8.6 Методы шагового поиска

Применяются для отслеживания дрейфующих экстремумов. Наиболее простые алгоритмы поиска основываются на том, что перед реализацией рабочего шага делаются пробные замеры показателей качества в двух соседних точках a+gиa-g, отстоящих друг от друга на расстоянии2g,не меньше чем интервал нечувствительности2g ≤ ε.

Два измерения показателя качества дают возможность определить, с какой стороны расположен экстремум, и организовать движение к нему. Такой алгоритм поиска называется поиском с парными пробами. Математически этот алгоритм поиска записывается в форме:

, (8.16)

где - расположение параметра наi-ом шаге поиска, с – рабочий шаг по управляющему параметру, g – пробный шаг , sign – функция знака.

Рассматриваемый алгоритм реализуется по схеме, показанной на рисунке 8.9:

. (8.17)

Рисунок 8.9 - Алгоритм шагового поиска

Операции Твыдсоответствует выдержка системы в течение времениТвыдв фиксированном значении. Выдержка необходима в процессе отслеживания дрейфующего экстремума для того, чтобы уменьшить частоту поисковых движений в квазиустановившемся режиме. В рассматриваемом алгоритме выделяются следующие этапы:

1. пробные шаги;

2. принятые решения;

3. рабочий шаг;

4. выдержка.

В соответствии с этим время цикла поиска:

. (8.18)

Рассмотренный алгоритм поиска упрощается, если, например, одну из проб совместить с исходным состоянием a_iна каждом цикле поиска, т. е. выполнять поиск с непарными пробами либо вообще отказаться от пробных шагов и совместить их с рабочими шагами. Такие алгоритмы могут обеспечить более высокое быстродействие по сравнению с алгоритмами поиска с парными пробами, В последнем случае делаются только рабочие шаги и при этом запоминается полученное значение показателя качества на каждом шаге для сравнения с показателем качества на следующем шаге. Рабочее изменение управляемого параметра наi-м шаге поиска записывается в виде:

; (8.19)

Структурная схема, реализующая этот алгоритм, показана на рисунке 8.9. Реализация алгоритма поиска происходит в три этапа: 1) рабочий шаг; 2) принятие решения; 3) выдержка Tвыд. В блоке запоминания «ПамятьQ,» происходит запоминание полученного показателя качества после того, как принято решение о направлении очередного рабочего шага. Затраты времени на один цикл определяются какtц=tреш+tраб+Tвыд. В рассматриваемом алгоритме время цикла может быть существенно уменьшено по сравнению со временем цикла алгоритма с пробными шагами. Алгоритмы поиска с совмещенными пробными и рабочими шагами получили также название алгоритмов спуска.

Оценка алгоритмов поиска происходит по двум основным показателям: потерям на поиск и потерям на рыскание.

Потери на поиск:

k_{п п}=t_ц/В_{ц ,}(8.20)

где В_ц– смещение к цели за один цикл поиска (В_ц=с). Показательk_{п п}характеризует работу алгоритма поиска лишь при движении к экстремуму. Эффективность поиска в районе экстремума характеризует потери на рыскание. Эти потери образуются за счет поисковых движений в районе экстремума. Вычисляются потери на рыскание путем усреднения разностиза время движения в районе экстремума:

, (8.21)

где ) – текущее показание показателя качества;

- наименьшее значение.

Потери на рыскание выражаются формулой:

. (8.22)

Если процесс поиска в районе экстремума циклически повторяется, т. е. совершает колебания с периодом Т, то можно записать:

. (8.23)

Периодически повторяющиеся ситуации поиска в районе экстремума образуют так называемые предельные циклы.

С точки зрения уменьшения потерь на рыскание необходимо уменьшить рабочие шаги с и увеличивать время выдержки Твыд. Однако эти требования находятся в противоречии с условием уменьшения потерь на поиск и на рыскание и с учетом особенностей поведения системы в динамике.

