Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы математической физики - Егоров А.А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

414.12 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Егоров Андрей Александрович

Методы математической физики

5 Семестр

Егоров А.А. Методы математической физики

Раздел 1. Классификация уравнений в частных производных (УЧП).

Будем рассматривать УЧП 2-го порядка с двумя независимыми перемен- ными x и y :

¶u

u2 ,

Fç x, y,u,

= 0,

(1.1)

¶x

¶y

¶x

¶y

¶x¶y ø

Φ ― заданная функция своих аргументов.

Частный случай ― УЧП, линейный относительно старших производных:

(x, y) ¶2u

+ 2a

(x, y)

¶2u

+ a

(x, y) ¶2u

= F

æ x, y,u,

¶u ,

¶u ö

(1.2)

¶x

¶x¶y

¶x ¶y ø

где aij (x, y) ― дважды непрерывно дифференцируемые функции.

[ F (x) = 0 ― линейное уравнение, если F (x + y) = F (x) + F ( y) = 0 и

F (α x) = αF (x) = 0].

Классификация уравнений вида (1.2).

ξ = ϕ (x, y)

Замена переменных:

η =ψ (x, y).

D(ϕ,ψ )

¶ϕ

¶ψ

Якобиан

¶x

¶y

¶ϕ

¶ψ

D(x, y)

¶x

¶y

Чтобы преобразование переменных было корректным, нужно чтобы

D(ϕ,ψ )

¹ 0 .

D(x, y)

Заменим частные производные:

∂u

∂u ∂ϕ

∂u ∂ψ

; ∂u

∂u ∂ϕ

∂u

∂ψ ;

¶x

¶η ¶x

¶ξ ¶y

¶ξ ¶x

¶y

¶η ¶y

¶2u

¶2u æ

¶ϕ ö2

¶2u ¶ϕ ¶ψ

¶2u æ

¶ψ ö2

¶u ¶2ϕ

¶u ¶2ψ

÷ + 2

;

¶x

¶ξ

¶ξ¶η ¶x ¶x

¶η

¶ξ ¶x

¶η ¶x

¶x ø

¶2u

¶ϕ ¶ϕ +

¶2u ¶ϕ ¶ψ

¶u ¶2ϕ

¶2u ¶ψ ¶ϕ

¶2u ¶ψ ¶ψ

¶u ¶2ψ

;

¶x¶y

¶ξ ¶x¶y

¶η2 ¶x ¶y

¶η ¶x¶y

¶ξ 2 ¶x ¶y

¶ξ¶η ¶x ¶y

¶2u

¶ϕ ö2

¶2u ¶ϕ ¶ψ

¶2u

¶ψ ö2

¶u ¶2ϕ

¶u ¶2ψ

÷ + 2

;

¶y

¶ξ

¶ξ¶η ¶y ¶y

¶η

¶ξ ¶y

¶η ¶y

¶y ø

¶2u

% æ

¶u

¶u ö

(1.3)

a%11

+ 2a%12

+ a%22

F çξ ,η,u,

¶ξ

¶ξ¶η

¶η

¶ξ

¶η ø

Раздел 1. Классификация уравнений в частных производных

a%11	æ	¶ϕ ö2		¶ϕ ¶ϕ	+ a12	æ	¶ϕ ö2
a%11	= a11 ç	÷	+ 2a12	¶x ¶y	+ a12	ç	÷	;
	è	¶x ø		¶x ¶y		è	¶y ø

a%12

= a11 ¶ϕ ¶ψ

¶ϕ ¶ψ

+ ¶ϕ ¶ψ

+ a12

¶ϕ ¶ψ

;

+ a11 ç

¶x ¶x

¶x ¶y

¶y ¶x

¶y ¶y

a%22

¶ψ ö2

+ 2a12

¶ψ ¶ψ

¶ψ

ö2

= a11 ç

¶x ¶y

+ a12 ç

¶y

÷ .

¶x ø

Выберем ξ,η так, чтобы a%11 = 0 , то есть

¶ϕ ö2

+ 2a

¶ϕ ¶ϕ

+ a

¶ϕ

ö2 = 0

(1.4)

¶x

¶y

¶x ø

(1.4) ― УЧП первого порядка. Решение уравнения (4) связано с решением

ОДУ

æ dy ö2

- 2a

+ a

= 0

(1.5)

è dx ø

(1.5) ― характеристическое уравнение.

