Вышмат. Часть 1. Первый семестр. БрГТУ
.pdf
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
160. Даны гиперболы |
|
|
|
1 |
|||
25 |
144 |
||||||
|
|
|
b; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) ректрис.
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
и |
|
|
|
1. Найти: а) полуоси a и |
|||
225 |
64 |
||||||
|
|
|
уравнения асимптот; д) уравнения ди-
161. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой принадлежат оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если:
а) 2c 10; 2b 8 |
; |
||||
б) 2a 16; |
|
5 |
; |
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|||
в) 2c 12; |
6 |
|
; |
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
г) ее фокусы лежат на оси Оу, расстояние между ними равно 20, а действительная ось равна 16;
д) уравнение
равно 12,8.
162. Установить,
асимптот |
y |
3 |
x , расстояние между директрисами |
|
4 |
||||
|
|
|
какие кривые задаются следующими уравнениями:
а) 16x |
2 |
25y |
2 |
32x 100y 84 0 |
; |
б) 5x |
2 |
9y |
2 |
30x 18y 9 |
0 |
; |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) x |
9 2 |
y |
2 |
4y 8 ; |
|
г) y 3 |
x |
2 |
1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
163. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
а) парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ox, и еѐ параметр p 3 ;
б) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку A(4; 8).
в) она симметрична относительно оси Ох и проходит через точку
А(6; –2).
164. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в точке A(1; 2) , если парабола расположена:
а) симметрично относительно прямой
B(2;0);
б) симметрично относительно прямой
x 1 0 y 2 0
ипроходит через точку
ипроходит через точку
B(2;0)
.
165. Установить, какая линия определяется уравнением, и изобразить эти линии на чертеже:
а)
в)
д)
y |
2 |
10x |
|
2x2 5y
x 4
2y 0 |
; |
28x 10y 17 0 ;
3y 5 ;
б) y 61 x2 2x 7 ;
г) x2 8x 2y 18 0;
е) y 7 32 x2 6x 13 ;
41
ж)
и)
x y
5 |
3 |
y |
2 |
4y |
|
||||
4 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
4 |
6x x |
2 |
|
|||
3 |
|
||
|
|
|
12
;
;
з)
к)
y x
5
2
3x 5
6
21 |
; |
|
y y |
2 |
|
|
.
Задания для индивидуальной работы
166. Найти уравнение находятся в точках A
окружности, если концы одного из ее диаметров
3;9 , B 7;3 .
167. Найти уравнения касательных, проведенных из точки
M(0;3)
,
к
окружности x2 y 2 6x 4y 12 0 .
Ответ:
168. Записать уравнение окружности, если:
y 3; y
15 x
8
3
.
а) она проходит через правый фокус гиперболы
57x |
2 |
64y |
2 |
3648 |
|
|
и
ее центр в точке А(2; 8);
б) она проходит через левый фокус эллипса |
13x |
2 |
49y |
2 |
837 |
и ее |
|
|
центр в точке А(1; 8); в) она проходит через точку В(3; 4) и ее центр в вершине параболы
y |
2 |
|
1 |
x 7 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) она проходит через фокусы гиперболы 4x |
2 |
5y |
2 |
20 и ее центр в |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
точке А(0; –6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
169. Составить каноническое уравнение эллипса, если: |
|
|
|||||||||||||||
|
а) малая ось равна 24, расстояние между фокусами равно 10; |
|
|
||||||||||||||
|
б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен |
3 |
; |
||||||||||||||
|
5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) расстояние между директрисами равно 32, эксцентриситет равен |
||||||||||||||||
0,5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
г) малая полуось равна 7 и |
один из фокусов |
|
находится |
в точке |
||||||||||||
F (13; 0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
||||
|
д) эллипс проходит через точки |
A 3; 0 |
, B 1; |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
е) эллипс проходит через точку |
A 0; |
11 и |
5 |
; |
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) большая ось равна 30 и 1517 .
170. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
а) его полуоси равны, соответственно, 7 и 2; б) его малая ось равна 16, а эксцентриситет равен 0,6;
42
в) расстояние между его директрисами равно 10 |
2 |
, а эксцентриситет |
||||||||
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равен 0,6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171. Составить уравнение прямой, |
проходящей через левый фокус и |
|||||||||
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
нижнюю вершину эллипса |
|
|
|
1. |
|
|
||||
25 |
16 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
172. Составить уравнение эллипса, |
если известны его эксцентриситет |
|||||||||
0,5, фокус F(3;0) и уравнение соответствующей директрисы: |
||||||||||
x y 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
173. На эллипсе найти точку, расстояние до которой от правого фокуса в четыре раза меньше расстояния до левого фокуса, если уравнение эл-
липса 16x |
2 |
25y |
2 |
400. |
|
|
174. Составить каноническое уравнение гиперболы, а) действительная полуось a 4, эксцентриситет
если:
1,25
;
б) ее асимптоты заданы уравнениями
y |
x |
|
2 |
||
|
и расстояние между фо-
кусами равно 10.
в) расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10;
г) действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между фокусом и центром пополам;
д) действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку
A 9; 4 ; |
|
|
е) точки P 5;2 и Q 2 |
5;1 |
принадлежат гиперболе. |
ж) мнимая полуось равна 4 и один из фокусов находится в точке
F (–11; 0);
з) уравнения асимптот гиперболы y
и) гипербола проходит через точки A
x |
|
2 |
и |
||||
3 |
|||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
и B |
||||
; 1 |
|||||||
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
15
|
3 |
|
8; |
; 0
;
|
|
|
|
|
к) уравнения асимптот гиперболы y x |
17 |
и 2c 18 ; |
||
8 |
||||
|
|
175. Составить уравнение гиперболы, зная, что:
а) расстояние между вершинами равно 24, а фокусы находятся в точ-
ках F ( 10;2) |
и F (16;2) ; |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
б) эксцентриситет равен |
5 |
, один из фокусов находится в точке F(5;0) |
||
4 |
||||
|
|
|
и уравнение соответствующей директрисы 5x 16 0.
43
176.
ке
Точка M (1; 2) |
лежит на гиперболе, фокус которой находится в точ- |
|
|
1 |
|
F( 2;2) |
, а |
соответствующая директриса дана уравнением |
2x y
1
0
. Составить уравнение этой гиперболы.
177. Дан эллипс
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|||
15 |
6 |
||||
|
1. Найти уравнение гиперболы, вершины ко-
торой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса. 178. Составить каноническое уравнение параболы, если:
а)
F 0;2
– фокус,
O 0;0
– вершина параболы;
O
б) она
0;0 и
симметрична относительно оси
M 1; 4 ;
Ox
и проходит через точки
в) она симметрична относительно оси
O 0;0 и N 6; 2 ;
Oy
и проходит через точки
г) уравнение директрисы параболы x 13; д) уравнение директрисы параболы y 4;
е) уравнение директрисы параболы y 3 |
; |
ж) она симметрична относительно оси Оу и проходит через точку
А(4; –10).
179.Струя воды фонтана, имеющая форму параболы, достигает наибольшей высоты 4м на расстоянии 0,5м от вертикали, проходящей через точку О выхода струи. Найти высоту струи над горизонталью Ox на расстоянии 0,75м от точки О.
180.Составить уравнение параболы, если еѐ вершина в точке A(2;1) и
уравнение директрисы
2x y
2
0
.
181.Осевое сечение зеркала-прожектора имеет форму параболы. Определить положение фокуса, если диаметр зеркала 80 см, а глубина
40см.
182.Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить их на чертеже.
а) в)
д)
ж)
и)
л)
x |
2 |
y |
2 |
4x 6y 4 |
0 |
; |
|
|
x2 6y 2 12x 36y 48 0;
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
x2 4x 5 ; |
|||||
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
||
y 7 |
|
|
x2 6x 16 ; |
|||||
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y3 4x 1; x 5 y ;
б) г)
е)
з)
к)
м)
2x |
2 |
5y |
2 |
8x 10y |
17 |
||
|
|
||||||
x2 8x 2y 18 0; |
|
||||||
x 9 2 |
|
y |
2 |
4y 8 |
; |
||
|
|
x 5 32 8 2y y 2 ; x 2 6 2y ;
y 52 x2 25 .
