Вопрос 11. Средние гармонические. Средняя хроническая.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда известны значения признака (x) и частота их повторения (f).

Когда значения (f) неизвестны, а известно только произведение (xf) применяется формула средней гармонической взвешенной.

X = ∑ Mi = M1 + M2 + M3 … + Mn

∑ Mi M1 M2 M3 … + Mn

xi x1 x2 x3 xn

где, М = xf

Средняя гармоническая может иметь и простую форму, которая в статистике применяется крайне редко и представляет собой среднюю из обратных значений признака.

Она используется тогда, когда произведения (xf) одинаковы или равны единице, т.е. М =1

n__________

X = 1 + 1 + 1

х1 x2 xn

где, х – отдельные варианты

n- их число.

В статистике применяется еще и средняя хронологическая.

Она используется в тех случаях, когда данные взяты не за определенный период, а на определенную дату.

X = 1/2 x1+ x2 + x3…+ x n-1 + …+ 1|2 xnֿ

n – 1

Прежде чем приступить к расчету средней, следует логически построить конструкцию искомого показателя и по исходным данным определить, какой вид средней применять для расчета.

Вопрос 12. Структурные средние величины. Мода и медиана.

Особым видом средних величин является структурные средние.

К ним относятся мода и медиана.

МОДА – величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в совокупности.

В дискретном ряду это будет варианта, которая имеет наибольшую частоту.

При определении моды для интервального ряда необходимо вначале определить модальный интервал, интервал, в пределах которого находится мода, а затем приближенное значение модальной величины признака по формуле:

Мо = хmo + i Fmo – F(mo-1)____________

(Fmo –(Fmo-1)) + (Fmo – (Fmo+1))

где, хmo – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала;

Fmo – частота модального интервала;

Fmo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

Fmo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Но мода и средняя величина по-разному характеризуют совокупность. Мода определяет размер признака, свойственный хотя и значительной части, но не всей совокупности. Она менее точна по сравнению со средней, характеризующей совокупность в целом с учетом всех без исключения элементов.

МЕДИАНА – варианта, которая находится в середине вариационного ранжированного ряда.

Она делит ряд на две равные части: одна часть имеет значения признака меньше чем средний, а другая – больший.

Так, медианой в ряду из 5 вариантов, расположенных в возрастающем или убывающем порядке, является 3 по счету величина.

Когда ряд состоит из четного числа членов, в качестве медианы берется средняя арифметическая величина из двух вариант, расположенных в середине ряда.

Порядковый номер медианы дискретного ряда определяется по формуле:

№ me = n + 1

2

При исчислении медианы для интервального ряда, вначале определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем приближенное значение медианы по формуле:

Me = хme + i ∑Fi / 2 – S (-1_)

Fme

где, хme – нижняя граница медианного интервала;

i - величина медианного интервала;

∑F – сумма всех частот ряда;

S(-1) – сумма накопленных частот до медианного интервала;

Fme – частота медианного интервала.

Величина моды и медианы, как правило, отличаются от величины средней, совпадая с ней только в случае симметрии вариационного ряда.