Vasilevsky_Kv_du_S_Chp_metodichka

УДК 517.951075.8 ББК 22.161.6я73-1 B 19

Утверждено на заседании кафедры математической физики 16 мая 2014 г., протокол № 9

Р е ц е н з е н т член-корреспондент НАН Беларуси, доктор физико-математических наук,

профессор кафедры математической физики В. И. Корзюк

Василевский, К. В.

В 19 Дифференциальные уравнения с частными производными: метод. указания и задания. /К. В. Василевский. – Минск : БГУ, 2014. – 59 с.

Рассматриваются основные разделы курса "Дифференциальные уравнения с частными производными". Приводятся примеры решения задач. Приводятся задачи для самостоятельной работы и выполнения лабораторных работ.

Рекомендовано студентам математических специальностей.

УДК 517.951075.8 ББК 22.161.6 я 73-1

c Василевский К. В., 2014c БГУ 2014

Содержание

6.3Неоднородные уравнения с неоднородностями в граничных условиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.4Метод разделения переменных для уравнения колебаний прямоугольной мембраны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

9 Метод разделения переменных для уравнений эллипти-

9.1Краевая задача Дирихле для прямоугольника. . . . . . . 55

9.2Задача Дирихле для круга и кольца . . . . . . . . . . . . 56

4

1.Классификация и приведение к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Для упрощения уравнения (1) сделаем следующую замену переменных:

где ϕ(x, y) и ψ(x, y) функции, имеющие непрерывные частные про-

ux = uξ ξx + uη ηx, uy = uξ ξy + uη ηy,

а частные производные второго порядка

uxx = uξξ (ξx)2 + 2 uξη ξx ηx + uηη (ηx)2 + uξ ξxx + uη ηxx,

uxy = uξξ ξx ξy + uξη (ξx ηy + ξy ηx) + uηη ηx ηy + uξ ξxy + uη ηxy, uyy = uξξ (ξy)2 + 2 uξη ξy ηy + uηη (ηy)2 + uξ ξyy + uη ηyy.

Подставляем значения частных производных в уравнение (1) и получаем уравнение

5

где новые коэффициенты

a11 = a11 ξx2 + 2 a12 ξx ξy + a22 ξy2,

a12 = a11 ξx ηx + a12 (ξx ηy + ξy ηx) + a22 ξy ηy,

a22 = a11 ηx2 + 2 a12 ηx ηy + a22 ηy2,

b1 = a11 ξxx + 2 a12 ξxy + a22 ξyy + b1 ξx + b2 ξy, b2 = a11 ηxx + 2 a12 ηxy + a22 ηyy + b1 ηx + b2 ηy,

c = c, f = f.

В зависимости от знака дискриминанта D = a212 − a11 a22 уравнение (1) приводится к одному из следующих видов, называемых каноническими.

1. При D > 0 уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа и с помощью замены (4) приводится к виду

uξη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη).

В этом случае коэффициенты a11 = 0, a22 = 0. Иногда удобнее пользоваться второй канонической формой гиперболического уравнения

uαα − uββ = Φ1(α, β, u, uα, uβ),

которая получается из первой заменой переменных

α= 12 (ξ + η) , β = 12 (ξ − η) .

2.При D = 0 уравнение (1) называется уравнением параболического типа и с помощью замены ξ = ϕ(x, y), а η(x, y) про-

извольная дважды дифференцируемая функция и такая, что якобиан

В этом случае коэффициенты a11 = 0, a12 = 0.

6

3. При D < 0 уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа. Уравнение (2) при D < 0 имеет комплексно-сопряжённые решения

ϕ(x, y) ± i ψ(x, y) = C.

Заменой переменных (4) уравнение (1) приводится к каноническому виду

uξξ + uηη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη).

Вэтом случае коэффициенты a12 = 0, a11 = a22. Пример 1. Привести уравнение

uxx + x uyy = 0

к каноническому виду в каждой из областей, где его тип сохраняется.

Решение. Так как D = a212 −a11 a22 = −x, то при x < 0 уравнение гиперболично, при x > 0 эллиптично, а при x = 0 параболично,

причём в последнем случае уравнение имеет канонический вид

dy = −x dx, dy = − −x dx.

Решениями этих уравнений в области гиперболичности x < 0 рассматриваемого уравнения будут следующие действительные семейства характеристик

Вэтом случае замена (4) примет вид

ξ= 32 y + √−x 3 , η = 32 y − √−x 3 .

7

Подставляем полученные коэффициенты в уравнение (5) и получаем,

Делим это уравнение на 9 x и приходим к уравнению

Для получения второй канонической формы гиперболического уравнения надо воспользоваться заменой переменных

8

uξη = (uα α αη + uα β βη) αξ + uα αξ η + (uα β αη + uβ β βη) βξ + uβ βξ η =

Рассмотрим теперь случай эллиптичности x > 0. В этой области характеристическое уравнение распадается на следующие

следовательно, решениями их будут семейство характеристик

b1 = ξxx + x ξyy = 0,

9

3 b2 = ηxx + x ηyy = −4 √x,

c = 0, f = 0.

Подставляем данные коэффициенты в уравнение (5) и получаем урав-

Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение

y2uxx + 2 xy uxy + x2 uyy = 0.

Решение. Так как D = (xy)2 −x2y2 = 0, то, следовательно, данное уравнение параболично всюду. Для приведения его к каноническому виду составим характеристическое уравнение

y2(dy)2 − 2 xy dy dx + x2(dx)2 = 0.

Интегрирование этого уравнения определяет лишь одно семейство характеристик

x2 − y2 = C.

2

Сделаем замену переменных:

ξ = x2 − y2 ,

2

а η произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция,

ξy ηy

щие частные производные ξx = x, ξy = −y, ξxx = 1, ξxy = 0, ξyy = 1,

10