Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

РЕШЕНИЕ Дифф,Ур. в частн. пр

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

975.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 11

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y ,

Derivative 1, 1 v x, y , x, y ,

Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 vx, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y ,

v x, y , x, y Flatten Simplify

0,	64 b d		10 b	5
0,	3	, 0,	3	, 2 d, 16

находим обратную заменунезависимых переменных

Sol FullSimplify Solve x, y , x, y , x, y

c d

b c 9 a d b 9 d

8 b d

, y

8 b d

5 u

5 b u 32 b d u

3 d u

Simplify

Equ

Plus

res u

, u

, u , u , u

2 d u

b d u

Collect FullSimplify Equ .

Sol 1 ,

, u

, u , u , u

5 u

10 b u

A11 A22 0; A12 64

b; A1

10 b ; A2 2 d; A0 5

16;

1,1

PDE A11 x,xU x, y

2 A12 x,y U x, y

A22 y,y U x, y

A1 x U x, y

A2 y

U x, y

A0 U x, y

0,1

1,0

128

U x, y

x, y

3 b U

x, y

b U

x, y

2 d U

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 U x, y ,

Derivative 1, 1 U x, y , Derivative 0, 2 U x, y ,

Derivative 1, 0 U x, y , Derivative 0, 1 U x, y , U x, y

128 b

10 b

0, , 0, , 2 d, 3 3 16

Equ Plus res U , U , U , U , U , U

5 U	10 b U	128 b U
2 d U	3
16	3	3

Попробуем избавиться от 1 перед u

U x_, y_ : w x, y E x y

12 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

	128 b						10 b		128 b				128 b 5			10 b					128 b
0,		3	, 0,				3			3	, 2 d			3	, 16		3		2 d		3
Equ Plus							res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w
w	16			3		2 d				3
	5	10 b								128 b
	10 b		128 b					wx		128 b wxy		2 d			128 b	wy
	3				3					3					3
		64, 64 b																1
sol Flatten Solve										Equ	2	1		0, Equ		4		1		0 ,	,
		5					3 d

Equ1 Equ					. sol
	5	5 d		w			128 b wxy
	16	32		w				3

sol1 Flatten Solve Equ1 1 1 0 , d

d 2

b 1; d 2; a c 1;

Equ1 . sol1

128 wxy

s DSolve x,yw x, y 0, w, x, y

w Function x, y , C 1 x C 2 y

w x_, y_ f x g y

f x g y

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 13

r U x, y

. sol . sol1

g y

u _, U ,

u x_,

x, y ,

x, y

1 2

3 x y

y g 1

3 x y

u x, y

. sol

1 2

3 x y

f 1 3

y g 1 2

3 x y

Ответ: u(x,y) =

2 3 x

y f 1

y g 1 2 3 x y

Вариант №6

A11 0; A12 1 ; A22 0; A1 1; A2 y; A0 y 1; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

1 y u x, y y u 0,1 x, y u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y , Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y ,

Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, 1, y, 1 y

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

u 1 y y u u u

14 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, 1 , y , 1 y y

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w 1 y y 1 wx wxy y wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

1, y

Equ1 Equ . sol Simplify

w wxy

Clear w, f, g, t, x, y ;

s w x_, y_ FunctionExpand

Integrate f t BesselJ 0, 2 I Sqrt y x t , t, 0, x Integrate g t BesselJ 0, 2 I Sqrt x y t , t, 0, yf 0 g 0 BesselJ 0, 2 I Sqrt x y

0		0, 2 x	y	y	f t		t
BesselI		0, 2 x	y	f 0	g 0
x	BesselI 0, 2		t x		g t
yBesselI 0, 2			x	t y	g t	t
0

Проверим, что это есть решение

x,y w x, y w x, y FullSimplify

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 15

. sol

u x, y

w x, y s

y x y

BesselI

BesselI 0, 2

f 0 g 0

0, 2 t x y f t

g t

0yBesselI 0, 2

t y

Ответ:

u(x,y)

= y x y

BesselI 0, 2

f 0

g 0

t x

t y

g t

xBesselI 0, 2

f t

yBesselI 0, 2 x

Вариант №7

A11 x2; A12 x y; A22 y2; A1 0; A2 0; A0 0;

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

Решение в области, где уравнение параболического типа

Найдем первый интеграл

i1 FullSimplify

A12

x, y , x, y ,

CompleteIntegral A11 D

x, y , x

x, y , y

GeneratedParameters

Flatten

x, y C 1 F 2 F 1 Log x Log y

x_, y_ i1 1 2 . F 1 a . F 2 b . C 1 s

b s a Log x Log y

Функцию выбирем, например, равной

x_, y_ x

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

y2 u 0,2 x, y 2 x y u 1,1 x, y x2 u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

