Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vasilevsky_Kv_du_S_Chp_metodichka

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

420.72 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

б) при n = 3 имеем, что ξ = (x1, y1, z1), и далее переходим к cферическим координатам x1 − x = r sin θ cos ϕ, y1 − y = r sin θ sin ϕ, z1 − z = r cos θ. В этом случае

Z	+∞ π 2 π
	Z Z Z	r2 sin θ dϕ dθ dr.
R3	) dξ =−∞ 0 0

Задание 1. Решить следующие задачи Коши (n = 1).

2. ut = uxx + 3 t2,		u t=0
1. ut = 4 uxx + t + et,		u
			t=0
3.	ut = uxx + e−t cos x,	u
			t=0
4.	ut = uxx + et sin x	u
			t=0
5.	ut = uxx,	u
			t=0
6.	4 ut = uxx,	u
			t=0
7.	ut = uxx,	u
			t=0
8.	4 ut = uxx,	u
			t=0
9.	ut = uxx,	u
			t=0
10. ut = uxx + t sin x,		u
			t=0

=2;

=sin x;

=cos x;

=sin x;

=e−x2 ;

=e2 x−x2 ;

=x e−x2 ;

=sin x e−x2 ;

=cos x;

=sin x;

Задание 2. Решить следующие задачи Коши (n = 2).

2. ut = u + x y t,			u t=0		= 1;
1.	ut =	u + et,	u	t=0	= sin x cos 2 y;
3.	ut =	u + cos t cos x,		t=0		2	2	;
3.	ut =	u + cos t cos x,	u		= x y e−x		−y	;
				t=0		2
4. 8 ut = u + 1			u		= e−(x−y)		;
				t=0	2
5. 2 ut = u,			u		= e−y	;
				t=0	2
6. ut = u + x y2 t,			u		= e−x	;
				t=0
7.	ut =	u,	u		= cos x cos y;
				t=0
8.	ut =	u,	u		= sin x sin y;
				t=0

a2 T = 0,

10. ut	t =	u + t et	u t=0		= sin (x + y);
9. u	=	u + t,	u	t=0	= cos x sin y;

Задание 3. Решить следующие задачи Коши (n = 3).

1.	ut = 2	u + t cos x
2.	ut = 3	u + et,

3.4 ut = u + sin 2 z,

4.ut = u + cos (x − y + z),

5.	ut =	u,
6.	ut =	u + t,
7.	ut =	u + 1,
8.	ut =	u,

9.ut = u + t sin x,

10.ut = u + et sin y,

u t=0		= sin (x			y				z);
u	t=0	= cos y cos z;
	t=0			−			−		2	cos 2 y;
u			= sin 2 z + e−x							cos 2 y;
t=0						2
u			= e−(x+y−z)				;
	t=0
u			= cos (x y) sin z;
	t=0
u			= sin x sin y sin z;
	t=0					2		+y	2	2	);
u			= x y z e−(x					+y		+z	);
	t=0					2
u			= e−(x+y+z)					;
	t=0
u			= sin y sin z;
	t=0		2	+z	2	);
u			= e−(x	+z		);
	t=0

8.Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности

Пример 1. Рассмотрим граничную задачу:

ut − a2 uxx = 0, 0 < x < l, t > 0,


u	x=0 = 0, u x=l = 0, t > 0,
	u		t=0 = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l.

Решение данной задачи будем					искать в виде u(x, t) = X(x) T (t). Решая
задачу Штурма-Лиувилля, находим, что
√		=		π n	, Xn(x) = sin	π n	x.
	λ

				l		l

В таком случае уравнение для T (t) будет иметь вид

T 0 + π n 2 l

и, следовательно,

Tn(t) = An e−(a π n/l)2 t.

И, таким образом,

∞

u(x, t) = X An e−(a π n/l)2 t sin πln x.

n=1

Подставляем начальное условие и находим, что

An = l	Z0	l	s ds.
		ϕ(s) sin l
2		π n

Задание 1. Решить следующие смешанные задачи для однородного уравнения теплопроводности.

