Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы математической физики - Егоров А.А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

414.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Раздел 2. Уравнения гиперболического типа

ì	¢¢	+ λ	2				(2.21)
ïX			2	X	= 0, 0	< x < l
ïX				X	= 0, 0	< x < l
íX	(0) = 0, X (l) = 0						(2.22)
ï
î

Те значения λ , для которых задача (2.21) , (2.22) имеют нетривиальные решения ― собственные значения, а соответствующие нетривиальные решения ― собственные функции. Общее решение (2.21) :

X (x) = C1 cosλx + C2 sin λx

(2.22) :

x = 0 :C1 + C2 ×0 = 0 Þ C1 = 0
Положим С2 =1						kπ
x = l : 1×sin λl = 0 Þ λ = λk =						kπ	,k =1,2,K	(2.23)
x = l : 1×sin λl = 0 Þ λ = λk =						l	,k =1,2,K	(2.23)
						l
Соответствующие собственные функции
Xk (x)		= sin	kπ x		,k =1,2,K			(2.24)
Xk (x)		= sin			,k =1,2,K			(2.24)
			l
Запишем дифференциальное уравнение (ду) для T (t) при найденных λk :
	k	æ kπ a		ö2
T		+ ç		÷ T = 0 .
T		+ ç		÷ T = 0 .
		è l		ø

Его решение имеет вид: T (t)

= A cos

kπ at

+ B sin

kπ at

, A , B

― произ-

k k

kπ at

kπ x

вольные постоянные. u

(x,t) = X

(x)T

(t) =

æ A cos

+ B sin

ösin

uk ― частные решения уравнения (2.15) . В силу однородности исходного

уравнения и граничных условий сумма частных решений

u(x,t)

∞ æ

kπ at

kπ at ö

kπ x

= åç Ak cos

+ Bk

sin

÷sin

(2.25)

k=1 è

также является решением задачи (2.15) . Выберем Ak , Bk

так, чтобы выполня-

лись начальные условия (2.17)

∞

kπ x

= ϕ (x)

åAk sin

(2.26)

k=1

∞

kπ a

kπ x

=ψ (x)

åBk

sin

(2.27)

k=1

(2.26), (2.27) ― разложение функций ϕ (x),ψ (x) в ряд Фурье по sin в интер- вале [0,l]. Коэффициенты разложения


A	=	2	l	ϕ (x)sin		kπ x		dx
A	=		l	ϕ (x)sin				dx
k		l	ò0			l
		l	ò0			l				(2.28)
			2		l ψ (x)sin		kπ x			(2.28)
B	=		2				kπ x		dx
B	=								dx
k		kπ a ò0						l
		kπ a ò0						l

Егоров А.А. Методы математической физики

Т.е. ряд (2.25) с Ak , Bk из (2.28) даёт решение исходной задачи

(2.15), (2.16), (2.17). Это утверждение верно при дополнительном утвержде- нии, что ряд (2.25) допускает почленное дифференцирование по x и t дважды, а это связано с гладкостью ϕ (x),ψ (x) .

Замечание 1: В (2.20) в качестве параметра разделения ― (-λ2 ) < 0,-λ2 Î R . Это не является ограничением, т.к. в случае

ìïX ¢¢ - λ2 X = 0

íïîX (0) = X (l) = 0 (т.е. параметр разделения положителен) только тривиаль-

ное решение.

Замечание 2: Изложенная схема метода Фурье принципиально не меня-

ется и в случае других типов однородных граничных условий (когда концы стержня двигаются свободно, концы струны закреплены упруго), изменяются лишь граничные условия для соответствующих задач Штурма-Лиувилля.

