Задание 10. Решить следующие линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
0. – ytgx = 2tgx.
Решение варианта 0.
Данное уравнение
является линейным дифференциальным
уравнением первого порядка. Будем искать
общее решение уравнения в виде y(x)
= u(x)v(x),
где u(x)
и v(x)
– подлежащие определению пока неизвестные
функции. Подставляя это выражение в
уравнение, получим
,
или
.
Выберем функцию
v(x)
так, чтобы выражение в скобках равнялось
нулю. Имеем:
,
,
,
(Из всей совокупности
решений этого уравнения выбрано в
качестве функции v
одно конкретное). Далее получаем:
,
,
откуда u = – 2cosx
+ C. Таким образом,
общее решение имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (x
+ 1)3.
y
= 1.
.Задание 11. Решить следующие дифференциальные уравнения второго порядка.
0. 2y
+
=
0.
Решение варианта 0.
Полагая
= p,
,
получаем уравнение
с разделяющимися переменными 2yp3
+
=
0, откуда
2yp2
+
=
0,
=
–2ydy,
= y2
+ C1,
p
=
.
Следовательно,
,
(y2
+ C1)dy
= dx.
Интегрируя последнее равенство, находим
,
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
.Задание 12. Решить следующие однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
|
|
|
– 8 + 25y = 0; |
|
– 7 + 12y = – 48sin3x. |
Решение варианта 0.
Пример 0.1.
Характеристическое уравнение
имеет комплексные
корни:
,
поэтому общее
решение имеет вид: y
=
(C1
cos3x
+ C2
sin3x).
Пример 0.2.
Найдем общее решение
соответствующего однородного уравнения
– 7
+ 12y
=0..
Характеристическое уравнение
– –
+
12 = 0 имеет различные действительные
корни:
,
поэтому общее решение однородного
уравнения определяется формулой
.
Частное исходного уравнения будем
искать в виде y1
= Acos3x
+ Bsin3x.
Подставим y1,
=
–3Asin3x
+ 3Bcos3x,
= = –9Acos3x
– 9Bsin3x
в уравнение и
получим:
–9Acos3x – 9Bsin3x – 7(–3Asin3x + 3Bcos3x) +
+12(Acos3x + Bsin3x) = – 48sin3x,
или
(3A – 21B)cos3x + (21A + 3B)sin3x = – 48sin3x.
Последнее
равенство должно выполнятся для всех
x,
и это возможно, когда
3A
– 21B = 0,
21A
+ 3B = –48,
A
= –
,
B
=
.
Следовательно, y1
= –
cos3x
+
sin3x.
Искомое общее решение неоднородного
уравнения имеет вид: y
=
–
(7cos3x
+ sin3x).
|
|
|
– – y = 0; |
|
– 5 + 6y = x2 – x. |
|
|
|
– 2 + y = 0; |
|
+ + y = 3sin2x. |
|
|
|
+ 3 – 8y = 0; |
|
– = x + 1. |
|
|
|
– 4 + 5y = 0; |
|
+ 3 + 2y = 5e5x. |
|
|
|
– 2 + 5y = 0; |
|
+ – 2y = cosx – 3sinx. |
|
|
|
4 + 4 + y = 0; |
|
– 2 + 10y = 10x2 + 8x +6. |
|
|
|
9 – – 2y = 0; |
|
– 6 + 25y = 3cosx + 2sinx. |
|
|
|
+ 3 = 0; |
|
– 5 = sin5x. |
|
|
|
– + 6y = 0; |
|
+ 2 + y = cosx + sinx. |
|
|
|
– 5 + 6y = 0; |
|
– 7 + 12y = e3x. |
|
|
|
+ 2 + y = 0; |
|
+ 2 + y = 4x2 – 3x – 5. |
|
|
|
– 8 + 12y = 0; |
|
+ y = – sin2x. |
|
|
|
+ – 6y = 0; |
|
– – 2y = 4e3x. |
|
|
|
– 6 + 9y = 0; |
|
+ 2 = 4x3 – 2x. |
|
|
|
+ 4 = 0; |
|
+ 4 + 4y = 3cos2x+ 2sin2x. |
|
|
|
– 3 + 2y = 0; |
|
– 4 + 4y = e2x. |
|
|
|
9 + y = 0; |
|
+ 2 + y = cosx + sinx. |
|
|
|
– y = 0; |
|
– 4 + 3y = 3ex. |
|
|
|
2 – 2 + 3y = 0; |
|
– 6 + 9y = 5sinx. |
|
|
|
+ 7 + 6y = 0; |
|
–3 + 2y = ex. |
|
|
|
– 2 + 19y = 0; |
|
+ 2 + 2y= 2x3 – 2. |
|
|
|
+ – 12y = 0; |
|
+ 4 + 5y = 5x2 – 32x + 5. |
|
|
|
2 – 3 – 2y = 0; |
|
– 2 = x2 – x. |
|
|
|
– 4 + 7y = 0; |
|
– 3 – 10y = 3cosx + sinx. |
|
|
|
+ 4 – 7y = 0; |
|
– 4 +3y= 2x + 1. |