Для плавных экстремальных функций используются алгоритмы шагового поиска с расчетом градиента. Градиентом функции одной переменной называется её производная:

gradQ(a)=. (8.24)

Приближенное вычисление градиента производится по значениям экстремальной функции при достаточно малых изменениях параметра a:

gradQ(a)≈. (8.25)

Поиск с расчетом градиента – градиентный поиск. Рабочий шаг при таком поиске не остается постоянным, а меняется в зависимости от градиента:

. (8.26)

При градиентном поиске возможна неустойчивость поиска, что ограничивает его применение для объектов с хорошо изученными функциями.

Функциональная схема системы экстремального управления с использованием градиентного поиска представлена на рисунке 8.10:

Рисунок 8.10 - Функциональная схема экстремального управления

Для объектов, у которых характеристики имеют крутой наклон вдали от экстремума и пологий в районе экстремума, переменность шага, зависимого от градиента, позволяет существенно сократить потери на поиск. Однако при градиентном поиске возможна неустойчивость поиска, что ограничивает его применение для объектов с хорошо изученными функциями качества.

Функциональная схема системы экстремального управления с использованием метода градиентного поиска показана на рисунке 8.10.

Генератор пробных шагов (ГПШ) вырабатывает пробные смешения управляемого параметра ±g.

Полученные с помощью элемента памяти (П) приращения масштабно преобразуются в масштабном преобразователе (МП) в рабочее смещение. Работой элементов системы управляет программное устройство (ПУ), которое поочередно включает в соответствии с заданной программой ГПШ, МП и П. В элементе памяти запоминаются предыдущие значения показателя качества для вычисления приращения.

Производная функция качества для целей поиска экстремума применяется также в методе синхронного детектирования. Этот метод применяется только для непрерывных систем управления. Непрерывный модулирующий сигнал поступает на вход оптимизируемого объекта по управляющему параметру и умножается на выходной сигнал объекта—функцию качества. Усредненное значение этого произведения будет пропорционально производной dQ/da. В качестве модулирующего сигналаα(t)применяются как регулярные сигналы в виде гармонических или прямоугольных сигналов, так и случайные функции времени. Необходимо только обеспечить равенство нулю среднего значенияα(t)и малое значение среднего квадратаα(t).

Информацию о производной dQ/daпри использовании метода синхронного детектирования получают па основании следующего подхода. Если, например, модулирующий сигнал формируется в виде гармонического сигнала

_(8.27)

а характеристика объекта Q(a+α)представляет собой гладкую функцию, то она может быть разложена в степенной ряд

(8.28)

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения вследствие малости членов с α ²,α ³и т.д., имеем:

(8.29)

Получим:

(8.30)

Предполагая, что интервал времени Тмного больше периода модулирующей частоты (Т >> 2π/ω), получим:

(8.31)

С учетом этого имеем:

(8.32)

В экстремальной системе с синхронным детектором (рисунок 8.11, а) модулирующий сигнал непрерывно подается от генератора (Г) на вход экстремального объекта и на синхронный детектор (СД). С целью компенсации задержки модулирующего сигнала в инерционном объекте сигнал, поступающий от Г в СД, сдвигается по фазе на угол φ_к. Скорость изменения управляющего параметра пропорциональна углу наклона функции качества с обратным знаком, т. е.

(8.33)

где k— масштабный коэффициент.

Изменение управляющего параметра от начального значения а₀в системе с синхронным детектированием может рассматриваться как сумма быстрого колебательного движения и медленного усредненного движения.

_(8.34)

Рисунок 8.11 - Функциональная схема экстремальной системы с синхронным детектором и график переходного процесса

8.7 Адаптивные системы управления высокоточным электроприводом с минимизацией среднеквадратичной ошибки.

Использование поисковых методов оптимизации рассмотрим боле подробно на примере адаптивной системы управления высокоточным электроприводом.

Основная часть системы выполнена по импульсно-фазовому принципу управления с разделением каналов фазового и частотного управления с помощью нелинейного логического блока (НЛБ) и аналогового ключа (АК).(Рисунок 8.12).