1.	ut = a2 uxx,	u(0, t) = 0,	u(l, t) = 0,	u(x, 0) = sin		5 π			x.

						l
2. ut = a2uxx,		ux(0, t) = 0,	ux(l, t) = 0,	u(x, 0) = x2.
3. ut = a2uxx,		u(0, t) = 0,	ux(l, t) = 0,	u(x, 0) = ex.
4. ut = a2uxx,		ux(0, t) = 0,	u(l, t) = 0,	u(x, 0) = x.
5. ut = a2uxx,		ux(0, t) − h u(0, t) = 0,		ux(l, t) + h u(l, t) = 0,
u(x, 0) = ex.
6. ut = a2uxx,			ux(0, t) + h u(0, t) = 0,
ux(l, t) − h u(l, t) = 0, u(x, 0) = x2.
7. ut = a2uxx,		u(0, t) = 0,	ux(l, t) + h u(l, t) = 0,		u(x, 0) = x.
8. ut = a2uxx,		ux(0, t) − h u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, u(x, 0) = 1.
9. ut = a2uxx,		ux(0, t) −h u(0, t) = 0, ux(l, t) = 0,			u(x, 0) = x.
10. ut = a2uxx,		ux(0, t) = 0,	ux(l, t)+h u(l, t) = 0,		u(x, 0) = −x.
11. ut = a2uxx,		ux(0, t) = 0,	u(l, t) = 0,	u(x, 0) = cos				7 π			x.

									l
12. ut = a2uxx,		u(0, t) = 0,	ux(l, t) = 0,	u(x, 0) = sin			9 π			x.

								2 l

13.	ut = a2uxx,	u(0, t) = 0,
14.	ut = a2uxx,	ux(0, t) = 0,
15.	ut = a2uxx,	ux(0, t) = 0,

u(l, t) = 0,	u(x, 0) = ex.
ux(l, t) = 0,	u(x, 0) = cos	5 π	x.

		2 l
u(l, t) = 0,	u(x, 0) = 2.

Задание 2. Решить следующие смешанные задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.

1. ut = a2 uxx + t,		u(0, t) = 0,			u(l, t) = 0,			u(x, 0) = 0.
2. ut = a2uxx + x,		ux(0, t) = 0,			ux(l, t) = 2 t + 1,					u(x, 0) = x.
3. ut = a2uxx + x t,		u(0, t) = 0,			ux(l, t) = 1,				u(x, 0) = ex.
4. ut = a2uxx + t2,		ux(0, t) = 0,			u(l, t) = 0,			u(x, 0) = x − 1.
5. ut = a2uxx+x2,		ux(0, t)−h u(0, t) = 0,					ux(l, t)+h u(l, t) = 0,
u(x, 0)	= x2.
6. ut = a2uxx + x et,					ux(0, t) + h u(0, t) = 0,
ux(l, t) − h u(l, t) = t, u(x, 0) = x.
7. ut = a2uxx + t ex,			u(0, t) = t2,				ux(l, t) + h u(l, t) = 0,
u(x, 0)	= e−x.
8. ut = a2uxx+3 t,		ux(0, t)−h u(0, t) = 0, u(l, t) = t3, u(x, 0) = 1.
9. ut = a2uxx + 4,			ux(0, t) − h u(0, t) = 0,						ux(l, t) = et,
u(x, 0)	= 1 − x.
10.	ut = a2uxx + t x2,			ux(0, t) = et, ux(l, t) + h u(l, t) = 0,
u(x, 0)	= 2.
11.	ut = a2uxx + ex+t,		ux(0, t) = 1,			u(l, t) = 1,				u(x, 0) = x ex.
12.	ut = a2uxx + x + t,		u(0, t) = 0,			ux(l, t) = 0,				u(x, 0) = 0.
13.	ut = a2uxx + t sin x,			u(0, t) = t,		u(l, t) = 2 t,				u(x, 0) = 3 x.
14.	ut = a2uxx + x sin t,			ux(0, t)		=	t2,		ux(l, t) = t,
u(x, 0)	= 3 x + 4.
15.	ut = a2uxx + ex t,		ux(0, t) = 1,			u(l, t) = 2,				u(x, 0) = 3.

9.Метод разделения переменных для уравнений эллиптического типа.

9.1. Краевая задача Дирихле для прямоугольника. Пример 1. Рассмотрим краевую задачу Дирихле:

u = 0, 0 < x < a, 0 < y < b,

u x=0 = 0, u x=a = 0,


u y=0 = ϕ(x), u y=b = ψ(x), 0 ≤ x ≤ a.
Решение данной	задачи будем искать						в виде u(x, t) = X(x) Y (y). Ре-
шая задачу Штурма-Лиувилля, находим, что
	√		=	π n	,	Xn(x) = sin		π n	x.
		λ

				a				a

В таком случае уравнение для Y (y) будет иметь вид

Y 00 − π n 2 Y = 0, a

и, следовательно,

Yn(y) = An e(π n/a) y + Bn e−(π n/a) y.

И, таким образом,

∞

πan x.

u(x, y) = n=1 An e(π n/a) y + Bn e−(π n/a) y sin

Подставляем краевые условия и находим, что

I1 − I2 e(b π n)/a − 1 + cth

b π n

An = −

ea(b π n)/a − I2

+ I1 e(b π n)/a a − 1 + cth

b π n

Bn =

= a Z0

ϕ(s) sin a

s ds, I2 = a Z0

ψ(s) sin

s ds.

