Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Медведь.pdf

Скачиваний:

111

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

10.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

На рис.145 показано построение векторной диаграммы напряжений для данной цепи, которая позволяет рассчитать

tgϕ =	U x	=	∑U xi	=	∑X i	=	X
			i		i
	UR		∑URi		∑Ri		R
амплитуду общего напряжения цепи и сдвиг фаз между током и напряжением			i		i		.

На рис. 146 представлено построение общего треугольника	сопротивлений, который позволяет рассчитать общий импеданс
цепи и также сдвиг фаз между током и напряжением: Z =	R2 + X 2 .

Активное сопротивление всей цепи R является арифметической суммой активных сопротивлений на всех участках, а реактивное сопротивление всей цепи X – алгебраическая сумма всех реактивных сопротивлений.

§ 53. ЭНЕРГИЯ И МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

Рассмотрим простейшую замкнутую цепь переменного тока, состоящую из активного сопротивления, индуктивности, емкости и подсоединенную к источнику переменной ЭДС (рис.147). В этом случае ЭДС будет соответствовать

рассмотренному выше (см. §

52) общему мгновенному напряжению и поэтому пусть ε(t) = εm sin(ωt +ϕ) и

Im =

εm

+ (ωL −

соответственно

ωC

За малый промежуток времени dt

работа сторонних сил источника dAcт расходуется на выделение тепла на активном

сопротивлении dQ, а также на приращение энергии электрического поля конденсатора

dWэ

и магнитного поля катушки

dWм.

dACT

= dQ + dW

+ dWM . Поделив обе части равенства на dt, получим:

dACT

= dQ

dWM

dt .

Проанализируем физический смысл

полученных

отношений. Левая часть

SCT

= S

= dACT

представляет собой мощность сторонних сил или мощность источника ЭДС:

dt .

Скорость выделения теплоты на активном сопротивлении – тепловая мощность:

Скорости изменения энергии электрического и магнитного полей можно также назвать мощностями на соответствующих участках:

P =

Покажем связь этих величин с мгновенными значениями силы тока и напряжения,

считая ток квазистационарным, т.е. что его мгновенное значение одинаково во всей цепи.

S = dACT = dq ε = iε

= dQ

iuR dt

= iu

P =

(

Cu2

) = Cu

= Cu

(

)

= iu

c dt

c ,

) = iu

P =

(

) = i(L

Подставив полученные значения в выражение для мощностей и разделив обе части на мгновенное значение силы тока, мы получим второе правило Кирхгоффа для замкнутого контура:

ε = uR + uc + uL .

Это правило, как уже обсуждалось, является следствием закона сохранения энергии и может быть использовано при расчетах в цепях квазистационарного тока.

РИС.147

РИС.148

Получим в явном виде зависимость введенных мощностей от времени:

= iu

= I

sin ωt U

sin ωt = I

sin2

ωt

= iu

= I

sinωt U

sin(ωt − π ) =

ImUCm

sin(2ωt −π)

ImULm

= iu

= I

sinωt U

sin(ωt + π ) =

sin 2ωt

При получении этих выражений были использованы формулы:

sinα sin β = 1	[cos(α − β) − cos(α + β)]=	1	sin(π		− (α − β)) −sin(π − (α + β))
2		2		2	2

На рис.148 приведены графики зависимости от времени введенных мощностей, иллюстрирующие то, что все эти величины изменяются с циклической частотой в 2 раза большей, чем ток и напряжение.

Кроме того, мощность, выделяющаяся на активном сопротивлении, всегда положительная величина, а на емкостном и индуктивном сопротивлениях - может быть положительной и отрицательной, и изменение мощности на этих элементах происходит в противофазе.

Для осознания физического смысла полученных зависимостей рассчитаем изменение энергии электрического и магнитного поля на емкости и индуктивности за период.