¢¢

x = 0

ìx

+ l

ïíx¢(0) = x¢(l) = 0 ― для свободных концов

¢¢

x = 0

ìx

+ l

(l) + hx¢(l) = 0 ― для жестко закрепленных

ïíx

(0) - hx¢(0) = 0, x

концов

Дадим физическую интерпретацию полученному решению: если

ввести обозначения

sinUk =

;

cosUk =

, тогда (2.25) перепишет-

+ B2

ся в виде:

U (x,t) = å

kpx

æ kpat

(2.29)

+ Bk sin

sinç

+Uk ÷ .

Каждый член ряда (2.29) называется стоячей волной, или гармоникой,

т.е. точки струны совершают гармоническое колебание с амплитудой

sin

kπx

, частотой w =

kπa

и начальной фазой U

+ B2

Доминирующее значение имеет первая стоячая волна (с ней связан

основной тон струны)

Тоны, соответствующие более высоким частотам (ω2 ,ω3 и т.д.) на- зываются обертонами.

§5. Метод разделения переменных для неоднородного уравнения колебаний струны.

Раздел 2. Уравнения гиперболического типа

ìï¶2U ï ¶t2

íïU x=0

ïïU t=0

= a2 ¶2U		+ f (x,t),			0 < x < l,	t > 0	(2.30)
	¶x2						(2.31)
= 0	U		x=l = 0,		t > 0
= 0					t > 0

=U (x),			¶U		= y(x),	0 < x < l	(2.32)
=U (x),			¶U		= y(x),	0 < x < l	(2.32)
			¶t	t=0
			¶t	t=0

Будем искать решение задачи (2.32) в виде суммы

U (x,t) = ϑ(x,t) + ω(x,t), где ϑ(x,t) − решение следующей смешанной задачи:

¶2J

= a2

¶2J

+ f (x,t)

(2.33)

¶t2

¶x2

= 0;

= 0

(2.34)

íJ

x=0

x=e

¶J

(2.35)

ïJ

= 0,

= 0

¶t

t=0

а ω(x,t) −решение смешанной задачи (2.36) − (2.38):

¶2w

= a2

¶2w

;

(2.36)

¶t2

¶x2

= 0;

= 0

(2.37)

íw

x=0

x=l

(x);

¶w

= y(x)

(2.38)

ïw

¶t

t=0

Решение задачи (2.36) − (2.38) совпадает с решением ранее рассмотрен-

ной задачи (2.15) − (2.17):

∞

kpat

kpat ö

kpx

ïw(x,t) = åç Ak

sin

+ Bk

cos

÷sin

k=1

(2.39)

2 l

kpx

ïA =

U (x)×sin

dx, B

y(x)sin

kpa

l 0

Функцию ϑ(x,t) тоже будем искать в виде ряда Фурье по собствен- ным функциям задачи Штурма-Лиувилля:

∞

kpx

J(x,t) = åJk (t)sin

(2.40)

k=1

при этом рассматривая переменную t как параметр. Граничные условия

(2.34) для функции ϑ очевидно будут выполнены.

В свою очередь разложим функцию f (x,t)

в ряд Фурье:

∞

kpx

f (x,t) = å fk (t)sin

fk (t) =

f (x,t)sin

(2.41)

k =1

ò0

Подставляя (2.40) и (2.41) в исходящее уравнение (2.33), полу-

чим:

Егоров А.А. Методы математической физики

∞ æ

æ kpa

kpx

çJ¢¢ (t) +

(t) - f

(t)÷sin

= 0

åç k

k =1 è

è l

Это соотношение будет выполнено, если все коэффициенты ряда

равны нолю, т.е.:

¢¢

æ kpa ö2

Jk (t) - fk (t) = 0

(2.42)

Jk (t) + ç

l ø

Подставляя (2.40) в начальное условие (2.35) получим:

ϑk (0) = 0,

′

(2.43)

ϑk (0) = 0

Линейное неоднородное уравнение (2.42) с начальными условиями

(2.43) образует задачу Коши. Решение этой задачи даётся формулой:

Jk (t) =

fk (t)´ ´sin

kπa

(t - t)dt .

kpa ò0

Таким образом, решение задачи (2.33) − (2.35) даётся формулой

∞

kpx

kpa

J(x,t) = åk=1

sin

ò0

fk (t)sin

(t - t)dt.