0
;
183. Составить уравнение линии, каждая точка которой:
а) отстоит от прямой x 7 на расстоянии в три раза меньшем, чем от точки А(3; 1);
44
б) отстоит от прямой |
x 2 на расстоянии в пять раз большем, чем от |
точки А(4; –3); |
|
в) отстоит от прямой |
x 1 на расстоянии в четыре раза большем, |
чем от точки А(1; 5). |
|
г) отношение расстояний от точки М до точек А(3; –5) и В(4; 1) равно
0,25.
Ответы. 155. а) x 3 |
2 |
|
y 1 |
2 |
5 |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
156. а) x 2 |
2 |
y 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
36 ; |
|
|
|
б) x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
158. |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
1. |
|
|
|
|
159. а) |
25 |
|
|
9 |
1; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
x2 |
|
y 2 |
1; |
|
|
|
г) |
x2 |
y 2 |
1; |
|
|
д) |
|
|
x2 |
|
|
|
|
y 2 |
|
|
1; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
16 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
169 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
y |
2 |
|
|||
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
161. |
а) |
|
|
|
|
1; |
|
б) |
|
|
|
|
|
1; |
||||||||||||||||
41 16 |
|
41 25 |
|
|
9 |
16 |
|
|
64 |
36 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
1; д) |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
36 |
64 |
16 25 |
9 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
б)
е)
в)
x |
2 |
|
x2
25 |
||
x |
2 |
|
|
|
|
20 |
||
x |
2 |
|
|
||
25 |
y |
2 |
|
|
||
3 |
2 |
|
|
|
y 2
16
y 2
15
y 2
11
4 . 25 .
1;
1;
1;
|
|
|
|
12 Плоскость |
|
Общее уравнение |
плоскости имеет вид |
Ax By Cz D 0, где |
|||
n (A;B;C) называют нормальным вектором плоскости, причем выпол- |
|||||
2 |
2 |
C |
2 |
0 . |
|
няется условие A B |
|
|
|
Существуют различные способы задания плоскости, выпишем соот-
ветствующие им уравнения: |
|
|
1. A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 |
– |
уравнение плоскости с извест- |
ным нормальным вектором n (A;B;C) |
и точкой M0(x0;y0;z0 ), принад- |
|
лежащей плоскости. |
|
|
2. |
x |
|
y |
|
z |
1 – уравнение плоскости в «отрезках», |
|
a |
b |
c |
|||||
|
|
|
|
||||
чины |
отрезков, отсекаемых плоскостью на осях |
||||||
b 0, c 0. |
|
где а, b, с – вели-
координат, |
a 0, |
3.
x x |
y y |
1 |
z z |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
x |
2 |
x |
y |
2 |
y |
1 |
z |
z |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|||
x |
3 |
x |
y |
3 |
y |
1 |
z |
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
– уравнение плоскости, проходящей че-
рез три заданные точки Mi (xi ;yi ;zi ), (i 1,2,3) .
45
Рассмотрим
: A x B y C z |
||
2 |
2 |
2 |
плоскости
D2 0 .
