РЕШЕНИЕ Дифф,Ур. в частн. пр

Уравнения математической физики

Лектор Кулешов Александр Аркадьевич, БГУ, каф. МК, комн. 421, e-mail: kuleshov.sania2013@yandex.ru

Author: KULIASHOU ALIAKSANDR (Kuleshov Alexander)

Belorussian State University, main entry, app. 421, sub-faculty (department) of the mathematical cybernetics

Лабораторная работа

Найти общее решение уравнения в каждой из областей, где сохраняется тип уравнения

Calculus`DSolveIntegrals`

Вариант №1

x y

A11 y; A12 ; A22 x; A1 0; A2 0; A0 0; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22 Simplify

1 x y 2

4

Решение в области, где уравнение параболического типа

Уравнение имеет в этой области вид x,xU x, y

2 x,yU x, y y,yU x, y 0

A11 1; A12 1; A22 1; A1 A2 A0 0;

A122 A11 A22 Simplify

0

Найдем первый интеграл

i1 FullSimplify

x, y , x, y , GeneratedParameters F Flatten

x, y F 1 x y F 2

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 3

x, y , x, y , IntegralConstants F , x y 0

1

x, y x y x y 2F 1 F 2

x_, y_

FullSimplify r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b , x y 0

1

x, y , x, y , IntegralConstants G , x y 0

x, y C 1 G 1 x y G 2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d . C 1 h

c h d x y

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

x u 0,2 x, y x y u 1,1 x, y y u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

1

b d x2 y2 2a

0 a x a y

Значит, x y

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y ,

Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 vx, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y ,

v x, y , x, y Flatten Simplify

0, , 0, , 0, 0

4 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

a 1 2; c h b d 1;

находим обратную заменунезависимых переменных

Sol FullSimplify Solve x, y , x, y , x, y , x y 0

Обозначим u =y. Получим уравнение

DSolve 2 y y 0, y,

Значит, функцию можно записать в виде

F

C 1 2 2

4 F x C 1

3 x 2 y 2

Ответ: u(x,y) =C 1

4 F x

3 x 2 y 2

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 5

Вариант №2

Определяем тип:

A11 0; A12 1; A22 1; A1 2; A2 1; A0 0;

CompleteIntegral True, x, y , x, y , GeneratedParameters F

Берем любую независимую с функцию

x_, y_ x ;

Найдем второй интеграл

i2 FullSimplify

x, y , x, y , GeneratedParameters G Flatten

x, y 1 x G 1 y G 2

x_, y_ i2 1 2 . G 1 d . G 2 h

d 1 x h y

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

u 0,1 x, y u 0,2 x, y 2 u 1,0 x, y 2 u 1,1 x, y

Найдем условие невырожденности

Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

h 0 2 x

Положим для простоты

h 1; d 1 2;

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

6 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y ,

Derivative 1, 1 v x, y , x, y , Derivative 0, 2 vx, y , x, y , Derivative 1, 0 v x, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y , v x, y , x, y

Обозначим u =y. Получим уравнение

y y 0

DSolve y y 0, y,

y Function , C 1

Т.е u= F

s DSolve u F 0, u,

Значит, функцию можно записать в виде

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 7

Вариант №3

1

A11 0; A12 ; A22 0; A1 x; A2 1; A0 x; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

1

4

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

x u x, y u 0,1 x, y x u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y ,

Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y , Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, x, 1, x

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

u x u x u u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, x , 1 , x x

8 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w x x x wx wxy 1 wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

x, 1

Equ1 Equ . sol

wxy

s DSolve x,yw x, y 0, w, x, y

w Function x, y , C 1 x C 2 y

u x, y . w x, y s 1 1 2 2 . sol

x x y C 1 x C 2 y

Ответ: u(x,y) = x x y C 1 x C 2 y

Вариант №4

A11 0; A12 1 ; A22 0; A1 x; A2 2 y; A0 2 y x; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

1

4

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

2 x y u x, y 2 y u 0,1 x, y x u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y , Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y ,

Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, x, 2 y, 2 x y

10 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

A122 A11 A22

16

x_, y_ FullSimplify r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b x b y

x, y G 1 3 x y G 2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d . C 1 h

c d 3 x y

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

5 u x, y 4 u 0,1 x, y 3 u 0,2 x, y 16

2 u 1,0 x, y 10 u 1,1 x, y 3 u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

8 b d 0

3

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y