- •Министерство общего и профессионального образования
- •Тема 1. Сводка и группировка статистических данных...................4
- •Xmin - наименьшее значение признака
- •Тема 2. Абсолютные и относительные величины задачи
- •Тема 3. Средние величины и показатели вариации задачи
- •Решение типовых задач
- •1. Рассчитаем среднюю урожайность картофеля по формуле:
- •Тема 4. Ряды динамики
- •Тема 5. Индексы
- •Тема 6: выборочное наблюдение
- •664015, Иркутск, ул. Ленина, 11
Решение типовых задач
Задача 2. Основой расчета средней величины является экономическое содержание показателя (исходное соотношение).
Средняя прибыль
рентабельность = –––––––––––––––––––––––––––––
продукции полная себестоимость продукции
В том случае, если знаменатель исходного соотношения известен для расчета средней величины применяют формулу средней арифметической взвешенной. если же знаменатель соотношения неизвестен - расчет производится по формуле средней гармонической взвешенной.
Для расчета средней рентабельности продукции предприятия в базисном году применяем формулу средней арифметической взвешенной:
xf 0, 20 * 890 +0,18 * 750
Х = или 19,1%
f 890 + 750
За отчетный год среднюю рентабельность продукции определяем по формуле средней гармонической взвешенной:
xf 165 + 150
Х = ------------ = ------------------------------- = 0,199 или 19,9 %
(xf / x) (165 / 0,19) + (150 / 0,21)
Задача 5. среднее значение признака из интегрального ряда можно определить двумя способами:
xf
1) по средней арифметической взвешенной: x = ------------
f
В этой формуле за величину x принимается средняя интервала в каждой группе:
2) по способу моментов:
[( X - A) / i] * f
Х = А +m1 * i , где m1 = ----------------------
f
А - постоянная величина, за которую принимается варианта (середина интервала) находящаяся в центре ряда.
i - величина интервала.
Способы расчета представим в следующей таблице.
стаж работы (лет) |
число рабочих |
середина интервала Х |
Х-А=Х-12,5 |
х-а i |
[( x-a)/ i ]*f |
до 5 |
15 |
(0+5)/2=2,5 |
-10 |
-2 |
-30 |
5 -10 |
25 |
(5+10)/2=7,5 |
-5 |
-1 |
-25 |
10 - 15 |
12 |
(10+15)/2=12,5 |
0 |
0 |
0 |
15 - 20 |
28 |
(15+20)/2=17,5 |
+5 |
+1 |
+28 |
20 и более |
20 |
(20+25)/2=22,5 |
+10 |
+2 |
+40 |
Итого |
100 |
|
|
|
+13 |
I способ расчета:
Х = xf = 2,5*15+7,5*25+12,5*12+17,5*28+22,5*20 = 1315 = 13,2 года
f 100 100
II способ расчета,
подставив данные таблицы в формулы, получим:
x = 12,2 + (13 / 100) * = 13,2 года
Оба способа расчета дали одинаковый результат.
В интервальных рядах с с равными интервалами определяют моду и медиану.
Модальный интервал устанавливают по наибольшей частоте. В нашей задаче наибольшая частота - 28, следовательно, мода находится в интервале от 15 - 20. Затем рассчитывают значение моды по формуле:
fмод - f предмод
Mо = o + i * ------------------------------------------
( fмод - f предмод ) +( f мод - f последмод )
где Хо - нижняя граница модального интервала,
fпослемод - частота интервала, следующего за модальным;
fпредмод - частота интервала, предшествующего модальному.
Подставляем числовые значения в формулу:
Мо =( 15 +5 )* (28 - 12) / [ (28-12)+(28-20) ] = 15 +5 * 0,667 = 18,3 года
Вывод: наиболее часто встречаются рабочие со стажем работы 18,3 года.
Медианный интервал устанавливают по накопленным частотам.
Построим ряд накопленных частот:
Стаж работы (лет) |
Число рабочих f |
Накопленные частоты Sn |
до 5 |
15 |
15 |
5 - 10 |
25 |
15 + 25 = 40 |
10 - 15 |
12 |
40 + 12 = 52 |
15 - 20 |
28 |
52 + 28 = 80 |
20 и более |
20 |
80 + 20 = 100 |
Итого: 100
Медиана должна находиться в том интервале, где первая накопленная частота равна половине всей совокупности или больше половины ее. В нашей задаче половина совокупности -50 (100/2), а первая накопленная частота, которая больше половины совокупности - это 52, значит медицина находится в интервале 10 - 15.
