Метод Шихмана

Среди линейных многошаговых методов абсолютной устойчивостью обладает метод Гира второго порядка

и его реализация с переменным шагом – метод Шихмана:

, (3.20)

где

(3.21)

Локальная погрешность метода Шихмана

(3.22)

пропорциональна третьей производной, которую можно аппроксимировать разностной формулой

и использовать в (3.22) при оценке погрешности.

При реализации метода Шихмана необходимо учесть следующее обстоятельство. В начальный момент времени известен лишь вектор . Поэтому первый шаг интегрирования следует выполнить неявным методом Эйлера, который также реализуется формулой (3.20) при . Второй шаг интегрирования можно было бы выполнить методом Шихмана, однако оценку погрешности по формуле (3.23) в этом случае провести еще невозможно. Значит и второй шаг интегрирования следует выполнить неявным методом Эйлера. И лишь начиная с третьего шага интегрирования, вычисления проводятся по формулам (3.22), (3.23).

Задание

1. Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (перечень задач приведен ниже), программы численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (явным и неявным методами Эйлера, методом Шихмана). Вычисления выполнить для .

Задачи:

1.

2.

3.

4.

Числа являются собственными числами симметричной матрицы . Если все , то решение системы стремится к точке покоя (-1; 1; -2). Значения и задаются преподавателем.

Содержание электронного отчета

1. Тексты программ.

2. Задача, результаты ее решения каждым методом для .

25