23
§12 Действие в электромагнитном поле.
Функция действия для системы "заряженные частицы - поле" может быть представлена в виде:
S = Sp + Sf + Spf |
(36) |
где Sp - функция действия системы частиц, Sf - функция действия для электромагнитного поля, Spf - функция действия взаимодействия частиц с полем.
Функция действия для системы частиц может быть представлена в виде:
N |
ds |
(37) |
Sp = − i=1 mic Z |
||
X |
|
|
Функция действия, определяющая взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем может быть записана в виде:
N |
qci Z |
4 |
(38) |
|
Spf = i=1 |
µ=0 Aµ dxµ |
|||
X |
|
|
X |
|
Функция действия для поля Sf - зависит только от переменных, определяющих свойства поля в отсутствии заряженных частиц. Поля удовлетворяют принципу суперпозиции. Это означает, что уравнения для описания поля должны быть линейными. Следовательно в Sf - могут содержаться только квадратичные по полю слагаемые. Так как Sf должна быть скалярной функцией, то существует единственный скаляр второго порядка по полю, который может быть построен из тензора электромагнитного поля Fµ ν
Sf = const Z Z |
3 |
|
X |
|
|
λ,µ=0 F λ µFλ µ dv dt |
(39) |
В системе единиц Гаусса const = −161π . Таким образом, действие для системы "заряженные частицы - электромагнитное поле" определяется суммой слагаемых (37)-(39).
§13 Принцип наименьшего действия в электродинамике.
Известно, что принцип наименьшего действия позволяет получить уравнения движения исходя из вида функции действия. Для заряженной частицы, находящейся в фиксированном электромагнитном поле функция действия имеет вид:
S1 |
= Sp + Spf = Za |
−mc ds + c µ=0 Aµ dxµ! |
= Zt1 |
L dt |
(40) |
|||||||
|
b |
|
|
|
q |
3 |
|
t2 |
|
|
||
где L - функция Лагранжа или Лагранжиан: |
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
L ≡ −mc2p1 − v2/c2 |
+ |
A · v − q ϕ. |
|
|
(41) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
c |
|
|
|||||||||
Градиент функции L по переменной v в соответствии с методом Лагранжа в механике определяет обобщенный импульс частицы в поле p:
p = gradv L ≡ |
∂L |
= |
|
mv |
+ |
q |
A |
(42) |
|
∂v |
|
p |
|
c |
|||||
|
1 − v2/c2 |
||||||||
Исходя из вида функции Лагранжа можно найти функцию Гамильтона для частицы находящейся в поле:
|
∂L |
|
|
mc2 |
|
|||
H = v · |
|
− L = |
|
|
|
+ qϕ. |
(43) |
|
∂v |
|
p |
|
|||||
|
1 − v2/c2 |
|
||||||
24
Гамильтониан системы выражается через импульс, что с учетом соотношения (42) приводит к следующему соотношению:
|
− qϕ |
|
2 |
= m2c2 + p |
|
q |
A |
(44) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
H c |
|
|
− c |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
H = r |
|
|
|
|
+ qϕ |
(45) |
||||||
m2c4 + c2 |
p − c A |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
2 |
|
|
|
Уравнение Гамильтона-Якоби.
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в электромагнитном поле, которое следует из (44) с использованием определений p → grad S, H → −∂S∂t .
grad S − c |
A |
2 |
− c2 |
∂t + qϕ |
2 |
(46) |
||||
+ m2c2 = 0 |
||||||||||
|
q |
|
|
1 |
|
∂S |
|
|
|
|
Уравнения Лагранжа.
На основании (40), (41) нетрудно получить уравнение движения заряженной частицы в поле, так как принцип наименьшего действия δS = 0 приводит в общем случае, к уравнению Лагранжа:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
∂L |
= |
|
∂L |
(47) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
∂v |
|
|
∂r |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
gradv L - определяется выражением (42). Найдем gradr L: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
gradr L = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
gradr(A · v) − q gradr ϕ |
(48) |
||||||||||||||||||||||||||||||
∂r |
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Используя формулу векторного анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
grad (a · b) = (a · r)b + (b · r)a + b × rot a + a × rot b |
(49) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим уравнение (48) в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
(v · r)A + |
|
|
v |
× rot A − q grad ϕ. |
(50) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂r |
|
c |
|
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, уравнение Лагранжа имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
||||||||||||||
|
|
p + |
|
|
A = |
|
|
|
(v · r)A + |
|
v × rot A − q grad ϕ |
(51) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
dt |
c |
c |
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
dA |
|
|
|
|
|
∂A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ (v · r)A. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
∂t |
|
|||||||||||||||||||||||||
Окончательно находим: |
|
|
|
|
|
|
|
q ∂A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
− q grad ϕ + |
|
[v × rot A]. |
(52) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
c |
∂t |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Первая пара уравнений Максвелла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Если ввести определения |
|
|
|
|
|
|
1 ∂A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
E = − |
− grad ϕ, |
|
|
|
|
B = rot A, |
(53) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение (52) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= q E + |
q |
[v × B], |
(54) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
c |
||||||||||||||||||||||||||||
25
что совпадает с уравнением движения заряда в поле под действием силы Лоренца. Таким образом, соотношения (53) позволяют определить первую пару системы уравнений Максвелла
1 |
∂B |
|
||
div B = 0; rot E = − |
|
|
|
(55) |
c |
∂t |
|||
Вторая пара уравнений Максвелла.
