450 450-540 |
540-630 |
|
Частота |
50 |
33 |
21 |
8 |
4 |
2 |
2 |
(Ответ: λ = 0,0057; χ2набл. = 0,94; λ |
=1,135). |
опыт н. |
|
Задания для индивидуальной работы
1.Используя критерий Пирсона при α = 0,05 проверить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности признака X с эмпирическим распределением выборки.
2.Используя критерии Пирсона и Колмогорова при α = 0,05, проверить,
|
согласуется |
ли |
гипотеза о: |
а) нормальном распределении; |
|||||||
|
б) показательном распределении генеральной совокупности с заданным |
||||||||||
|
эмпирическим распределением. |
|
|
|
|
|
|||||
3. Свое задание № 2 из АР. |
|
|
|
|
|
||||||
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
xi |
|
mi |
2 а) |
Интервалы |
|
mi |
2 б) |
Интервалы |
mi |
|
|
5 |
|
15 |
|
3-8 |
|
6 |
|
0-80 |
48 |
|
|
7 |
|
26 |
|
8-13 |
|
8 |
|
80-160 |
30 |
|
|
9 |
|
30 |
|
13-18 |
|
15 |
|
160-240 |
21 |
|
|
11 |
|
40 |
|
18-23 |
|
20 |
|
240-320 |
9 |
|
|
13 |
|
36 |
|
23-28 |
|
16 |
|
320-400 |
7 |
|
|
15 |
|
25 |
|
28-33 |
|
8 |
|
400-480 |
3 |
|
|
17 |
|
18 |
|
33-38 |
|
7 |
|
480-560 |
2 |
60