ImUCm

ImU Lm

∆W =

∫

P dt =

∫

sin(2ωt −π)dt = 0

∆W

∫

P dt =

∫

sin 2ωtdt = 0

Соответственно и средние мощности за период равны нулю:

∆W

< P >=

∫

P dt

= 0 < P >=

∫

P dt = 0

Таким образом, сколько энергии забирается конденсатором из цепи в те доли периода, когда электрическое поле в нем возрастает (Рс>0), столько же энергии конденсатор отдает в цепь в те доли периода, когда энергия электрического поля в нем убывает (РС<0).

Аналогично для магнитного поля катушки.

На основании этого вводят понятие реактивной мощности – это энергия за период, которой обменивается конденсатор (или индуктивность) с источником ЭДС. Соответственно и емкостное и индуктивное сопротивления поэтому называют

реактивными.
На	активном	сопротивлении		за		период	выделяется	количество	теплоты:
T		T		ImU Rm
∆Q = ∫PR dt = ImU Rm ∫sin2 ωtdt =				ImU Rm		T
∆Q = ∫PR dt = ImU Rm ∫sin2 ωtdt =						T
o		0		2
		< P >=	ImURm
		< P >=
		R		2	, т.е. на этом участке из цепи непрерывно выделяется энергия,
Средняя мощность за период равна				2

поэтому, как уже обсуждалось и введено понятие активного сопротивления. На рис.148 график средней активной мощности за период – пунктирная прямая, возле которой совершает колебания активная мощность.

				< P	>=	I 2	R
	URm = Im R					m

Используем, что				R		2 , а количество теплоты, выделившееся за период
Используем, что				. Тогда		2 , а количество теплоты, выделившееся за период
∆Q =< P > T =		I 2	RT
		m

R			2 .
			2 .

При протекании по этому же сопротивлению постоянного тока за то же время, по закону Джоуля-Ленца, выделилось бы

количество теплоты Q = I 2 RT .

Поэтому вводят действующее (эффективное) значение переменного тока – такое значение силы постоянного тока, при

котором на том же сопротивлении за то же время выделяется такое же количество теплоты. Тогда:

2 .

Аналогично значения:

U =

ε =

εm

2 и

2 называют действующими значениями напряжения и ЭДС.

Все выражения, полученные для амплитудных значений, справедливы и для действующих значений, а на векторных

диаграммах часто указывают не амплитудные, а действующие значения (рис.149).

Так как цепь последовательная, то, используя диаграмму напряжений и умножив на действующее значение силы тока,

можно построить «треугольник мощностей» (рис.150).

Из

треугольника

мощностей:

Q = PL − PC

= S sinϕ

реактивная

мощность,

<P >=Scosϕ =UIcosϕ =

ImUm cosϕ

cosϕ = < PR >

, где

РИС.149	РИС.150
называется	коэффициентом мощности и показывает какая часть мощности источника выделяется на активном

сопротивлении.

Как уже обсуждалось, реактивные сопротивления лишь обмениваются энергией с источником. В большинстве используемых на практике устройств энергия электрического тока преобразуется в другие виды энергии и выводится из цепи. Поэтому мощность, выделяющаяся на активном сопротивлении, т.е. на потребителе, - полезная часть всей мощности источника.

Поэтому коэффициент мощности, по сути, коэффициент полезного действия цепи и он равен 1, если в цепи отсутствует реактивное сопротивление.

Если цепь содержит только реактивное сопротивление, то коэффициент мощности равен 0. Основное назначение цепей переменного тока – передача электроэнергии и, если коэффициент мощности значительно меньше 1, то для передачи потребителю заданной мощности при заданном напряжении источника необходимо увеличить амплитудное значения силы

	cosϕ =	<	P	>	=		I 2 R
			R				m
			R				2S . Амплитуда силы тока тем больше, чем меньше общее реактивное
тока в цепи, так как:			S
Im =		εm
Im =	R2 + (ωL −			1		)2
				1
сопротивление				ωC			.
сопротивление				ωC			.

Поэтому на практике если в цепи переменного тока неизбежно присутствует значительная емкость (индуктивность), то, в целях увеличения потребляемой мощности, в цепь дополнительно вводят индуктивность (емкость), чтобы уменьшить общее реактивное сопротивление.

