dN = EdSn = EdS cosα = EdS

Поток вектора напряженности через всю поверхность : Φ = ∑dN = ∫∫EdS

Если поверхность замкнутая, то заряды могут быть как внутри нее, так и снаружи. Обычно за положительное направление нормали выбирают направление внешней нормали. При таком выборе поток будет положительным, если угол между направлением линий напряженности и нормалью острый.

РИС.10

Поток вектора напряженности измеряется: [Ф]=В·м

§5 ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА.

Теорема Остроградского-Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции.

Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен суммарному заряду, охваченному этой поверхностью, деленному на ε0.

Рассмотрим примеры:

ПРИМЕР 1. Электрическое поле создается положительным точечным зарядом, расположенным внутри замкнутой поверхности.

РИС.11 РИС.12

Выделим некоторый элемент поверхности dS , вектор внешней нормали к которому составляет угол α с направлением вектора напряженности. Тогда :

Используем понятие телесного угла (рис.12), мерой которого служит отношение площади поверхности шарового сегмента к квадрату радиуса. Единицей телесного угла является стерадиан (ср) – телесный угол, вырезающий на поверхности сферы элемент, площадь которого равна квадрату радиуса. Тогда полный телесный угол, построенный из точки равен

5

Если поверхность имеет сложную форму, и линии напряженности пересекают ее несколько раз, то, как видно из рисунков 13 и 14, телесный угол остается по величине постоянным, а изменяется направление нормали. При суммировании потоков с противоположными знаками результат будет определяться потоком только через один элемент поверхности.

РИС.13 РИС.14

ПРИМЕР 2. Положительный точечный заряд находится вне замкнутой поверхности.

Как видно из рисунка 15, в этом случае линии напряженности либо совсем не пересекают поверхность, либо пересекают ее четное число раз и потоки через элементы поверхности имеют противоположные знаки, что дает при суммировании ноль.

РИС.15 РИС.16

ПРИМЕР 3. Замкнутая поверхность окружает N точечных зарядов.

Линии напряженности поля, в этом случае, проводятся по вектору результирующей напряженности, который находится по принципу суперпозиции. Тогда:

Из рассмотренных примеров видно, что поток вектора напряженности определяется суммарным зарядом и не зависит от его распределения внутри поверхности.

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет достаточно просто рассчитать напряженность поля известной конфигурации, которое обладает каким-либо видом симметрии.

Например, если можно выбрать такую замкнутую поверхность, что линии напряженности перпендикулярны любому элементу поверхности, то, E·cos 00=Е. Тогда:

Φ = ∫∫EdS = ∫∫E cos 00 dS = E∫∫dS

Если распределение зарядов внутри поверхности задано, то суммарный заряд также легко рассчитать. Приравняв эти два выражения друг другу, можно легко вычислить напряженность поля.

САМОСТ. III: 1.Найти поток вектора напряженности поля точечного заряда q через сферическую поверхность, центр которой совпадает с положением точечного заряда, если радиус поверхности: а)R, б) 2R.

6

2. Какова должна быть форма замкнутой поверхности, в каждой точке которой скалярное произведение вектора напряженности и нормали имеет постоянное значение, если поле создано зарядом равномерно распределенным : а) по поверхности сферы, б)по объему сферы, в) вдоль бесконечной, прямолинейной нити, г) по поверхности бесконечной плоскости.

3.Используя теорему Остроградского-Гаусса, получить формулу для расчета напряженности в произвольной точке поля заряда q равномерно распределенного по поверхности сферы.

6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГОГАУССА

Пусть в некоторой области пространства известна объемная плотность зарядов ρ=ρ(x,y,z) и эта функция непрерывна аналогично представлению о непрерывном распределении вещества.

Рассмотрим в этом пространстве вблизи некоторой точки с координатами x,y,z настолько малый объем dV=dx·dy·dz, что объемная плотность зарядов в нем практически постоянна. Тогда заряд этого объема равен dq=ρ(x,y,z)·dV

Аналогично можно рассчитать поток через две пары других оснований. Тогда поток через поверхность всех граней объема:

Физический смысл дивергенции вектора напряженности в том, что она равна числу линий напряженности выходящих

Эта форма применима лишь при условии, если объемная плотность зарядов конечная величина, является следствием интегральной формы и констатирует, что заряды являются источниками (стоками) линий вектора напряженности.

Если ввести векторный оператор Гамильтона:

7

ϕ = ∫∫∫dϕ = ∫∫∫kρrdV

§9 СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ И РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ.ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.

Кроме линий напряженности для изображения электростатического поля используются эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек равного потенциала, т.е. ϕ=const.

1)Чтобы поверхность была эквипотенциальна, необходимо и достаточно, чтобы работа по перемещению заряда между двумя любыми точками поверхности равнялась нулю.

2)Эквипотенциальная поверхность ортогональна линиям напряженности. Действительно, работа по перемещению

заряда между двумя точrками эквипотенциальной поверхности:

∂Α = qn (Erdl )= qn (ϕ1 −ϕ2 )= 0 , так как ϕ1 =ϕ2

Тогда: Edl = 0 . Это возможно, если cosα=0, т.е. α=900

Например, эквипотенциальные поверхности поля отрицательного точечного заряда представляют собой сферические поверхности с центром, совпадающим с местом расположения заряда.

3)Поверхность заряженного проводника с установившимся распределением зарядов – эквипотенциальна.

На рис. 20 показаны линии напряженности и эквипотенциальные поверхности поля положительно заряженного проводника. Одна из эквипотенциальных поверхностей совпадает с его контуром

10