(2.44)

kpa

Складывая (2.39) и (2.44) получим решение исходной задачи

(2.30) − (2.32).

Раздел 3. Уравнения параболического типа

Раздел 3.Уравнения параболического типа

§1. Постановка задачи для уравнений параболического типа.

Типичным представителем параболического типа является уравнение те- плопроводности, описывающее процесс нестационарного распределения тем- пературы в среде. Общий вид уравнения теплопроводности:

c(x, y, z)r(x, y, z)

∂U

= div(k (x, y, z)gradU )+ F (x, y, z,t)

(3.1)

¶t

¶u ö

где div(k (x, y, z)gradu) =

¶u

¶ æ

¶u ö

ç k

÷ +

ç k

¶x

¶y

¶y ø

¶z è

¶z ø

c(x, y, z) − теплоемкость среды;

ρ(x, y, z) − плотность среды;

k (x, y, z) − коэффициент теплопроводности

F (x, y, z,t) − плотность внешних источников

Если среда однородна (c,ρ,k = const), то уравнение (3.1) упрощается до

вида:

∂u

= a2Du + f (x, y, z,t)

(3.2)

¶t

где Du = ¶2u

+ ¶2u

+ ¶2u ; a2

F (x, y, z,t)

;

f (x, y, z,t) =

. Если температур-

¶x2

¶y2

¶z2

c ×r

ное поле таково, что в плоскостях. параллельных плоскости XOY распределе-

ние температуры одинаково, то уравнение (3.2) принимает вид:

¶u

= a

¶2u

¶2u ö

(x, y,t)

(3.3)

¶t

¶x

¶y

2 ÷ + f

Уравнение (3.3) называется уравнением теплопроводности пластины.

Если температурное поле задано только от одной переменной, то мы име-

ем уравнение теплопроводности тонкого стержня:
¶u	= a2 ¶2u	+ f (x,t)	(3.4)
¶t	¶x2

Отметим, что уравнения (3.1) − (3.4) описывают также процессы диффу-

зии, а функция u в этом случае имеет смысл концентрации вещества. Началь- ное условие в таких задачах ― температура в начальный момент времени.

§2. Принцип максимума

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопровод- ности.

¶u

= a

¶2u

¶2u ö

(x, y, z) = P ÎG, t > 0

(3.5)

¶t

¶x

¶y

¶z


Егоров А.А. Методы математической физики
		u(P,t)		r = m(P,t),	t > 0	(3.6)


		u(P,t)	t=0 = h(P),		P ÎG	(3.7)


где		= G U Г
	G
		Теорема 1. «Принцип максимума».
		Если функции μ(P,t) и η(P) непрерывны и согласованны (т.е. при

t = 0 μ(P,0) = η(P), P Г они совпадают), то непрерывное решение сме- шанной задачи (3.5), (3.6), (3.7) достигает своего максимального (минималь- ного) значения либо на границе Г , либо в начальный момент времени t = 0.

Доказательство: GT = {(P,t): P ÎG,0 £ t £ T} ― четырехмерный цилиндр.

ГT = {(P,0): P ÎG} È{(P,t): P Î Г,0 £ t £ T}. M = maxu(P,t);m = maxu(P,t).
GT	ГT

От противного:

Предположим, что u(P,t): M > m и пусть M = u(P0 ,t0 ) и (P0 ,t0 ) GT или при t = T . Рассмотрим

ϑ (P,t) = u(P,t) +

M − m

(

(x - x

)2 + ( y - y

)2 + (z - z

)

,d = max

6d 2

PP1 2 G

1 2

ϑ (P,t)

£ u(P,t)

M − m

= m +

M − m

< M .