Если электроэнергия передается на большое расстояние, то увеличение амплитуды силы тока приведет к увеличению выделяющегося в проводах количества теплоты. Потери на нагревание, в этом случае, можно уменьшить, лишь увеличив сечение проводов, что также экономически не выгодно.

Поэтому повышение коэффициента мощности представляет одну из важнейших проблем при практическом использовании цепей переменного тока. Наименьшее допустимое значение коэффициента мощности для промышленных установок составляет примерно 0,85.

§ 54 РАЗВЕТВЛЕННАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. МЕТОД ПРОВОДИМОСТЕЙ.

На практике часто используются разветвленные цепи, в которых необходимо рассчитать токи во всех ветвях и ток всей цепи, а также активную, реактивную и полную мощность цепи.

ЦЕПЬ ИЗ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЕТВЕЙ.

Рассмотрим простейшую цепь переменного тока, состоящую из двух параллельных ветвей с последовательно включенными активными сопротивлениями и катушками индуктивности и подключенную к источнику синусоидального

напряжения u =Um sin ωt (рис.151). В соответствии с законом сохранения заряда сила мгновенного тока в

неразветвленной части цепи будет равна сумме токов в параллельных ветвях i = i1 + i2 .

В каждой ветви ток будет отставать от напряжения на ветви (см. § 52), а напряжение на ветвях общее. Поэтому построим векторную диаграмму токов, считая, что мгновенные значения токов в первой и второй ветвях отстают от напряжения

соответственно на ϕ1 и ϕ2 (рис.152).

РИС.151

РИС.152

РИС.153

РИС.154

Амплитудные и действующие значения силы токов в ветвях можно найти, используя следующие соотношения:

I1m

I2m

U = Um

Z2 ,

Z2 .

Z1 ,

2 ,

Используя векторную диаграмму и эти соотношения, можно найти действующее значение силы тока и сдвиг фаз между

током и напряжением:

I =

I 2

+ I 2

− 2I

cos((180 − (ϕ

−ϕ

) =

I 2

+ I 2

+ 2I

cos(ϕ

−ϕ

)

tgϕ =

sinϕ

+ I

sinϕ

cosϕ1

cosϕ2 =

Z2 .

I1 cosϕ1 + I2 cosϕ2 , где

Соответственно можно рассчитать активные, реактивные

и полные

мощности

ветвей:

P1 = UI1 cosϕ1 ,

Q1 =UI1 sinϕ1 ,

= UI1 ,

= UI 2 cos ϕ2 ,

Q2 = UI 2 sin ϕ2 ,

=UI2 , а также активную, реактивную и полную мощность

всей цепи:

P = UI cosϕ ,

Q =UI sinϕ ,

S = UI .

Если в одной из ветвей будет включена емкостная нагрузка, то вектор силы тока в этой ветви будет опережать вектор напряжения на некоторый угол, а величина суммарного тока и сдвиг фаз будут определяться соотношением реактивных сопротивлений ветвей.

МЕТОД ПРОВОДИМОСТЕЙ.

Если в цепи больше двух параллельных ветвей, то для рационального расчета используется метод проводимостей, который основан на следующем.

1)Ток в каждой цепи является векторной суммой активной и реактивной составляющих (рис.153). Например, для рассмотренной выше цепи действующие значения токов в ветвях можно рассчитать по следующим формулам:

I = I

+I 2

= I 2 + I 2

1p ,

2 p

= I

cosϕ = U

=Ug

Z1 Z1

2)Активные составляющие совпадают по фазе с напряжением и равны:

= I

cosϕ

U R

=Ug

g2 =

Z 2

где g1 и g2- активные проводимости первой и второй ветвей.

2 ,

± π

3) Реактивные составляющие токов отличаются по фазе от напряжения на

2 и рассчитываются по формулам:

= I

sinϕ

=Ub

b1 =

= I

sinϕ

X 2

=Ub

b =

X 2

Z 2

2 p

Z 2

2 , где b1

и b2

– реактивные проводимости первой и второй ветвей.

Тогда:

=U g2

+ b2

=UΛ

1 ,

=U g2

+ b2

=UΛ

2 , где

= g2

+ b2

1 и

+ b2

2 - полные проводимости обоих ветвей.