Расчет непосредственно медианы производится по формуле:
fS n - 1
М е = Хо + i f me
где: Хо - нижняя граница медианного интервала;
i - величина интервала,
f - сумма всех частот,
Sn-1 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу,
fme - частота медианного интервала.
Ме = (10 + 5 ) * (100 / 2 - 40) / 12 = 14,2 года.
Таким образом, половина рабочих имеет стаж работы до 14,2 года, а другая свыше 14,2 года.
По условию задачи N5 рассчитаем показатели вариации.
1. Размах вариации как разность экстремальных значений признака:
R = Xmax - Xmin
R = 22,5 - 2,5 = 20 лет
2. Среднее линейное отклонение как средняя арифметическая взвешенная из абсолютных отклонений индивидуальных значений от средней величины:
x-x/f
L = --------------
f
L=[/12,5-13,2/*15+/7,5-13,2/*25+/12,15-13,2/*12+/17,5-13,2/*28+/22,5--13,2/*20] / 100 = 616 / 100 = 6,16
3.Дисперсия - это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней величины. Дисперсию можно рассчитать несколькими способами.
По формуле:
( x - x)2 f
G2 = f
G2=[(2,5-13,5)2*15+(7,5-13,5)2*25+(12,5-13,5)2*12+(17,5-13,5)2*28+(22,5-13,5)2*20] / 100 = 4783 / 100 = 47,83
Второй способ расчета дисперсии по способу моментов основан на математических свойствах дисперсии и производится по формуле:
G2 = (m2 - m12)*i2
где i - величина интервала.
[(x-a) / i]*f (x-a) / i]2*f
m1 = f , m2 = f
стаж работы (лет) |
число рабочих f |
середина интервала х |
х - а |
(x - a) / i |
[(x-a)/i]*f |
[(x-a)/i]2 |
[(x-a)/i]2*f |
до 5 |
15 |
2,5 |
-10 |
-2 |
-30 |
4 |
60 |
5 - 10 |
25 |
7,5 |
-5 |
-1 |
-25 |
1 |
25 |
10 - 15 |
12 |
12,5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15 - 20 |
28 |
17,5 |
+5 |
+1 |
+28 |
1 |
28 |
20 и более |
20 |
22,5 |
+10 |
+2 |
+40 |
4 |
80 |
Итого |
100 |
|
|
|
+13 |
|
193 |
Исчислим моменты первого и второго порядков (m1 и m2):
[(x-a) / i]* f
m1 = f = 13 / 100 = 0,13
(x-a) / i]2*f
m2 = f = 193 / 100 = 1,93
i - величина интервала равна 5, тогда
G2 = (m2 - m12)*i2
G2 = (1,93 - 0,132)*52 = (1,93-0,0169)*25 = 47,83
4. Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии:
G = ±
G = ± = 6,9 года
Коэффициент вариации - относительный показатель колеблемости, равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней величине:
V ±
V±
Коэффициент вариации применяется для сравнения степени вариации признака по различным совокупностям (см. задачи N11 и N 14).
Задача 16. Исчислим дисперсию упрощенным способом:
__ _
G2 = х2 - х2
х2 =
х-2
G2 = 775 - 767,3 = 7,7
Задача 18. Дисперсия альтернативного признака (или дисперсия доли) исчисляется по формуле:
G2 = p + q
где р - доля единиц, обладающих данным признаком.
q - доля единиц, не обладающая этим признаком.
Поэтому р + q = 1 q = 1 - р
В нашей задаче доля продукции 1 сорта равна : р = 396,5 / 610 = 0,65 или 65% . Следовательно, 35% продукции не относятся к 1 сорту, т.е. не обладают данным признаком. (q = 1 - 0,65 = 0,35) Следовательно, дисперсия удельного веса продукции 1 сорта :
G2 = 0,65 * 0,35 = 0,23
Задача 20.