ГT

С другой стороны, υ (P0 ,t0 ) = u(P0 ,t0 ) = M .

То есть υ(P,T ) так же, как и функция u(P,T ) достигает максимума не на гра- нице ГT , а в некоторой точке (P1,t1), притом (P1,t1) GT или t1 = T .

¶U

³ 0 (

¶U

= 0 , при t < T ,

¶U

³ 0 при t = T ― по свойству мак-

¶t

(P ,t )

симума).
æ	¶2U		+	¶2U		+	¶2U ö
ç	¶x	2	+	¶y	2	+	¶z	2	÷
è	¶x			¶y			¶z		ø	( P ,t )
									1		1

£ 0 то есть
æ ¶υ	2	ö
ç	- a	Dυ ÷
è ¶t		ø

³ 0

(3.8)

(P1 ,t1 )

С другой стороны,	∂υ	- a2Dυ =	∂u	- a2Du - a2	M − m	= -a2	M − m	< 0 , что про-
	¶t		¶t		d 2		d 2

14243

тиворечит (3.8).

То есть предположение неверно. Вторая часть теоремы доказывается аналогич- но, если u(P,t) заменить на −u(P,t) .ЧТД.

Следствие 1. Решение смешанной задачи (3.5) − (3.7) единственно. Доказательство: Пусть два решения задачи (3.5) − (3.7): u1(P,t),u2 (P,t) . То- гда υ(P,t) = u1(P,t) − u2 (P,t) ― это решение однородной задачи.

Раздел 3. Уравнения параболического типа

Тогда в силу принципа максимума υ(P,t) = 0 во всей G,0 < t £ T , то есть

u1(P,t) ≡ u2 (P,t) .

Следствие 2: Решение смешанной задачи (3.5) − (3.7) непрерывно зависит от

входных данных, то есть от начального и граничных условий.

Доказательство: Наряду с задачей (3.5) − (3.7) рассмотрим задачу с “возмущен-

ными” входными данными:

ì¶u% = a2Du% ï ¶t

ïíu%(P,t) Г = μ%(P,t)

ïïu%(P,t) t=0 = ϕ%(P)

где | μ(P,t) − μ%(P,t) |≤ ε , |ϕ(P) −ϕ%(P) |≤ ε .

Если u(P,t) ― решение (3.5) − (3.7), а u%(P,t) ― решение

(3.9)

(3.10) (3.11)

(3.9) − (3.11), то

υ(P,t) = u(P,t) − u%(P,t) будет удовлетворять уравнению теплопроводности с малыми начальными и граничными условиями. |υ(P,t) |≤ ε на ГT . Тогда по принципу максимума |υ(P,t) |=| u(P,t) − u%(P,t) |≤ ε на GT .

§3.Единственность решения задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности тонкого стержня.


ì	¶u		2	u				(3.12)
ï	¶u		= a2 ¶	u	+ f (x,t),	-¥ < x < +¥,	t > 0	(3.12)
í	¶t		¶x2					(3.13)
ï		t=0 = ϕ(x),				-¥ < x < +¥
ï
îu
îu

Теорема 2.

Пусть ϕ(x) непрерывная и ограниченная функция. Тогда, если u(x,t) ограни- ченна во всей области, то есть M > 0 :| u(x,t) |< M x (−∞;+∞), t > 0 , то ре- шение задачи (3.12),(3.13) единственно.

Доказательство: Пусть два решения u1(x,t),u2 (x,t) . Тогда υ(x,t) = u1(x,t) − u2 (x,t) ― решение однородной задачи Коши

ì					2
ì	¶υ		= a2		¶ υ	(3.14)
ï	¶υ		= a2		¶ υ	(3.14)
í	¶t				¶x2	(3.15)
ïυ				= 0
ïυ				= 0
î		t=0
î		t=0

При этом |υ(x,t) |≤| u1(x,t) | + | u2 (x,t) |≤ 2M .