: A x B y C z D 0 |
|||
1 |
1 |
1 |
1 |
и
Углом между двумя плоскостями |
|
и |
|
|
называется угол |
||||||||||||||||||||||||
нормальными векторами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
A A |
B B |
|
C C |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
n |
|
|
A |
|
2 |
B |
2 |
C |
2 |
|
|
A |
2 |
B |
2 |
C |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||
Условие перпендикулярности плоскостей и |
|
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n1 n2 |
0 или A1A2 |
B1B2 |
C1C2 |
0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
Условие параллельности плоскостей |
и |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
|
C |
|
D |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Расстояние от точки M1(x1;y1;z1) |
до плоскости |
Ax By Cz |
|||||||||||||||||||||||||||
числяется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d |
| Ax By |
|
Cz D | |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
B |
2 |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Задания для аудиторной работы |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
184. Построить плоскости, заданные уравнениями: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) |
5x 2y 3z 15 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
3x 2y 6 0 |
; |
|
|
|
||||||||||||||
в) |
3x 9 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
3x z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
между их
D 0 |
вы- |
185. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через:
а) точку C(1; 2; 2) |
параллельно плоскости xOz; |
|
|
б) точку M0(3;0;1) |
и ось Ox; |
|
|
в) точку M0(1;2;3) перпендикулярно к плоскостям |
x y z 7 0 |
||
3x 2y 12z 5 0 |
; |
|
|
г) точку M0(1;1;1) параллельно векторам a1 (1;2;0) |
, a2 |
(0;1;3); |
|
д) начало координат и точки M1(1;0;2), M2(0;0;3); |
|
|
и
е) точки
M1(1;0;1)
,
M2(0;2;3)
,
M3(0;2;1)
.
186.
187.
3x
188.
Найти угол между плоскостями x 2y 2z 3 0 и 3x 4y 5 0 . Вычислить расстояние между параллельными плоскостями
6y 2z 15 0 и 3x 6y 2z 13 0 .
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1;0;2 ,
перпендикулярно
3x 6y 3z 5 0
к |
двум |
плоскостям: |
2x y 3z 1 0 |
и |
.
189. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:
а) x y 3z 1 0; 2x y 5z 2 0 ;
46
б) 2x y 2z 4 0; 4x 2y 4z 8 0; |
|
190. Найти координаты точки Q , симметричной точке |
P 3;1; 9 |
сительно плоскости 4x 3y z 7 0 .
Задания для индивидуальной работы
отно-
191. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через:
а) точку M |
7; 3;5 |
и параллельна плоскости xOz; |
|
||
б) точку M |
3;1; 2 и ось Oz ; |
|
|||
в) точки M |
|
4;0; 2 , M 5;1;7 и параллельна оси Ox ; |
|
||
1 |
|
|
2 |
|
|
г) точку M 2;1; 1 |
и имеет нормальный вектор n 1; 2;3 ; |
||||
д) точку M 3;4; 5 |
|
и параллельно векторам a 3;1; 1 , |
b 1; 2;1 |
||
е) точки M1 3; 1; 4 |
, M2 5; 2; 6 , M3 2; 3; 3 . |
|
;
192. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через: а) точку А(–3; 1; –2) и ось Ох; б) точку А(–3; 1; –2) и ось Оу;
в) начало координат и точки M(2; 1; 2) и N (1; –2; 3);
г) точку M(2; –3; 5) параллельно плоскости 3x y 4z 1 0.
д) точки
2x 7y 5z
|
|
M |
1; |
1 |
|
9 0 |
1; 1
;
и |
M |
|
2 |
2;3;4
,
перпендикулярно плоскости
е) точку |
M 7; 5;1 |
и отсекает на осях координат равные положитель- |
ные отрезки;
ж) точки А(3; –1; 2) и В(2; 1; ) параллельно вектору a 5; 2; 1 .
193. Даны точки M1 3; 0; 4 |
и M2 5; 6; 9 . Записать уравнение плоскости, |
||
проходящей через точку M |
перпендикулярно к вектору M M |
2 |
. |
1 |
1 |
|
194.
M1(1;
Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки1; 2) и M2(3;1;1) перпендикулярно плоскости x 2y 3z 5 0 .
195. Составить уравнение плоскости, c 5 и перпендикулярной к вектору n
отсекающей на оси Oz отрезок
( 2;1;3) .
196. Составить уравнение плоскости, походящей через точку N (2; –1; 1) перпендикулярно к линии пересечения двух плоскостей: 3x y z 1 0
и x y 2z 1 0.