Рисунок 8.12 – Адаптивная система управления высокоточным электроприводом

Адаптивное управление применяется для автоматической перенастройки параметров системы таким образом, чтобы для каждого из возможных режимов работы при широком диапазоне регулирования скорости и нагрузки получить минимальные динамические ошибки. Основные воздействия на систему, каковыми в данном случае является помехи измерения координат движения, изменение момента сопротивления, параметрические возмущения в электродвигателе и кинематических передачах, имеют выраженную зависимость от скорости электропривода и механизма.

Причем изменение спектрального состава воздействий при широком регулировании скорости может оказаться столь значительным, что минимальная динамическая ошибка будет обеспечиваться только на одном уровне скорости и с изменением скорости уход от минимальной ошибки будет весьма существенным. Поисковая адаптивная система выполняет в этом случае автоматическую оптимизацию на каждом уровне скорости в заданном диапазоне ее регулирования.

Рисунок 8.13 – Графики спектральной плотности экстремальной системы

Используя в прецизионной системе электропривода высокочастотный широтно-импульсный преобразователь (ШИП), можно замыкать контур регулирования тока на частотах, при которых эффективно фильтруются параметрические возмущения в электродвигателе. Тогда основными возмущениями в системе будут изменения момента сопротивлений на валу механизма и помехи импульсного датчика (ИД). Ориентируясь на фотоэлектрические датчики, можно спектральную плотность помехи измерения угла, обусловленную главным образом неточностью нанесения рисок на лимбе, представить в виде, показанном на рисунке 8.13, а.

При оптимизации системы удобно спектральную плотность выразить через отдельные составляющие в соответствии с выражением:

(8.35)

где:

- дисперсия составляющих спектратипа белый шум с ограниченными по частоте спектрами;

— угловая скорость механизма;

— коэффициенты пропорциональности.

Такая запись непосредственно следует из представления кривой (рисунок 8.13, а) в виде отдельных составляющих, показанных штрихами.

Аналогично может быть представлена и спектральная плотность изменений момента сопротивлений (рисунок 8.13, б). Выражение для спектральной плотностичерез составляющие имеет вид:

(8.36)

где - дисперсии составляющих спектратипа белый шум с ограниченными по частоте спектрами;— коэффициенты пропорциональности.

Оптимизация импульсно-фазовой системы управления сводится к динамическому синтезу регулятора положения (РП), исходя из условия минимума средне квадратичной ошибки (или дисперсии ошибки) Используя нормированные амплитудно-частотные характеристики системы типа (—3—1—2) и определяя из параметрического синтеза системы, частоту среза и сопрягающие частоты характеристик системы, можно убедиться в том, что при адаптивной автоматической оптимизации можно изменять только частоту среза, сохраняя при этом соотношение сопрягающих частот относительно частоты среза неизменным.

Зависимости дисперсии угловой или скоростной ошибок от, определяемые частотными характеристиками системы и энергетическими спектрами воздействий, имеют при одной и той же форме ЛАЧХ ярко выраженные минимумы, причем оптимальные частоты среза зависят как от скорости механизма, так и от режима нагрузки — от текущих значений коэффициентови дисперсий.

Рисунок 8.14 - Графики дисперсий угловой ошибки от частоты среза

Для измерения дисперсии действительной угловой или скоростной ошибки, являющихся мерой точности импульсно-фазовой системы, необходимо исключить помехи измерения угла, обусловленные неточностью нанесения рисок на лимбе датчика. С этой целью используются два смещенных относительно друг друга по обороту лимба устройства измерения фазового рассогласования, состоящие из двух фотооптических систем и двух фазовых дискриминатором ФД1 и ФД2, работающих в синфазном режиме.

Выходные напряжения усилителей 1 и 2 связаны с действительной угловой ошибкой механизмасоотношениями:

(8.37)

где: — помехи датчика по двум устройствам измерения;z— дискретность датчика;

— передаточные коэффициенты фазовых дискриминаторов;— передаточные коэффициенты усилителей.

Если две фотооптические системы разнесены на угол, при котором корреля­ционная функция ошибки датчика обращается в нуль, то помехииоказываются взаимно некоррелированными. Отсутствует также корреляция междуи. Средние квадраты величининаходятся в соответствии с выражениями:

. (8.38)

Учитывая, что помехииотносятся к одному и тому же стационарному процессу, имеем. На основании приведенных выражений можно записать:

, (8.39)

где: - дисперсия действительной угловой ошибки системы.

