Аттестационная работа
.doc
Таким образом, уравнение плоскости запишется в виде:
Расстояние от точки до плоскости находится по формуле:
В нашем случае:
Ответ:
№10. Вычислить пределы:
а) .
Решение:
При числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, то есть мы имеем неопределённость вида . Разложим числитель и знаменатель на множители:
Квадратное уравнение имеет корни , . Значит, .
Квадратное уравнение имеет корни , . Значит, .
Поэтому .
Ответ:
б) .
Решение:
При числитель и знаменатель дроби также стремятся к бесконечности, то есть мы имеем неопределённость вида .
,
так как частные стремятся к нулю при .
Ответ:
в) .
Решение:
При числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, то есть мы имеем неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю:
.
Ответ: .
г) .
Решение:
так как (первый замечательный предел), а .
Ответ: .
№11. Вычислить , используя эквивалентные бесконечно малые функции.
Решение:
так как , , при .
Ответ: .
№12. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
Решение.
Функция определена и непрерывна на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и .
Для точки имеем:
, , . Так как , то функция в точке является непрерывной.
Для точки имеем:
, , , т.е. функция в точке имеет разрыв первого рода. При этом скачок функции в точке равен .
График функции имеет вид:
№13. Найти производную функций
а) .
Решение:
б) .
Решение:
в) .
Решение.
№14. Найти , используя правило Лопиталя.
Решение:
№15. Найти промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функции, промежутки вогнутости и выпуклости, точки перегиба графика функции .
Решение:
Находим критические точки функции из равенства :
.
– критические точки функции .
Эти точки разбивают область определения функции на промежутки , , . Определим знак производной на каждом их этих промежутков:
Т.о., функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутке . При этом точка является точкой максимума функции, а точка – её точкой минимума.
Для определения промежутков выпуклости и вогнутости находим вторую производную и приравниваем её к нулю:
.
.
Т.о., точка графика с абсциссой является подозрительной на перегиб. Точка разбивает область определения функции на промежутки и . Определим знак второй производной на каждом их этих промежутков:
Т.о., график функции является выпуклым на промежутке и вогнутым на промежутке .
Поскольку , то точка является точкой перегиба графика функции.