Проводимость всей цепи может быть рассчитана по формуле :

Λ =

+ b2

и b=b1+b2

и представлена треугольником проводимостей (рис.154), который является

, где g=g1+g2

следствием векторной диаграммы токов.

4)Общая сила тока в цепи может быть рассчитана как модуль векторной суммы активной и реактивной составляющих

I = Ia2 + I p2	I	a	= I	1a	+ I	2a и
, где		a		1a		2a и

tgϕ =

5)Сдвиг фаз между током и напряжением:

6)Активную, реактивную и полную

I p = I1 p + I2 p .

I p		cosϕ =	g
Ia
Ia	или		Λ .
мощность		цепи		можно	рассчитать	по	формулам:

P =UI cosϕ =UUΛ

=U 2 g

ϕ =

UI sin

b , S =UI =U 2Λ,

S = P2 + Q2

В общем случае разветвленной цепи применяют метод эквивалентных (равнозначных) схем, т.е. цепь последовательно упрощают, заменяя сопротивление разветвленных участков эквивалентными сопротивлениями. Для этого рассчитывают активные и реактивные проводимости параллельных ветвей, а затем полную проводимость и сопротивление разветвленного участка. В результате разветвленная цепь заменяется неразветвленной – эквивалентной. Затем рассчитывается ток, сдвиг фаз между током и напряжением, активная, реактивная и полная мощность цепи.

§ 55.ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ.

Как уже обсуждалось в § 50, рассмотренная цепь из последовательно соединенных индуктивности, емкости и активного сопротивления может рассматриваться как колебательная система, так как в ней возможно возникновение электромагнитных колебаний с собственной частотой

ω = ω2	− β 2	≈ω	0	= 1
0			0	LC при R → 0 .
				LC при R → 0 .

Эти колебания являются затухающими, так как энергия, сосредоточенная в контуре в момент возникновения колебаний выделяется в виде тепла на активном сопротивлении во время колебательного процесса.

Тогда, при включении в контур источника переменной ЭДС, его можно рассматривать как элемент, инициирующий в контуре вынужденные колебания с частотой ω . Следовательно, уравнение

d 2 q

+ R

q = εm sin ωt

dt 2

представляет собой уравнение вынужденных электромагнитных колебаний под

действием внешней периодически изменяющейся ЭДС.

Используя введенные в § 50 физические величины: собственную частоту

и коэффициент затухания

εm

2β =

q +

2βq +ω0 q =

sinωt

L это уравнение можно представить и в виде

Как

известно,

для вынужденных колебаний характерно

явление резонанса,

которое

заключается в возрастании

амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к резонансной частоте, зависящей от параметров колебательной системы.

В рассматриваемой цепи - колебательном контуре вынужденные колебания совершают сила тока, заряд и напряжение на конденсаторе, а также напряжение на катушке индуктивности.

Резонансными кривыми называются зависимости амплитудных значений, совершающих вынужденные колебания физических величин, от частоты внешнего воздействия, т.е., в нашем случае, от частоты источника ЭДС.

Закон Ома для рассматриваемой цепи – колебательного контура позволяет проанализировать зависимость амплитуды

Im =	εm
		1
	R2 + (ωL −		)2

силы тока от частоты источника ЭДС:		ωC .

Если амплитудное значение ЭДС, а также величины активного сопротивления, емкости и индуктивности постоянны, то

амплитудное значение силы тока зависит только от частоты.
Im max	=	εm	ωL −		1	= 0
		R при			ωC
Максимальная амплитуда силы тока:						. В этом случае частота источника ЭДС
		ω	pi	=	1	= ω	0
совпадает с собственной частотой колебательного контура:					LC
							,

т.е. для вынужденных колебаний силы тока наблюдается резонанс.

На рис.155 показаны резонансные кривые для амплитуды силы тока в зависимости от частоты источника при различном активном сопротивлении колебательного контура. Резонанс выражен тем отчетливее, чем меньше активное сопротивление,

	β =	R
	β =	2L .
	т.е. чем меньше коэффициент затухания	2L .