Связь между (1.4) и (1.5) устанавливает следующая теорема о характери-

стиках:

Теорема. Для того чтобы ϕ (x, y) была решением (1.4), необходимо и достаточно, чтобы соотношение ϕ (x, y) = C представляло собой общий инте- грал ОДУ (1.5).

Доказательство:

Необходимость: Пусть ϕ (x, y) ― нетривиальное решение (1.4), то есть

¶ϕ ö2

+ 2a ¶ϕ ¶ϕ + a

¶ϕ ö2

º 0

(1.6)

¶x

¶y

¶x ø

¶y ø

¶ϕ

ö2

¶ϕ ö

¶x

- 2a

¶x

+ a

º 0

(1.7)

¶ϕ

¶ϕ ÷

¶y

¶y ø

∂ϕ

Рассмотрим равенство ϕ (x, y)

= C . В тех точках, где

¹ 0 это равенство

¶y

¶ϕ

определяет неявную функцию y = f (x,C)

, причем

= -

¶x

. В силу (1.7) это

¶ϕ

¶y

означает, что y = f (x,C) ― общее решение уравнения (1.5)

или ϕ (x, y) = C ―

общий интеграл (1.5).

Егоров А.А. Методы математической физики

Достаточность: Пусть ϕ (x, y) = C ― общий интеграл (1.5) . Из предыдуще- го рассуждения следует, что справедливо тождество (1.7). Умножая (1.7) на

æ ¶ϕ ö2 ( ) ϕ ( ) ( )

ç ÷ , получим 1.6 , и x, y ― решение уравнения 1.4 . ЧТД.

è ¶y ø

Рассмотрим три случая:

1. D = a122 − a11a22 > 0 . Тогда (1.2) ― уравнение гиперболического типа (преобразование переменных обычно не меняет типа уравнений). Тогда (1.5) распадается на два ОДУ:

a + a 2

- a a

a - a 2

- a a

(1.8)

11 12

Пусть ϕ(x, y) = C , ψ (x, y) = C

общие интегралы уравнений (1.8). Эти ин-

тегралы называются характеристиками (они действительны и различны). В силу теоремы о характеристиках, ϕ(x, y) и ψ (x, y) ― решения уравнения (1.4).

Выбирая ξ = ϕ(x, y) и η =ψ (x, y) в качестве новых переменных, обращаем

в ноль не только a%11, но и a%22 .

После деления на 2a%22

уравнения (1.3) получим:

¶2u

= F

ξ ,η,u,δu ,

δu ö

(1.9)

¶ξ¶η

δξ

δη ø

F =

2a%12

(1.9) ― первая каноническая форма для уравнений гиперболического типа.

Сделаем линейную замену переменных:

α =

ξ +η

, β =

ξ −η

∂u

1 ∂u

∂u

1 ∂u

∂u

¶ξ

2 ¶α

2 ¶β

2 ¶β ¶η

¶2u

1 ¶2u

¶ξ¶η

4 ¶α 2

4 ¶β 2

Подставив это в формулу (1.9), мы получим вторую каноническую форму

для уравнений гиперболического типа.

¶2u

= F

æα,β ,u,

¶u

(1.10)

¶α

¶β

¶α

¶β ø

D = 0 .

F2 = 4F1

В этом случае (1.2) ― уравнения параболического типа. Тогда (1.2)

сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению:

Раздел 1. Классификация уравнений в частных производных

∂y

a11

, общий интеграл которого ϕ(x, y) = C

¶x

a22

Пологая ξ = ϕ(x, y),

η =ψ (x, y) ,

где ψ

― произвольная функция, не зави-

сящая от ϕ , получим:

a%11 = 0

= a

Покажем, что после замены a%

= 0

a a

2 . Без ограничения общности

можно считать, что a11 > 0 , a22 > 0 (всегда можно взять модуль).