Для вывода второй пары системы уравнений Максвелла из принципа наименьшего действия
воспользуемся действием вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 = Spf + Sf |
|
|
|
|
|
|
(56) |
||||||||||
и проварьируем переменные поля. |
|
|
|
µ=0 jµ |
|
|
|
− 16πcδ λ,µ=0 F λ µ Fλ µ dΩ = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
δS = Z c2 |
δAµ |
(57) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя определение тензора электромагнитного поля Fλ µ = ∂λAµ − ∂µAλ находим: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
δ S = |
Z |
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
jµ δAµ |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
F λ µδ(∂λAµ |
|
∂µAλ) dΩ = |
(58) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
c |
|
c µ=0 |
|
− |
8π λ,µ=0 |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
= |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
jµ δAµ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
F λ µ∂λ δAµ + |
|
1 |
|
|
|
F λ µ∂µ δAλ) dΩ |
|
||||||||||||||
|
c µ=0 |
− 8π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
λ,µ=0 |
|
|
|
|
|
|
|
8π λ,µ=0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|||||
Выполним замену |
индексов суммирования |
|
|
* |
|
в третьем слагаемом выражения (58), в результате |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
) µ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F λ µ∂λ δAµ dΩ |
|
||||||||
|
|
|
|
δS = |
|
|
1 |
1 3 |
|
jµ δAµ |
+ |
1 |
3 |
(59) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
c µ=0 |
4π λ,µ=0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Проинтегрируем второе слагаемое в (59) по частям, в результате: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
" |
|
|
|
c jµ |
− 4π |
|
∂λ F λ µ! |
δAµ # dΩ = 0 |
(60) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Z µ=0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
λ=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Окончательно из (60) находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂λF λ µ = |
|
|
jµ, |
|
|
|
|
|
|
(61) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ=0
что и определяет вторую пару системы уравнений Максвелла.
Литература
[1]С.Р.де Гроот, Л.Г.Сатторп. Электродинамика. М., Наука, 1982.
[2]А.А.Арцимович, С.Ю.Лукьянов. Движение заряженных частиц в электрических и мангитных полях. М., Наука, 1978.
[3]Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Гидродинамика. М., Наука, 1986.
[4]В.Г.Левич. Курс теоретической физики. Том 1 М., Наука, 1969.
[5]В. Карцев. Приключения великих уравнений. М., Знание, 1986, 288 с.
[6]Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Электродинамика. т.6. М., Мир, 1966, 343с.
[7]Джексон. Классическая электродинамика.
[8]Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Наука, 1971, 1108 с.
[9]Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский. Квантовая теория волнового момента. Ленинград, Наука, 1975.
[10]Тамм И.Е. Основы теории электричества. М., Наука, 1976.
[11]М.М. Бредов, В.В. Румянцев, И.Н. Топтыгин. Классическая электродинамика. М., Наука, 1988.
26
Оглавление
§1 |
Основы специальной теории относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
§2 |
Следствия из преобразований Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
§3 |
Четырехмерные обозначения в специальной теории относительности . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
§4 |
Кинематические определения в четырехмерном пространстве. 4-скорость. 4-ускорение. . . . . |
11 |
§5 |
Релятивистская механика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
§6 |
Элементарная квантовая теория электромагнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
§7 |
4-ток. 4-потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
§8 |
Тензор электромагнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
§9 |
Преобразование напряженностей полей. Инварианты поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
§10 |
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
§11 |
Эффект Доплера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
§12 |
Действие в электромагнитном поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
23 |
§13 |
Принцип наименьшего действия в электродинамике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
23 |
27