TeorVer / Лекция 2. Теоретико-множественная трактовка основных понятий теории вероятностей

ЧАСТЬ 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Лекция 2

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И ИХ СЛЕДСТВИЯ

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с элементарными сведениями из теории множеств; сформулировать аксиомы теории вероятностей, их следствия и правило сложения вероятностей.

Элементарные сведения из теории множеств

Множеством называется любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

Примеры множеств: множество студентов на лекции; множество точек на плоскости, лежащих внутри круга радиуса r; множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d; множество натуральных чисел.

Множества обозначаются по-разному. Множество M натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано как

Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d, можно записать в виде

S { x a d} или S {x : x a d} ,

где x – абсцисса точки.

Множество точек плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса r с центром в начале координат,

11

C {x2 y2 r 2} или C {( x, y) : x2 y2 r 2} ,

где x, y – декартовы координаты точки. Еще одна запись этого множества

C { r} ,

где – одна из полярных координат точки.

По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Множество M {1, 2, , 100} конечно и состоит из 100 элементов. Но

множество может состоять и из одного элемента и даже вообще не содержать элементов.

Множество всех натуральных чисел N1 {1, 2, , n, } бесконечно,

также как бесконечно множество четных чисел N2 {2, 4, , 2n, } .

Бесконечное множество называется счетным, если все его элементы можно расположить в какой-то последовательности и пронумеровать (оба

множества, N1 и N2 , являются счетными).

Множества S и C бесконечны и несчетны (их элементы нельзя пронумеровать).

Два множества A и B совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов: {1, 4} и {4, 1} . Совпадение множеств обозначается знаком равенства: А=В. Запись a A обозначает, что объект а является элементом множества А или "а принадлежит А". Другая запись a A означает , что "а не принадлежит А".

Подмножество может быть равно самому множеству. Графически можно изобразить соотношение множества и подмножества, как показано на рис. 2.1, где каждая точка фигуры В принадлежит и фигуре

Таким образом, объединение – это совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из объединяемых множеств.

Например: {1, 2, , 100} {50, 51, , 200} {1, 2, , 200} .

12

Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В показана на рис. 2.2.

Аналогично определяется объединение (сумма) нескольких множеств

i 1

где результирующее множество есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств: A1 , A2 , , An .

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множест-

как множество, состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества.

Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, которые аналогичны свойствам сложения и умножения чисел:

1. Переместительное свойство:

A B B A, AB BA .

2. Сочетательное свойство:

( A B) C A (B C) , ( AB)C A(BC) .

13

3. Распределительное свойство:

A(B C) AB AC .

Прибавление пустого множества и умножение на пустое множество аналогичны соответствующим операциям над числами, если считать нуль за пустое множество:

Некоторые операции над множествами не имеют аналогов в обычных операциях над числами, в частности

A A A , A A A .

Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правила сложения вероятностей

Пользуясь элементарными сведениями по теории множеств, можно дать теоретико-множественную схему построения теории вероятностей и ее аксиоматику.

ментарных событий. Любое событие А в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества : A . Если же в свою очередь множество А распадается на несколько непересекающихся

14

n

Ai , т. е. их сумма (объединение) есть достоверное событие.

i 1

2. Два события А и В называются несовместными, если соответствующие им множества не пересекаются, т. е. AB . Несколько событий A1, A2 , , An называются попарно несовместными, если появление любо-

3.Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из них.

4.Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

5.Противоположным по отношению к событию А называется событие A , состоящее в непоявлении А и соответственно дополняющее событие А до

15

Эти вероятности событий должны удовлетворять следующим аксиомам:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сло-

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Эту аксиому называют "теоремой" сложения (для схемы случаев она может быть доказана), или правилом сложения вероятностей.

3 . Е сл и и м еется сч етн о е м н о жество н есо вм естн ых со бы ти й

Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная.

Для схемы случаев (схемы урн), т. е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, можно вывести классическую формулу (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей из правила сложения (2.1).

Пусть результаты опыта представляются в виде n несовместных случаев A1, A2 , , An . Случай Ai благоприятен событию А, если он пред-

ставляет подмножество А ( Ai A ), или, иначе говоря, это вариант события А. Так как A1, A2 , , An образуют полную группу, то

n

Ai .

i 1

16

Но все случаи A1, A2 , , An несовместны, и к ним применимо правило сложения вероятностей

Кроме этого, так как все события A1, A2 , , An равновозможны, то

P( A1) P( A2 ) P( An ) 1n .

Благоприятные событию случаи образуют mA его вариантов, и так как вероятность каждого из них равна 1n , то по правилу сложения получаем

mA

Но это и есть классическая формула (1.1).

Следствия правила сложения вероятностей

1. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если

так как события А и A образуют полную группу.

Правило широко используется в задачах, когда проще вычислить вероятность противоположного события.

17

AB АВ AB ся) вариантов (см. рис. 2.6)

По правилу сложения

откуда получаем

P( AB ) P( A) P( AB), P(BA) P(B) P( AB).

После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем

P( A B) P( A) P( AB) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( AB),

что и требовалось доказать.

Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.