197. Найти косинусы углов между двумя плоскостями:
а) 2x y 2z 6 0 |
; |
2x 2y z 8 0 |
; |
б) 2x 2y z 2 0 |
; |
x y z 5 0; |
|
в) x 2y 2z 3 0; 3x 4y 5 0 . |
|
198. Выяснить, при каком значении k следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
47
а) б) в)
3 7 x
x 5y kz 3 0; x 3y 2z 5 0 x 2y z 0; kx y 3z 1 0;
4y z 1 0; 2x ky 10z 3 0 .
;
199. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:
а) б) в) г) д) е)
3x 2y z 2 0 ; 6x 4y 2z 1 0;
x 3z 2 0; 2x 6z 7 0;
3x y 5z 12 0; 2x 6z 3 0;
2x 3y z 8 0 ; 4x 6y 3z 7 0 ; 5x 2y 3z 5 0; 10x 4y 6z 5
3x 7y z 4 0; 9x 21y 3z 12
0 |
; |
0 .
200.
а) б) в)
Найти расстояние между параллельными плоскостями:
x 2y 2z 7 0 ; 2x 4y 4z 17 0; |
|
6x 2y 4z 15 0 ; 9x 3y 6z 10 0 |
; |
3x 6y 2z 35 0; 3x 6y 2z 7 0 . |
|
201.
4x
Вычислить объем
3y 12z 10 0 |
и |
куба,
4x 3y
две грани
12z 3 0
которого лежат в плоскостях
.
202. Составить уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, гранями которых служат плоскости:
а) 3x y 7z 4 0 |
; |
5x 3y 5z 2 0; |
|
б) 2x y 5z 3 0 |
; |
2x 10y 4z 2 0 |
; |
в) 5x 2y 5z 3 0 |
; 2x y 7z 2 0 . |
|
Ответы. 185. а) y 2 |
; б) y 0 ; в) 2x 3y z 11 0 ; г) 2x y 2 |
||||||||||||
189. а) пересек.; б) совп. 194. 4x y 2z 9 0 |
. 195. |
2x y 3z 15 |
|||||||||||
197. а) 0; б) |
|
1 |
|
. 200. а) |
1 |
; б) |
|
25 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
3 |
|
|
2 |
126 |
|
|
|
|
13 Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
0 0
.
.
Существуют различные способы задания прямой в пространстве, выпишем соответствующие им уравнения:
1. |
A1x B1y C1z D1 |
0, |
– общие уравнения прямой в пространстве: |
|
|
||
|
A2x B2y C2z D2 |
0; |
|
прямая в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей.
2.
x x |
|
|
y y |
|
|
z z |
|
0 |
|
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|||
m |
|
|
n |
|
|
p |
– канонические уравнения прямой в про-
странстве с направляющим вектором s (m,n, p) и точкой (x0,y0,z0 ) , лежащей на прямой.
48
|
x |
3. |
|
y |
|
|
|
|
z |
где s
x |
0 |
mt, |
|
|
y |
0 |
nt, |
– параметрические уравнения прямой в пространстве, |
|
|
|
|
|
|
z |
|
pt, |
|
|
0 |
|
|
|
|
(m,n, p) – направляющий вектор, t |
– параметр. |
4.
x x |
|
y y |
|
|
|
z z |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
x |
|
y |
2 |
y |
1 |
|
z |
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
– уравнения прямой в пространстве, про-
ходящей через две заданные точки M (x ,y ,z ) и M |
(x |
,y |
2 |
,z |
) . |
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
|
Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
L : |
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
; L : |
x x2 |
|
y y2 |
|
z z2 |
. |
1 |
m1 |
|
n1 |
|
p1 |
2 |
m2 |
|
n2 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда величина угла между ними определяется как величина угла между их направляющими векторами и может быть найдена по формуле:
cos cos(s ,s |
) |
s |
s |
|
|
m m |
n n |
p p |
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
s |
s |
m |
2 |
n |
2 |
p |
2 |
|
m |
2 |
n |
2 |
p |
2 |
||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
.