16 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

0 y

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y , Derivative 0, 2 vx, y , x, y , Derivative 1, 0 v x, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y , v x, y , x, y

0, 0, x2, 0, 0, 0

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

x2 u

DSolve , u , 0, u, , 1, 1, 2, 2 .x, y , x, y . b 1, a 1, s 1

C 1 2 Log x Log y x C 2 2 Log x Log y

Ответ: u[x,y]=C[1][2-Log[x]+Log[y]]+x C[2][2-Log[x]+Log[y]]

Вариант №8

A11 1; A12 Cos x ; A22 3 Sin x 2;

A1 1; A2 Sin x Cos x 2; A0 0;

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22 Simplify

Решение для уравнения гиперболического типа

Найдем первый интеграл

r FullSimplify

A12

x, y , x, y ,

CompleteIntegral A11

x, y , x

x, y , y

IntegralConstants

x, y F 1 2 x y F 2 F 2 Sin x

x_, y_ FullSimplify r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b 2 x y b Sin x

Найдем второй интеграл

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 17

r FullSimplify

CompleteIntegral A11 D x, y , x A12

D x, y , y 0,

x, y , x, y , IntegralConstants G

x, y G 1 2 x y G 2 G 2 Sin x

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d . C 1 h

c d 2 x y d Sin x

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

2 Cos x Sin x u 0,1 x, y 3 Sin x 2 u 0,2 x, y u 1,0 x, y 2 Cos x u 1,1 x, y u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

4 b d 0

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y ,

Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 vx, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y ,

v x, y , x, y Flatten Simplify

0, 16 b d, 0, 4 b, 0, 0

b d 1 4; a c 1;

находим обратную заменунезависимых переменных

Equ Plus res u , u , u , u , u , u Simplify

u u

Обозначим u =y. Получим уравнение

DSolve y y 0, y,

y Function , C 1

Т.е u= F

18 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

0, u,

DSolve u

u Function , C 1

F K$1431 K$1431

Значит, функцию можно записать в виде

_, _

C 1

C 1 F

Возвращаемся к переменным x,y

, .

a b

2 x y

b Sin x

c d

2 x y

d Sin x

C 1

1 4

2 x y

4 F 1 1

2 x y

Sin x

Ответ: u(x,y) =C 1

2 x

2 x y

Sin x

Вариант №9

A11 0; A12 Cosh x 2; A22 0; A1 x;

A2 Sinh x y Cosh x 2; A0 Cosh x ;

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

Cosh x 2

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

Cosh x u x, y 2 y Cosh x Sinh x u 0,1 x, y x u 1,0 x, y Cosh x u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y , Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y ,

Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, Cosh x , 0, x, 2 y Cosh x Sinh x , Cosh x

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 19

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

u Cosh x 2 y Cosh x Sinh x u x u Cosh x u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, Cosh x , 0, x Cosh x , 2 y Cosh x Cosh x Sinh x , x 2 Cosh x y Cosh x Cosh x Sinh x

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w x 2 Cosh x y Cosh x Cosh x Sinh x

x Cosh x wx Cosh x wxy 2 y Cosh x Cosh x Sinh x wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

x Sech x , Sech x 2 y Cosh x Sinh x

Equ1 Equ . sol

Cosh x wxy w x y Cosh x 2 x Sech x x Tanh x

Ответ: такие уравнения мы не умеем решать

Вариант №10

A11 0; A12 1 ; A22 0; A1 y; A2 2; A0 2 y; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

20 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

2 y u x, y 2 u 0,1 x, y y u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y ,

Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y , Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, y, 2, 2 y

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

2 u y 2 u y u u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, y , 2 , 2 y y 2

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w 2 y y 2 y wx wxy 2 wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

y, 2

Equ1 Equ . sol

wxy

s DSolve x,yw x, y 0, w, x, y

w Function x, y , C 1 x C 2 y

u x, y . w x, y s 1 1 2 2 . sol

2 x y2 C 1 x C 2 y

Ответ: u(x,y) = 2 x y2 C 1 x C 2 y

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.11.201942.6 Кб29реферат258514114.docx
#
26.08.201987.04 Кб2Рефераты очно.doc
#
29.10.2018133.12 Кб2Реформистский иудаизм.doc
#
20.09.2019224.26 Кб3речь. 12 вопросов..doc
#
29.02.2016600.06 Кб11Решай-ка 2 вариант.doc
#
29.02.2016975.96 Кб14РЕШЕНИЕ Дифф,Ур. в частн. пр..pdf
#
21.11.201929.75 Кб4Решение для экзамена.docx
#
20.11.201941.79 Кб7решение задач по теме Вещные права.docx
#
29.02.201681.92 Кб42Решение задач повышенной сложности.doc
#
23.11.2018122.26 Кб11решение задач страховое дело.docx
#
29.02.20161.03 Mб6РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ.pdf