Рассмотрим двумерный цилиндр Gt = {(x,t) :| x |≤ l,0 ≤ t ≤ T}.

Введем w(x,t) =	4M	(	x2	+ a2t). w(x,t) ― решение (3.14).
	l2
		2

Кроме того, w(x,t) ±υ(x,t) ― тоже решение (3.14) на нижнем основании ци- линдра.

Егоров А.А. Методы математической физики

На боковых сторонах цилиндра (w(x,t) ±υ(x,t))

= 2M +

4Ma2t

±υ(x,t) ³ 0.

x=±l

Тогда по принципу максимума всюду в цилиндре w(x,t) ±υ(x,t) ³ 0 .

|υ(x,t) |£ w(x,t) =

(

+ a2t).

Переходя к пределу l → ∞ и фиксируя произвольную точку (x,t)

получим, что

"(x,t) υ(x,t) º 0 .

§4. Метод разделения переменных для параболических уравнений.

Рассмотрим смешанную задачу:

¶u = a2 ¶ u2 ,

0 < x < l,

t > 0

(3.16)

¶t

¶x

(3.17)

= 0,

t > 0

íu

x=0

x=l

= ϕ(x),

0 < x < l

(3.18)

ïu

t=0

Согласно методу переменных, будем искать решение (3.16) − (3.18) в виде:

	u(x,t) = X (x)T (t) .				(3.19)
Подставляя (3.19) в (3.16):	T '	=	x"	= -λ .
	a2T		x

Из граничных условий (17): x(0) = x(l) = 0. Для X получим задачу Штурма-

Лиувилля:
ìX "(x) + λ X (x) = 0		(3.20)
í	= X (l) = 0
îX (0)

æ T

ö2

(3.20):

Для λk = ç

÷ ,k =1,2,... $ нетривиальное решение

Xk (x) = sin

kπ x

,k =1,2,... ( Xk - собственные функции).

Рассмотрим дифференциальное уравнение для T : T '+ a2λT = 0.

При λ = λ : T

(t) = A e-(kπ a l )2 t , где A

― произвольная постоянная.

(x)T (t) = A e-(

kπa 2

t sin

kπ x

Итак, все функции вида u

(x,t) = X

)

удовлетворяют

(3.16), (3.17).

Составим ряд:

æ kπ a ö2

kπ x

-ç

u(x,t) = åuk (x,t) =åAk e

è l

sin

(3.21)

k=1

Определим Ak

так, чтобы выполнялось (3.18).

kπ x

åAk sin

= ϕ(x) ― это разложение ϕ(x) в ряд Фурье по sin на [0;l].

k=1

Раздел 3. Уравнения параболического типа

Его компоненты

2 l

kπξ

ò0

(ξ )sin

dξ ,

(3.22)

то есть решение (3.16) − (3.18) даётся формулой (3.21) в которой Ak

вычисля-

ются по (3.22).

Преобразуем найденное решение, подставив в (3.21) компоненты (3.22):

æ kπa ö2

kπξ

ö -ç

kπ x

u(x,t) = åç

òϕ(ξ )sin

dξ ÷e

sin

= [если ряд равномерно сходится

k=1

è l

æ kπa ö2

kπ x

kπξ

è l

-ç

по ξ ] = òç

åk=1 e

sin

÷ϕ(ξ )dξ .

0 è

æ kπ a ö2

kπ x

kπξ

-ç

(3.23) ― функция мгновенного

G(x,ξ ,t) =

åe

è l

sin

k=1

точечного источника тепла, характеризует распределение температуры в стержне x [0;l] в момент времени t , вызванное действием мгновенного ис- точника тепла, помещённого в t = 0 в точке ξ , тогда как на концах стержня поддерживается нулевая температура.

§5. Неоднородное уравнение теплопроводности.