Условие параллельности прямых L1 |
и |
Условие перпендикулярности прямых
|
|
x x |
|
|
Угол между прямой |
L : |
0 |
||
m |
||||
|
|
|
L2 |
: |
m |
|
|
n |
|
||
|
1 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
L |
и L |
|
: m m |
|||||
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
y y |
|
|
z z |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
1 |
. |
|
p |
||
|
||
2 |
|
n1n2 p1p2 0 .
иплоскостью
:
Ax By Cz D 0
определяется по формуле:
sin |
|
| Am Bn Cp | |
|
|
|
. |
|||||||
2 |
B |
2 |
C |
2 |
|
|
2 |
n |
2 |
p |
2 |
||
A |
m |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Условие параллельности прямой L и плоскости : |
Am |
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости :
Bn
mA
Cp
Bn Cp
0
.
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
y y |
0 |
|
z z |
Расстояние от точки |
|
M1 |
|
до прямой |
L : |
0 |
|
0 |
||||||
|
|
m |
n |
|
p |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
| M M |
1 |
s |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
по формуле: d |
0 |
|
|
|
, где s (m,n, p) . |
|
|
|
|
|
||||
|
| s |
| |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находят
|
Расстояние |
|
между |
скрещивающимися |
прямыми |
|||||||||||||
L : |
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
|
и L : |
x x2 |
|
y y2 |
|
z z2 |
|
можно найти по |
||||
1 |
|
m1 |
|
|
n1 |
|
p1 |
2 |
m2 |
|
n2 |
|
p2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
M1M2, s1, s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
формуле: d |
|
|
|
|
|
|
, где M1 x1,y1,z1 ,M2 x2; y2; z2 . |
|||||||||||
|
| s1 s2 | |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим в пространстве плоскость : Ax By Cz D 0 и пря-
49
|
|
|
x x |
0 |
mt; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мую L , заданную параметрическими уравнениями L : |
|
|
|
nt; |
|
|||
y y |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
pt. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
||
Чтобы определить взаимное расположение плоскости |
|
|
и прямой L |
, |
||||
рассмотрим уравнение: A x0 mt B y0 nt C z0 |
pt D 0 . Отсю- |
|||||||
да: |
|
|
|
|
|
|
|
|
t Am Bn Cp Ax By |
0 |
Cz D . |
|
|
(4) |
|
||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1) Если Am Bn Cp 0, то уравнение (4) |
имеет единственное реше- |
ние, а, значит, прямая пересекает плоскость в одной точке. При этом,
|
Ax By |
0 |
Cx |
D |
|
|
|
|
||
t |
0 |
|
|
0 |
|
и |
координаты |
точки |
пересечения |
|
Am Bn Cp |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
mt; y |
0 |
nt; z pt . |
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2) Если |
|
Am Bn Cp 0 |
и |
Ax0 By0 Cz0 D 0, то уравнение (4) |
имеет бесконечно много решений, а следовательно, прямая лежит в плоскости.
3) Если Am Bn Cp 0 и Ax0 By0 Cz0 D 0 , то уравнение (4) не имеет решений а, значит, прямая параллельна плоскости.
Задания для аудиторной работы
203. Составить канонические уравнения прямой,
а) точку |
M0(2;0;3) |
параллельно вектору a (3; |
б) точку |
A(1;2;3) параллельно оси Ox; |
|
в) точки M1(1;2;3) |
и M2(4;4;5) . |
проходящей через:
2; 2) |
; |
204. Привести |
к каноническому виду общее уравнение прямой |
x 2y 3z 4 0; |
|
|
0. |
3x 2y 5z 4 |
|
|
|
205. |
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точ- |
|
3x y 2z 2 0; |
ку M1(2;3; 5) параллельно прямой |
|
|
x 3y 2z 3 0. |
206. |
Установить взаимное расположение двух прямых: |
а)
б)
x 2 y z 1 и 4 3 2
2x 3z 2 0;
2y z 6 0; и
x 5 8t;y 4 6t;
z 3 4t;
x 12z 49 0;4y 37z 148 0.
50