π n

9.2. Задача Дирихле для круга и кольца Пример 1. Рассмотрим краевую задачу Дирихле:

u = 0, 0 < x < r, −π ≤ ϕ ≤ π,

r=R = f(ϕ).

Записываем Лапласиан в полярных

координатах и получаем, что

∂

(r ur) +

uϕ ϕ

= 0.

∂r

Решение данного уравнения ищем в виде

u(r, ϕ) = Z(r) Φ(ϕ). Под-

ставляем в уравнение и получаем, что

1 ∂

r Z 0(r) Φ(ϕ) +

Z(r) Φ00(ϕ) = 0.

∂r

Разделяем переменные и получаем уравнения

Φ00(ϕ)

2 Z00(r)

Z0(r)

= −r

− r

= −λ.

Φ(ϕ)

Z(r)

Уравнение для Φ будет следующим:

Φ00(ϕ) + λ Φ(ϕ) = 0,

но т. к. u(r, ϕ + 2 π) = u(r, ϕ), и, следовательно, Φ(ϕ + 2 π) = Φ(ϕ),

√

то λ = n, n Z, а

Φn(ϕ) = An cos n ϕ + Bn sin n ϕ.

А для Z(r) получаем уравнение Эйлера

r2 Z00(r) + r Z0(r) − n2 Z(r) = 0.

Решением его будет Zn(r) = a rn + b r−n. При n = 0, и, следовательно, λ = 0, находим Z(r) = C0 ln r + D0. Для решения внутренней задачи Дирихле нужно положить Zn(r) = a rn и Z0(r) = D0, т. к. r−n −→ ∞ (r → +0) и ln r −→ −∞ (r → +0). А тогда решение внутренней задачи Дирихле ищем в виде

u(r, ϕ) = D0	∞	rn	An cos n ϕ + Bn sin n ϕ ,
	+ n=1	Rn
	X

где коэффициенты An, Bn, D0 определяются из краевого условия:

f(ψ) dψ.

An = π Z f(ψ) cos n ψ dψ, Bn =

π Z f(ψ) sin n ψ dψ,

= 2 π Z

−π

Суммируя ряд, получаем решение внутренней задачи Дирихле для

круга в виде интеграла Пуассона

R2 − r2

u(r, ϕ) =

f(ψ)

dψ.

r2 − 2 R r cos(ϕ − ψ) + R2

Zπ

−

Замечание. Для внешней задачи Дирихле (r > R) решение ищем

в виде

∞ Rn

An cos n ϕ + Bn sin n ϕ ,

u(r, ϕ) = D0

+ n=1 rn

а для задачи Дирихле на кольце R1 < r < R2, при заданных краевых

условиях на окружностях r = R1

и r = R2 ищем в виде

∞

u(r, ϕ) = n=1	An rn+Cn r−n cos n ϕ+n=1 Bn rn+Dn r−n sin n ϕ+a ln r+b.
X	X

Задание 1. Решить следующие смешанные задачи для однородных эллиптических уравнений

1.	u = 0, u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = x, u(x, b) = x2.
2.	u = 0, ux(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 1, uy(x, b) = 1.
3.	u = 0, ux(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) =								x,
			π
uy(x, b) = sin				x
		2 a						π
4.	u =	0,			ux(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = cos				x,

		3 π					2 a
						5 π
uy(x, b) = cos				x + cos			x.
			2 a			2 a
5.	u = 0, u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 1, uy(x, b) = ex.
6.	u = 0, ux(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = x+ex, u(x, b) = 1.

7.	u = 0, ux(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = x, uy(x, b) = −x.
8.	u = 0, ux(0, y) = 0, u(a, y) = 0, uy(x, 0) = 1, u(x, b) = x2.
9.	u = 0, ux(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = x, u(x, b) = 1.
10.	u = 0,	u(0, y) = 0,	ux(a, y) = 0,	uy(x, 0) = 1,	u(x, b) = x.
11.	u = 0,	u(0, y) = 0,	ux(a, y) = 0, u(x, 0) = −x,		uy(x, b) = x.
12.	u = 0,	ux(0, y) = 0,	u(a, y) = 0,	u(x, 0) = 1,	u(x, b) = 2 x.
13.	u = 0,	uy(x, 0) = 0,	u(x, b) = 0,	u(0, y) = ey,	ux(a, y) = 1.
14.	u = 0,	u(x, 0) = 0,	uy(x, b) = 0, u(0, y) = −1,		ux(0, y) = 1.
15.	u = 0,	u(x, 0) = 0,	u(x, b) = 0,	u(0, y) = −y,	ux(0, y) = y.