æ ¶ϕ

ö2

¶ϕ ¶ϕ

¶ϕ

ö2

¶ϕ ö2

¶ϕ ¶ϕ

a%11

+ 2a12

a11

a12

= a11 ç

¶x ¶y

+ a22 ç

¶y

÷ =

÷ + 2 a12

¶x ¶y

è ¶x

¶x ø

¶ϕ ö2

¶ϕ

ö2

a22

a11

a22

= [по условию] = 0

+ç

¶y

= ç

¶x

¶y

¶ϕ ¶ψ +

¶ϕ ¶ψ

+ a22

¶ϕ ¶ϕ =

a%12 = a11 ¶ψ ¶ψ + a12 ç

¶x ¶x

¶x ¶y

¶y ¶x

¶y ¶y

öæ

a11 ¶ϕ

a22

¶ϕ

a11

¶ψ

+ a22

¶ψ

= ç

÷ç

÷ = 0

¶x

¶y

øè

¶x

¶y

Разделив на a%22 , получим каноническую форму для уравнений параболиче-

ского типа:

¶2u

= F

æξ,η,u,

¶u

ö ,

F =

(1.11)

¶η

¶ξ ¶η

a%22

D < 0 .

В этом случае (1.2) ― уравнения эллиптического типа.

Тогда (1.5) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравне-

ния с комплексно-сопряженными правыми частями:

a + i a 2

- a a

a - i a 2

- a a

(1.12)

Общие интегралы (1.12) имеют вид:

ϕ(x, y) = C , ϕ*(x, y) = C ,

где ϕ* ― комплексно-сопряженная к ϕ функция.

Полагая ξ = ϕ(x, y),

a η = ϕ*(x, y), аналогично случаю уравнения гипербо-

лического типа приходим к уравнению (9), но только с комплексными пере- менными ξ и η .

Введем α =

ϕ + ϕ*

, β =

ϕ -ϕ*

, α,β ¡.

Получим:

∂u

1 ∂u

∂u

1 ∂u

¶2u

1 ¶2u

¶ξ

2 ¶α

2i ¶β

¶η

2 ¶α

2i ¶β

¶ξ¶η

4 ¶α 2

¶β 2

Егоров А.А. Методы математической физики

Подставим в (1.9):

¶2u

= F

α, β ,u,

¶u

¶u ö

(1.13)

¶α

¶β

¶α

¶β ø

F4 = 4F1

(1.13) ― каноническая форма для уравнений эллиптического типа. Замечание: В случае, когда D < 0 , при решении конкретных задач необя-

зательно находить промежуточное представление (1.9), достаточно решить од- но из уравнений (1.12) в виде общего интеграла ϕ(x, y) = C , затем ввести новые переменные α = Re(ϕ(x.y)) , β = Im(ϕ(x, y)). В результате приходим к (1.13).

Пример: Привести к каноническому виду:

¶2u

+ 2

¶2u

= 0

¶x2

¶x¶x

¶y2

Характеристическое уравнение имеет вид:

æ dy

ö2

- 2

+ 2 = 0

è dx

D =1− 2 = −1, D < 0 ― уравнение эллиптического типа.

Одно из решений (1.14): y = (1+ i)x = C .

a = y − x , β = −x .

∂u

= (-1)

∂u

+ (-1)

∂u

¶x

¶α

¶β

∂u

¶y

¶α

¶2u

¶x2

¶α

¶α¶β

¶β 2

¶2u

¶y2

¶α 2

¶2u

= -

¶2u

¶x¶y

¶α 2

¶α¶β

Подставим в исходное уравнение:

¶2u

= 0 ― уравнение Лапласа

¶α 2

¶β

Раздел 2. Уравнения гиперболического типа

§1. Основные задачи для уравнений гиперболического типа.

Простейшим одномерным уравнением гиперболического типа является уравнение поперечных колебаний струны.