Колебания заряда и напряжения на конденсаторе совпадают по фазе. Найдем зависимость амплитуды колебаний заряда

q	m	=	Im	=	εm
			ω			1
				ω	R2 + (ωL −		)2
от частоты. Как показано в § 51						ωC
							. Если использовать выражения для собственной
частоты и коэффициента затухания, то это выражение преобразуется к виду:

qm	=	εm
qm	=	−ω2 )2	+ 4β 2ω2
	L (ω2	−ω2 )2	+ 4β 2ω2
	0		. Максимальное значение амплитуды заряда достигается при минимальном значении
подкоренного выражения.			Возьмем производную от подкоренного выражения по частоте и приравняем ее нулю:

2(ω2	−ω2 )(−2ω) + 8β 2ω = 0	или	ωpq = ω02	− 2β 2
0		или		. Подставив это значение в выражение для

амплитудного значения заряда, получим: qm max = Cεm .

UmC =	qm	=		εm

	C		LC R2	+ (ωL −	1	)2
					ωC
Так как						, то максимальная амплитуда напряжения на конденсаторе

UmC max = εm достигается при том же значении частоты источника ЭДС: ωpu =ωpq = ω02 −2β2 . На рис.156 и рис.157 показаны резонансные кривые для амплитудных значений заряда и напряжения на конденсаторе

при различных активных сопротивлениях контура.

Резонансная частота для заряда и напряжения всегда меньше, чем резонансная частота для тока, а резонанс выражен тем больше, чем меньше активное сопротивление контура.

РИС.155 РИС.156 РИС.157 РИС.158

Максимальное значение напряжения на катушке индуктивности (см.§ 51) преобразуем также, используя понятия собственной частоты и коэффициента затухания:

UmL = ImωL =		εmωL				=	εmω
UmL = ImωL =			1			=
R	2	+ (ωL −	1	)	2	(ω02	−ω2 )2 + 4β 2ω2
R		+ (ωL −	ωC	)			. Резонансную частоту можно найти, взяв

производную по частоте от этого выражения и приравняв ее к нулю. Резонансная частота для напряжения на катушке

	ωp =	ω2
	ωp =		0
			0
индуктивности равна:		ω2	−2β2
индуктивности равна:		0	.

Если преобразовать и сравнить выражения для резонансных частот на конденсаторе и на катушке индуктивности с

		2β 2		ωpL =	ω0
ωpC = ω0	1 −				1 −	2β 2	, ωpi = ω0 , то можно сделать вывод,
		ω02				ω02
резонансной частотой тока:			,

что , общем случае, резонансная частота для напряжения на конденсаторе всегда меньше, а для напряжения на катушке индуктивности всегда больше, чем резонансная частота для силы тока (и напряжения на активном сопротивлении). Резонансные кривые для напряжений на активном сопротивлении, катушке индуктивности и емкости показаны на рис.158.

Для представляющих практический интерес контуров с малым затуханием, β << ω0 , членом 2β2 можно пренебречь. В этом случае резонанс для всех переменных электрических величин: силы тока, заряда и напряжения на конденсаторе, напряжения на катушке индуктивности наступает практически одновременно при частоте источника, равной частоте свободных колебаний в контуре:

ω	p	= ω	0	=	1
	p		0		LC . При резонансе сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю (рис.159).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.08.20191.01 Mб16матрицы.doc
#
17.09.2019259.58 Кб53Матэрыялы па бел м для завочнікаўДокумент Micro...doc
#
01.07.20256.78 Mб1Маша 3111. Оборудование торговых объектов общес...docx
#
01.05.2025101.75 Кб10маяковский.docx
#
01.04.2025157.93 Кб2МГОЛИ 50-98.docx
#
29.02.201610.01 Mб111Медведь.pdf
#
01.05.202562.46 Кб1Медицина2013.doc
#
01.05.202548.37 Кб3МЕДУНАРОДНАЯ ТРЕТЬЯ.docx
#
29.02.20163.07 Mб33межд эк.doc
#
01.03.2025942.08 Кб7междун эк 2.doc
#
01.03.20252.89 Mб14междун эк.doc