Пример выполнения задания (вариант №12)

Дано: кг;кг;сек^–1;м;м;м;Н·м;сек;сек;м.

Найти угловую скорость тела прии при.

Решение

Крешению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением:

,

где – кинетический момент системы, состоящей из телаи точки, относительно оси;– главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси.

На систему за время от додействуют силы: вестела, весточки, пара сил с моментоми реакции подпятника и подшипника.

Предполагая вращение тела против часовой стрелки, найдем текущее значение кинетического момента системы, который складывается из кинетического момента телаи момента количества движения точки, находящейся в точкетела(в нашем случае точкасовпадает с точкой) и имеющей скорость:

.

Таким образом,

.

Главный момент внешних сил равен вращающему моменту , так как другие силы момента относительно осине создают. Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента, примет вид

, (1)

где Н·м, акг·м².

Разделим в уравнении (1) переменные и проинтегрируем левую и правую части уравнения:

,

откуда

. (2)

Подставив в уравнение (2) числовые значения уже известных величин, получаем

,

сек^–1.

В течение промежутка времени от дона систему действуют силы,, реакции подпятника и подшипника. Поскольку вращающий моментснимается, т. е., то

,const.

Определим значения кинетических моментов прииприи приравняем эти значения.

Для

кг·м²/сек. (3)

При скорость точкискладывается из относительной скоростипо отношению к телуи переносной скоростив движении вместе с телом. Поэтому дляпокажем два вектора количества движения точки:и. В нашем случае линия действия векторапересекает ось, следовательно, кинетический момент вектораотносительно этой оси равен нулю.

Для :

. (4)

Величину отрезка можно найти из выражения:

В момент времени точкаокажется на расстоянии, отсчитываемом вдоль желоба, от точки. Это равносильно тому, что

,,

из чего следует

м.

В результате уравнение кинетического момента (4) примет вид:

.

Приравнивая и:

,

находим

сек^–1.

Ответ:сек^–1,сек^–1.

Задание 4 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела (варианты 1–3, 5, 6, 8–12, 17–23) и сопротивление качению тела, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6–9, 11, 13–15, 20, 21, 24), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость телав тот момент, когда пройденный им путь станет равным.

В задании приняты следующие обозначения: – массы тел;– радиусы больших и малых окружностей;– радиусы инерции телиотносительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести;– углы наклона плоскостей к горизонту;– коэффициент трения скольжения тела;– коэффициент трения качения тела.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 4. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Во всех вариантах .

Таблица 4

№										f	см	м	Дополнительные данные
	кг			см		см		град
1	4m	m/5	4m/3	–	–	–	–	60	–	0,10	–	2
2	m/2	m/3	–	–	30	–	20	30	45	0,22	0,20	2
3	m	m/10	m	–	–	–	–	45	–	0,10	–	2
4	2m	40m	m	20	40	18	–	–	–	–	0,30		массами FK, KC и ползуна K пренебречь
5	2m	m	–	20	15	18	–	60	–	0,12	–		массой водила пренебречь
6	3m	m	–	–	28	–	–	30	45	0,10	0,28	1,5
7	2m	2m	–	16	25	14	–	30	–	–	0,20	2
8	m/2	m/3	–	–	30	–	–	30	45	0,15	0,20	1,75
9	2m	9m	–	–	30	–	20	30	–	0,12	0,25	1,5
10	m/4	m/4	m/5	–	–	–	–	60	–	0,10	–	3
11	m/2	m/4	–	–	30	–	25	30	45	0,17	0,20	2,5
12	m/2	m/5	m	30	–	20	–	30	–	0,20	–	2,5
13	2m	5m	2m	30	20	26	–	30	–	–	0,24	2
14	m/2	5m	4m	–	25	–	–	–	–	–	0,20	2	массы колес равны
15	m/2	4m	m/2	20	15	18	–	60	–	–	0,25	1,5
16	m/10	m/20	m/10	10	12	–	–	–	–	–	–		массой водила пренебречь
17	m/4	m/5	m/10	20	–	15	–	60	–	0,10	–		шатун EF – тонкий однородный стержень
18	3m	m	–	35	15	32	–	60	–	0,15	–		массой водила пренебречь
19	m/3	m/10	m	24	–	20	–	60	–	0,15	–	1,5
20	2m	20m	–	20	15	16	–	30	–	0,10	0,20		массами FK, KC и ползуна K пренебречь
21	m	2m	–	20	20	16	–	30	45	0,20	0,32	1,2
22	m/2	m/4	–	20	10	–	–	60	–	0,17	–		массой водила пренебречь
23	m	m/10	4m/5	20	–	18	–	30	–	0,10	–	1
24	3m	20m	–	20	30	18	–	–	–	–	0,60		массами FK, KC и ползуна K пренебречь