ρ (x)¶2u	= T ¶2u	+ F (x,t),	(2.1)
¶t2	0 ¶x2
где u(x,t) ― вертикальное перемещение струны,			ρ (x) ― линейная

плотность струны, F (x,t) ― плотность внешних сил, T0 ― натяжение струны. Если струна однородная, то

ρ (x) = ρ	0	= const ,	¶2u	= a2 ¶2u	+ f (x,t), a2 =	T0	,	f (x,t) =	F (x,t)	.
			¶t2
				¶x2		ρ0			ρ0

Уравнение свободных колебаний: ∂2u = a2 ∂2u

∂t2 ∂x2

В двумерном случае имеет уравнение малых поперечных колебаний мем- браны:

ρ (x, y)¶2u

= T

¶2u

+ ¶2u

ö + f (x, y,t)

(2.2)

¶t

¶x

¶y

u(x, y) ― отклонение мембраны от положения равновесия, остальные

параметры аналогичны. Однородная мембрана ― ρ (x, y) = ρ0 = const

¶2u

2 æ

¶2u

¶2u ö

F (x, y,t)

2 = a

2 +

÷ + f (x, y,t), a

, f (x, y,t) =

¶t

¶x

¶y

ρ0

В случае свободных колебаний

¶2u

= a2

(

¶2u

¶2u )

¶t2

¶x2

¶y2

Изучение колебаний трехмерных однородных объектов приводит к вол-

новому уравнению

¶2u

= a

¶2u

¶2u ö

(2.3)

¶t

¶x

¶y

¶z

÷ + f (x, y, z,t)

u(x, y, z,t) ― потенциал скоростей движения частиц колеблющегося объ-

екта.

§2. Постановка задач, имеющих единственное решение.

Рассмотрим различные постановки задач на примере (2.1):

u(x, y)

― дает отклонение струны от оси X , x [0;l]. Если концы стру-

ны закреплены жестко, то должны выполняться краевые условия

u(x,t)

x=0 = 0 и u(x,t)

x=l = 0 .

Егоров А.А. Методы математической физики

Поскольку процесс колебаний зависит от начального отклонения и на-

чальной скорости, то необходимо задать начальные условия

u(x,t)

t=0

=ϕ(x) ,

∂u

t=0

=ψ (x) .

¶t

После добавления к (2.1) граничных и начальных условий приходим к

задаче:

ρ(x) ¶2u

= T

¶2u

+ F(x,t),

0 < x <1, t > 0

(2.4)

¶t

¶x

= 0,

u(x,t)

x=l = 0, t > 0

(2.5)

íu(x,t)

x=0

¶u

(2.6)

ïu(x,t)

= ϕ(x),

t=0

=ψ (x)

îï

¶t

Задача (2.4), (2.5), (2.6) ― смешанная задача для уравнения колебаний

струны.

Варианты граничных условий:

1.Когда концы струны двигаются по заданному закону, то (2.5) при-

нимает вид


	u(x,t)	x=0 =μ1		(t) и u(x,t)		x=l =μ2 (t)	′
							′
							(2.5 )
2.	Если концы струны двигаются свободно, то
		∂u		∂u			(2.5′′)
		∂u		∂u
		¶x	x=0	= 0 , ¶x	x=l = 0
		¶x	x=0	= 0 , ¶x	x=l = 0

3.Если струны закреплены упруго

æ	¶u ö		æ		¶u ö	x=l = 0	(2.5′′′)
æ	¶u ö		æ		¶u ö
çu - h	÷	x=0 = 0 , çu + h			÷
è	¶x ø		è		¶x ø
	′	′′	′′′	) называются соответственно гра-
Граничные условия (2.5 ), (2.5			), (2.5	) называются соответственно гра-

ничными условиями 1-го, 2-го и 3-го рода. Возможны сочетания различных граничных условий.

Наряду со смешенной задачей ставится также начальная задача или зада- ча Коши:

ρ(x)

¶2u

= T

¶2u

+ F(x,t),

-¥ < x < +¥,

t > 0 (2.7)

¶t

¶x

¶u

=ψ (x),

(2.8)

ïu(x,t)

= ϕ(x),

-¥ < x < +¥

¶t

t=0

При достаточной гладкости (т.е. существование непрерывных производ- ных нужного порядка) входных данных (ρ,T , F,ϕ,ψ для Коши) решение сме-

шанной задачи (2.4), (2.5), (2.6) и задачи Коши (2.7), (2.8) существует, при-

чем единственное.