Рассмотрим смешанную задачу для неоднородного уравнения теплопроводно- сти:

ì¶u = a2 ¶2u + f (x,t)

ï ¶t ¶x2

ïíu |x=0 = 0,u |x=l = 0

ïïu t=0 = 0 ïî

(3.24)

(3.25) (3.26)

Будем искать решение в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма Лиувилля:


				u(x,t) = åk¥=1uk (t)sin		kπ x
				u(x,t) = åk¥=1uk (t)sin			l
							l
считая t параметром. Представим правую тоже в виде ряда:
				f (x,t) = åk¥=1 fk (t)sin			kπ x
				f (x,t) = åk¥=1 fk (t)sin			l
	2			kπξ			l
где fk (t) =	2	l	f (ξ,τ )sin	kπξ	dξ . Подставляя (3.27) ,			(3.28) в (3.24):
где fk (t) =	l	ò0	f (ξ,τ )sin		dξ . Подставляя (3.27) ,			(3.28) в (3.24):
	l	ò0		l

(3.27)

(3.28)

¥	é	æ kπ a ö2			ù	kπ x
åk=1	êuk¢	(t) + ç		÷	uk (t) - fk (t)úsin		= 0	. Это соотношение будет выполне-
åk=1	êuk¢	(t) + ç	p	÷	uk (t) - fk (t)úsin	l	= 0	. Это соотношение будет выполне-
	ê	è	p	ø	ú	l
	ë				û

но, если все компоненты разложения равны нулю:

Егоров А.А. Методы математической физики

æ kπ a ö

uk¢ (t)

+ ç

uk (t) = fk (t)

(3.29)

Из (3.26) Þ

uk (0) = 0

(3.30)

æ kπ a ö2

Решение задачи Коши (3.29) − (3.30) ― uk (t)

-ç

(t-τ )

(t)dτ . С учетом

= ò0 e è

l ø

выражения для fk

получаем окончательное решение (3.24) − (3.26):

kπ x

æ kπ a ö2

(t-τ ) æ

kπξ

u(x,t) =

t -ç

f (ξ ,τ )sin

åk=1sin

× ò0 e è

l ø

ò0

dξ

÷dτ =

= ò0t ò0l G(x,ξ ,t -τ )f (ξ ,τ )dξdτ ,

æ kπ a

kπ x

kπξ

где G(x,ξ ,t -τ ) =

-ç

÷(t-τ )

åe è l

sin

― функция мгновенного источ-

ρ k=1

ника, определяемая (3.23).

Замечание: Если в рассмотренной задаче условие (3.26) не однородно, т.е. u t=0 = ϕ(x), то к полученному решению u(x,t) необходимо прибавить решение v(x,t) однородного уравнения (3.24) с заданным начальным условием v t=0 = ϕ(x) (это решение найдено в предыдущем параграфе).

Рассмотрим общий случай постановки смешанной задачи для уравнения тепло- проводности:

ì	¶u			2	u2 + f (x,t) , 0 < x < l, t > 0
ï	¶u		= a2 ¶		u2 + f (x,t) , 0 < x < l, t > 0
ï	¶t			¶x
				= μ1(t) , u		x=l = μ2 (t), t > 0

íu		x=0
ï				= ϕ(x)
ï
ïu		t=0
ï
î

Введем функцию v(x,t) : u(x,t) = v(x,t) + u(x,t)

v(x,t) ― отклонение от некоторой известной функции u(x,t) . Определим v(x,t) , как решение смешанной задачи:

¶u

, 0 < x < l, t > 0

¶v = a2 ¶

+ f (x,t) - ç

- a2 ¶

¶t

¶x

¶t

¶x

= μ1(t) - u

x=l = μ2 (t) - u

ív

x=0

x=0 , v

x=l , t > 0

= ϕ(x)

ïv

t=0

- ut=0

Выберем u , чтобы ϑ удовлетворяло однородным граничным условиям:

(3.31)

(3.32) (3.33)

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>