Задание 2. Решить следующие задачи Дирихле для круга

u= 0, u r=R = f(ϕ),

1.f(ϕ) = cos2 ϕ, r > R, 2. f(ϕ) = sin2 ϕ, r < R,

3.	f(ϕ) = sin3 ϕ, r > R,	4. f(ϕ) = cos4 ϕ,	r > R,
5.	f(ϕ) = sin4 ϕ, r < R,	6. f(ϕ) = cos3 ϕ,	r < R,
7.	f(ϕ) = cos4 ϕ + sin4 ϕ, r > R, 8. f(ϕ) = sin6 ϕ + cos6 ϕ, r < R,
9.	f(ϕ) = cos6 ϕ − sin6 ϕ, r > R,

10.	f(ϕ) = 6 cos2 ϕ − 4 sin2 ϕ − 1,				r > R,
11.	f(ϕ) = cos2	ϕ + sin 3 ϕ,		r < R,
12.	f(ϕ) = sin2 ϕ + cos 3 ϕ,			r > R,
13.	f(ϕ) = sin3 3 ϕ,		r < R,	14.	f(ϕ) = cos4 5 ϕ, r > R,
15.	f(ϕ) = cos3	7 ϕ,	r < R.

Задание 3. Решить следующие задачи Дирихле для кольца

u = 0, u r=R1	= f1(ϕ), u r=R2	= f2(ϕ)
1. f1(ϕ) = cos2 ϕ, f2(ϕ) = sin2 ϕ,


2.	f1(ϕ) = sin 2 ϕ,			f2(ϕ) = cos 2 ϕ,
3.	f1(ϕ) = sin3 ϕ,		f2	(ϕ) = cos3 ϕ,
4.	f1	(ϕ) = 1 + cos4 ϕ,			f2(ϕ) = 2 + sin3 ϕ,
5.	f1	(ϕ) = sin4 ϕ,	f2	(ϕ) = cos4			ϕ,
6.	f1	(ϕ) = cos3 ϕ,	f2(ϕ) = sin2				3 ϕ,
7.	f(ϕ) = cos4 ϕ + sin4				ϕ,	f2(ϕ) = 1 + cos 6 ϕ,
8.	f(ϕ) = sin6 ϕ + cos6				ϕ,	f2(ϕ) = sin 6 ϕ,
9.	f1	(ϕ) = 1 − sin6 ϕ,			f2(ϕ) = 1 − cos6 ϕ


10.	f1	(ϕ) = 2 + cos4 ϕ, f2(ϕ) = 2 + sin4 ϕ,
11.	f1	(ϕ) = cos2 ϕ + sin 3			ϕ, f2(ϕ) = cos4 ϕ,
12.	f1(ϕ) = 3		+ sin2	ϕ,	f2(ϕ) = cos4 3 ϕ,
13.	f1	(ϕ) = sin3 3 ϕ,		f2(ϕ) = cos 3ϕ + sin 2 ϕ,
14.	f1(ϕ) = 2		+ cos4 5 ϕ, f2(ϕ) = 2,
15.	f(ϕ) = cos3 7 ϕ,			f2(ϕ) = 1 + sin4 9 ϕ.
16.	f1(ϕ) = 1		+ sin4	5 ϕ,	f2(ϕ) = 3.

Учебное издание

Василевский Константин Викторович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Методические указания и задания для студентов факультета прикладной математики

иинформатики

Вавторской редакции Ответственный за выпуск: К. В. Василевский

Подписано в печать 30.05.2014 г. Формат 60 ×84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,01 Уч.-изд. л. 2,02. Тираж 40 экз. Заказ

Белорусский государственный университет Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий

№ 1/270 от 03.04.2014.

Пр. Независимости, 4, 220030, Минск.

Отпечатано с оригинала-макета заказчика на копировально-множительной технике

факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета.

Пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.02.2016194.15 Кб17v8 teor.v..docx
#
15.07.201941.5 Кб4valentinovna.docx
#
29.02.2016226.74 Кб60Variant_4 teor.v..docx
#
04.11.20182.99 Mб3Vasil'ev L. Istoriya Vostoka t.1.doc
#
30.08.20191.22 Mб8Vasilevich_10.doc
#
29.02.2016420.72 Кб65Vasilevsky_Kv_du_S_Chp_metodichka.pdf
#
17.04.2019132.84 Кб163VASILINA.docx
#
23.09.201981.92 Кб1Virusologia.doc
#
23.09.20191.93 Mб66Virusologia_1.doc
#
21.04.2019890.37 Кб15Vitchenko_krat_konspekt.doc
#
20.09.201997.28 Кб7vitgenshteyn.doc