21. Групповые помехозащитные коды.

Групповые коды. Множество всех двоичных слов a длины m

а=а₁а₂…а_m образуют абелеву (коммутативную) группу относительно поразрядного сложения. Пусть E – это кодирующая m x n матрица, у которой есть m x m подматрица с отличным от нуля определителем, например, единичная. Тогда отображение a →aE переводит группу всех двоичных слов группы m в группу кодовых слов длины n.

Пусть матрица A= а₁а₂…а_m = a’+ a”, тогда b= b₁…b_n =a E будет состоять из 2-х элементов b’+b”, тогда b = a’E, b’’=a’’E

b_j=a₁e_1j+a₂e_2j+…+a_me_jm=(a’₁+a”₁)e_1j+…+(a’_m+a”_m)e_mj

т.е. взаимно однозначное отражение группы двоичных слов длины m при помощи заданной матрицы Е сохраняет свойство групповой операции, т.е. кодовые слова образуют группу.

Блочный код называется групповым, если его кодовые слова образуют группу. Если код является групповым, то наименьшее расстояние м/ду двумя кодовыми словами равно наименьшему весу ненулевого слова.

В приведённом примере наименьший вес ненулевого слова равен 3. Т.е. этот код способен исправить однократную ошибку или обнаруживать двойную. При использовании группового кода незамеченными остаются только те ошибки, которые соответствуют строкам ошибок в точности равным кодовым словам. Такие ошибки переводят одно кодовое слово в другое. Следовательно, вероятность не обнаружения ошибки равна сумме вероятностей всех строк ошибок равным кодовым словам. Схема декодирования состоит из группы G всех слов, которые могут быть приняты, кол-во таких слов 2ⁿ, т.к. кодовые слова В образуют нормальную подгруппу из G, являющиеся членами одного смежного класса по В, т.е. первая строка соответствует нулевому слову из G, т.е. это будут все кодовые слова B.(b₀, b₂,.., b^m_2-1,)

i-ая строка

g_i є G - строка, содержащая эл-ты g_i смежные с эл-ми В, т.е. b₀+g_i, b₁+g_i, …, b^m_2-1+g_i,

Лидером каждого из таких построенных классов называют слово минимального веса. Обычно, в 1-ом столбце этой таблицы записываются лидеры, и такая таблица называется таблицей декодирования. Декодирование состоит в выборе кодового слова bi по полученному слову g=bi+gi. Данная схема декодирования может исправлять ошибки. Т.е. для декодирования слова его необходимо отыскать в таблице и выбрать в качестве переданного слова в этом же столбце в первой строке.

22. Полиномиальные помехозащитные коды.

При полиномиальном кодировании каждое сообщение отождествляется с многочленом, а кодирование состоит в умножении на фиксированный многочлен. Полиномиальный код является блочным. Отличие состоит в алгоритме кодирования и декодирования. Пусть исходное сообщение a. Сопоставим ему многочлен a(x)=a0+a1x+a2x*x+…+am-1*x^m-1. Все вычисления происходят в поле классов вычетов по модулю 2. Зафиксируем многочлен по степени k g(x)=g0+g1x+…+gkx^k. g0<>0. Gk<>0.

Процедура кодирования преобразует слово a в слово b при помощи операции b(x)=a(x)*g(x)=b0+b1x+…+bn-1x^n-1, которому соответствует кодовое слово b. Рассмотрим кодирующий элемент g(x)=1+x^2+x^3. A=01011. A(x)=x+x^3+x^4. B(x)=g(x)a(x)=x+x^5+x^7.

B=01000101 – кодовое слово, полученное в рез-те.

Пр. (3, 6) – код х³+х+1

G= 000 -> 000000 001->001101 010->011010

Полиномиальные коды явл. групповыми.

Пусть исходному сообщению соответствует полином b(x)=a(x)g(x), где g(x) – кодирующий полином

C(x)=b(x)+e(x), где e(x) – соответствует строка ошибок е(х)=е₀+е₁х+e₂x²…

Для декодирования необходимо поделить c(x) на g(x).

c(x)/g(x), где c(x) = a(x)g(x)+e(х)

деление без остатка возможно лишь в том случае, если е(х) делится на g(х). в противном случае остается ненулевой остаток, т.е. любая ошибка, многочлен которой не делится на g(x) будет обнаружена. Если кодирующий многочлен g(x) порождающий соответствующий (m, n) – код, не явл. делителем ни одного из многочленов вида x^j+1 для j<n, то минимальным расстоянием м/ду кодовыми словами не меньше 3-х, d>=3.