Аналогично ― задачи для других размерностей. Например, смешанная задача для однорогого волнового уравнения:

¶2u	= a2 (	¶2u	+	¶2u	+	¶2u ) + f (x, y, z,t),(x, y, z)ÎG,t > 0 ,
¶t2		¶x2		¶y2		¶z2

Раздел 2. Уравнения гиперболического типа

u Γ = u(x, y, z,t),t > 0,

u t=0 = ϕ(x, y, z), ∂¶ut t=0 =ψ (x, y, z),(x, y, z)ÎG ,

где Γ ― граница G(Г = ∂G),G = G Γ

§3. Метод Даламбера.

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения колебаний струны

¶2u

= a2 (

¶2u),-¥ < x < +¥,t > 0

(2.9)

¶t2

∂u

¶x2

t=0

= ϕ(x),

t=0

=ψ (x),-¥ < x < +¥,t > 0

(2.10)

¶t

Характеристическое уравнение (согласно общей теории):

æ dx ö2

÷ - a

= 0

è dt ø

Оно распадается на два уравнения:

- a = 0,

+ a = 0 .

Общие интегралы этих уравнений:

x − at = C, x + at = C .

Новые переменные:

ξ = x + at, η = x − at .

Приведем (2.9) к каноническому виду:

¶2u

= 0 .

(2.11)

¶ξ¶η

Проинтегрируем (2.11)

сначала по η :

∂u

= f (ξ ) , затем по ξ :

¶ξ

где f1, f2

u = ò f (ξ )dξ = f1 (ξ ) + f2 (η ),

(2.12)

― производные функций одной переменной. Возвращаясь к

старым переменным, из (2.12) находим множество всех решений уравнения

(2.9):

					u = f1 (x + at) + f2 (x − at)				(2.13)
Определим				f1, f2 так, чтобы выполнялись начальные условия:
Подставляя (2.13) в (2.9) получим:
ì f	(x) + f	2	(x) = ϕ (x),		ì f1 (x) + f2 (x) = ϕ		(x),
ï 1		2			ï
í					í	1	x
ïaf ¢(x) - af				¢ (x) =ψ (x);ï f1 (x) - f2 (x) =		1	òx0	ψ (z)dz + C;
ïaf ¢(x) - af				¢ (x) =ψ (x);ï f1 (x) - f2 (x) =		a		ψ (z)dz + C;
î	1			2	î	a

Егоров А.А. Методы математической физики

ì f

(x) =

ϕ (x)

x ψ (z)dz +

ï 1

2a òx0

ϕ (x)

ïï f2

(x) =

òxx0

ψ (z)dz -

;

Подставим это в (2.13), получим:

1 ç

ò ψ (z)dz -

ψ (z)dz ÷ =

u(x,t) = ϕ (x + at)

+ ϕ (x - at) +

æ x+at

x−at

(2.14)

= ϕ (x + at) + ϕ (x - at) + 1

ψ (z)dz.

x+at

x−at

(2.14) ― формула Даламбера, определяет единственное решение задачи Коши (2.9), (2.10), если ϕ (x) дважды непрерывный дифференциал, а ψ (x) непрерывный дифференциал (ϕ (x)ÎC2 [0;1],ψ (x)ÎC[0;1]).

§4. Метод разделения переменных или метод Фурье.

Один из основных методов решения уравнений в частных производных. Рассмотрим применение метода Фурье на примере смешанной задачи уравне- ния колебаний струны, закрепленной на концах.

¶2u = a2 ¶2u

0 < x < l,

t > 0

(2.15)

¶t2

¶x2

(2.16)

x=0 = 0,

x=l = 0, t > 0

t=0

= ϕ (x),

¶u

=ψ (x),

0 < x < l

(2.17)

¶t

t=0

Будем искать решение задачи в виде

u(x,t) = X (x)×T (t)

(2.18)

Подставляя (2.18) в (2.15) :

T′′

X ′′

(2.19)

a T

(2.19) должно выполняться тождественно. Т.к. левая часть (2.10) не за-

висит от x , а правая не зависит от t , то

T′′

X ′′

= -λ2 = const

(2.20)

a T

где λ ― параметр разделения. Подставляя (2.18) в (2.16), находим

X (0)T (t) = 0, X (l)T (t) = 0 , т.к. ищем нетривиальное решение u(x,t) ¹ 0 , по- лучим X (0) = X (l) = 0 .

Присоединяя эти граничные условия к (2.20), приходим к задаче Штурма Лиувилля:

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>