Поле внутри соленоида (рис.82) тем более однородно, чем больше длина соленоида по сравнению с его диаметром. Для «бесконечного» соленоида снаружи вблизи его поверхности магнитного поля нет и можно выбрать контур, лишь часть которого совпадает с линией магнитной индукции (рис.83).
Ток охватываемый контуром I0 = NI , где N – число витков с током, охваченных контуром. Тогда:
∫Bdl = Bl = µ0 NI
Следовательно, индукцию магнитного поля внутри «бесконечного» соленоида можно рассчитать по формуле
B = µ |
0 |
NI |
= µ |
0 |
nI |
|
l |
|
, где n – число витков соленоида на единицу длины. |
Факт, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, означает, что, в отличие от
электростатического, магнитное полеr– неrпотенциально. |
|
||
|
∫Bdl = ∫∫rotBdS |
|
|
Используем теорему Стокса |
L |
S |
и сравним это выражение с записью теоремы о циркуляции |
вектораrмагнитнойrиндукции в случае непрерывного распределения тока в некотором объеме.
rotB = µ0 j - дифференциальная (локальная) форма теоремы о циркуляции. Математическая констатация того факта, что линии вектора магнитной индукции замкнуты вокруг вектора плотности тока по правилу правого буравчика и поэтому магнитное поле называют вихревым или соленоидальным.
Используем, что |
|
rotB = × B или с помощью определителя: |
||||||||||
r r |
|
ex `ey `ez |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂ |
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
|
|||
× B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x ∂y ∂z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Bx `By `Bz |
|
, |
× B = µ |
0 |
j |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 38.КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
Рассмотрим действие магнитного поля на замкнутый контур с током. Для характеристики плоского контура с током
вводят вектор магнитного момента pm = ISn , где S – площадь, ограниченная контуром, а направление нормали связано правилом правого винта с направлением тока в контуре (рис.84).
Рассмотрим плоский контур в однородном магнитном поле. Сила, действующая со стороны магнитного поля на весь
контур на основании закона Ампера равна: |
F = |
∫ |
[Idl × B] |
|
. |
Так как сила тока и магнитная индукцияr при указанных условиях постоянны, то их можно вынести из-под знака суммы, а
сумма элементарных векторов dl , в виде цепочки которых можно представить контур, равна нулю (рис.85).
Если результирующая сила равна нулю, то центр масс контура будет оставаться неподвижным, т.е. контур не будет двигаться поступательно, но возможно вращательное движение. Найдем вращающий момент сил, действующих на контур.
Рассмотрим простейший случай – линии вектора магнитной индукции лежат в плоскости контура. Разобьем контур на бесконечно узкие полоски шириной dh → 0 , параллельные линиям индукции.
Каждая полоска ограничена элементами тока, на которые со стороны магнитного поля действуют силы |
||
dFr1 = Idlr1 × Br |
и |
dFr2 = Idlr2 × B |
перпендикулярные плоскости чертежа и противоположные по направлению. |
||
dF1 = IBdl1 sin α1 |
= IBdh , dF2 = IBdl2 sin α2 = IBdh . |
|
Величина момента этой пары сил (равные по величине и противоположные по направлению):
dM = dF a = IBdha = IBdS
40
РИС.84 РИС.85 РИС.86
Моменты сил действующих на все пары элементов тока контура направлены в одну строну и величина момента,
M = ∫∫IBdS = IBS
действующего на весь контур |
S |
|
. |
|
|
|
Следовательно, в этом случае при |
prm B , |
величина вращающего момента равна M = pm B . |
||||
В общем случае M = prm × B |
и M = pm B sinα . |
|
prm ↑↑ Br |
|
||
Вращающий момент равен нулю при α = 0 |
и |
α = π . |
В первом случае |
и положение контура |
||
устойчивое. |
|
|
|
|
|
|
Во втором случае prm ↑↓ B и положение контура неустойчивое. |
На рис.86 представлено возникновение |
|||||
вращающего момента для прямоугольного контура с током. |
|
|
|
|||
Свободный контур в магнитном поле будет вращаться до устойчивого положения и, при достаточно малых размерах, |
||||||
может быть использован для исследования |
магнитного поля, |
а также определения вектора |
магнитной индукции: |
|||
B = M max pm .
Магнитная индукция – векторная физическая величина, численно равная максимальному вращающему моменту, действующему со стороны магнитного поля на контур с единичным магнитным моментом в данной точке поля.
В устойчивом положении силы Ампера будут растягивать контур, а в неустойчивом положении эти силы будут вызывать сжатие контура (рис.87). В сильных магнитных полях возможна деформация замкнутых контуров, разрыв витков катушек.
РИС.87
Если контур с током не плоский, то каждый элемент контура можно представить в виде двух векторов,
параллельных и перпендикулярных вектору индукции dl = dlII + dl . Вращающий момент будет определяться «проекцией» контура на плоскость параллельную линиям индукции.
При повороте контура на малый угол совершается работа
δA = Mdα = pm B sin αdα = dW , которая определяет изменение энергии контура при этом. Пусть контур жесткий (pm=const).
W = A = pm B∫sin αdα = −pm B cosα + C
41