Глава 1

Векторная форма механики

1.1.Законы Ньютона

Законы классической механики установлены Ньютоном и носят его имя. Это известные три закона.

Закон 1 Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Закон 2 Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон 3 Действию всегда есть равное и противоположное противодействие; иначе взаимодействия двух тел друг с другом равны и направлены в противоположные стороны.

Под состоянием покоя или равномерного прямолинейного движения Ньютон понимал покой или движение относительно абсолютного пространства. Сейчас установлено, что движение относительно абсолютного пространства никакими физическими опытами обнаружить невозможно. Движение можно рассматривать только относительно некоторой системы отсчета, связанной с телами. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной системой отсчета.

Второй закон Ньютона связывает ускорение тела с действующей на него силой:

Третий закон Ньютона отражает связь между действующими на тела силами при их взаимодействии:

Законы Ньютона являются фундаментом классической механики, которая позволяет описывать многообразные физические явления. Однако ее законы неприменимы в микромире, где господствует квантовая механика. Они не могут использоваться для описания движения тел, скорость которых сравнима со скоростью

света. Здесь применяется механика специальной теории относительности. Для изучения строения галактик и вселенной в целом базовой теорией служит общая теория относительности. Так, согласно общей теории относительности, пространство– время является искривленным, а не плоским, как в классической механике. Однако в той области масштабов и скоростей, в которых классическая механика применима, она является точной наукой. Со времен Ньютона развитие механики шло по пути уточнения понятий, лежащих в ее основании, и по пути развития математического аппарата, позволяющего решать все более сложные задачи.

1.2.Идеализации классической механики

Классическая механика описывает не реальные тела, а некоторые модели, которые хорошо отражают поведение реальных тел. Укажем основные модели классической механики. Простейшей идеальной моделью классической механики является материальная точка. Под материальной точкой понимается любое тело, размерами которого можно пренебречь при изучении его движения. Несколько тел, каждое из которых можно считать материальной точкой, составляют систему материальных точек. Система материальных точек, расстояния между которыми не меняются, называется твердым телом.

В классической механике также постулируются свойства пространства и времени. Пространство считается безграничным, эвклидовым, однородным и изотропным. В эвклидовом пространстве выполняются аксиомы геометрии Эвклида и можно ввести декартову систему координат. Однородность пространства означает, что все точки пространства равноправны: в пространстве нет выделенных точек. Изотропность пространства это свойство равноправности всех направлений пространства: в пространстве нет выделенных направлений. Время в классической механике постулируется однородным и не зависящим от движения системы отсчета, то есть все моменты времени равноправны и оно протекает одинаково во всех системах отсчета. Эти постулаты хорошо отражают свойства реального пространства и времени для скоростей и размеров тел, с которыми имеет дело классическая механика.

1.3.Принцип относительности Галилея

Если есть одна инерциальная система отсчета, то любая другая система отсчета, движущаяся относительно нее равномерно и прямолинейно, также будет инерциальной. Еще Галилей заметил, что равномерное и прямолинейное движение системы отсчета не влияет на механические опыты, проводимые в ней. Принцип относительности Галилея можно сформулировать следующим образом:

Законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Так как время течет одинаково во всех системах отсчета, то при переходе из одной системы отсчета в другую координаты материальной точки преобразуются по формулам:

Формулы (1.3) называются преобразованиями Галилея. Дифференцируя ~r по времени, получим закон сложения скоростей классической механики

Здесь ~v и ~v 0 соответственно скорости материальной точки в покоящейся и движущейся системах отсчета.

Уравнения второго закона Ньютона (1.1) не изменяются при преобразованиях Галилея. Действительно, из формулы (1.4) следует, что w~ = w~0. Масса и сила в классической механике не зависят от системы отсчета. Поэтому преобразование уравнения (1.1) к движущейся системе отсчета приводит опять к уравнению второго закона Ньютона

Неизменность, или инвариантность, уравнений второго закона Ньютона при преобразованиях Галилея является математической формулировкой принципа относительности Галилея.

1.4.Импульс, момент импульса, энергия материальной точки

Так как масса величина постоянная, то уравнение (1.1) можно записать в форме

Величина p~ = m~v называется импульсом, или количеством движения материальной точки. Используя определение импульса, второй закон Ньютона записываем в форме

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы. В уравнении (1.7) введено общепринятое в классической механике обозначение, когда полная производная по времени обозначается точкой над буквой. Соответственно вторая производная по времени обозначается двумя точками над буквой.

силы это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Внутренние силы это силы, действующие на материальную точку

~

со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь fbaint сила, действующая на материальную точку, индекс которой a, со стороны материальной точки с номером b.

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то получим

называется импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для внутренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона равны и противоположно направлены. Для каждой пары векторная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил. В результате получим

Уравнение(1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных точек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют изолированной, или замкнутой системой материальных точек.

Аналогичным образом для каждой материальной точки записываются уравнения (1.8) моментов импульсов

При суммировании уравнений (1.17) по всем материальным точкам системы материальных точек сумма моментов внутренних сил обращается в нуль и получается закон изменения момента импульса системы материальных точек:

~

dMdt = K~ ext;