Рисунок 8.15 – Схемы вычисления дисперсий ошибки экстремальной системы.

Вычисление дисперсии ошибки произво­дится с помощью суммирующего усилителя 3 (рис. 8.15, а), двух квадратичных преобразователей КП1 иКП2 и интегратораИ с постоянной времени Т₀, осуществляющего усреднение сигнала за конечный интервал времениТ.

Устройство выборки-хранения (УВХ) предназначено для запоминания на времяТ сигнала, снимаемого с выхода интегратора в дискретные моменты времени и несущего в себе информацию о текущем значении дисперсии ошибки. После запоминания кратковременным замыканием интегратора ключом К1 осуществляется установка его а нуль. Управление интегратором иУВХ производится от генератора тактов, расположенного вБУ.

При измерении дисперсии действительной ошибки по скорости Dω масштабные усилители1 и2 должны быть заменены двумя идентичными друг другу диф­ференцирующими усилителями.

С учетом передаточных коэффициентов квадратичных преобразователей и интегратораТ/Т₀ соотношения между напряжениями на выходеБВД и дисперсиями Dφ иDω угловой и скоростной ошибок находятся в виде:

(8.40)

где: - постоянные времени дифференцирующих усилителей.

С целью быстрого выхода в окрестность экстремума и отслеживания дрей­фующего положения экстремума в подсистеме поиска минимума дисперсии действительной ошибки использован комбинированный алгоритм поиска с перенастройкой в окрестности экстремума алгоритма метода дихотомии на шаговый автоколебательный алгоритм.

Выбор алгоритма поиска обусловлен следующим. Крутизна кривых (см. рисунок 8.14) в сильной степени зависит от скорости механизма и отклоне­ния частоты ω_срот оптимальных значений, в связи с чем градиентные алгоритмы не обеспечивают быстрой сходимости процесса поиска при широком диапазоне регулирования скорости и нагрузки.

Напротив, геометрические методы, в част­ности метод дихотомии, обеспечивают наименьшие затраты времени на поиск экстремума, а для отслеживания дрейфа экстремума производится переключение системы на шаговый алгоритм поиска с совмещением пробных и рабочих шагов.

Исходная точка для поиска экстремума задается начальной частотой среза , определяемой из выражения:

(8.41)

где: ω_ср— начальный интервал неопределенности.

- максимальное и минимальное значения частоты среза, опре­деляемые на основании априорных сведений, исходя из возможных в процессе функционирования системы диапазонов изменения скорости и нагрузки.

С целью выявления направления первого шага в окрестности делаются два измерения дисперсии ошибки при значениях частоты среза игде— пробный шаг.

Затем делается первый рабочий шаг. Значение 1-го рабочего шагаи его знакопределяются в соответствии с вы­ражениями:

(8.42)

где — частота среза системы на l-м рабочем шаге.

После формирования l-го рабочего шага дихотомиив районе экстремума функциив блокахБУ иБПМД осуществляются переключения, обеспечивающие перестройку алгоритма поиска. Рабочий шаг в последующем остается постоянным и равным последнему рабочему шагу дихотомии. Изменение частоты среза на l-м шаге поиска шагового алгоритма записывается в виде:

(8.43)

Минимальное значение , а следовательно, и рабочий шагвыби­раются из условия возможности оценкина уровне помех измерения диспер­сии. Время поиска экстремума определяется числом l шагов дихотомии и интер­валом усреднения Т.

Перестройка параметров основной части системы производится путем изме­нения параметров РП (рис. 8.15,б). Пренебрегая упругими связями в электро­приводе и представляя замкнутый контур регулирования тока безынерционным звеном, можно записать передаточную функцию разомкнутого контура положения с учетом перенастраиваемых параметров в следующем виде:

(8.44)

где n, m — коэффициенты; ω_ср— частота среза.

Соответствующая этой передаточной функции ЛАЧХ показана на рисунке 8.14, б. Принимая во внимание, что передаточная функция неизменяемой части системы равна

(8.45)

где -передаточная функция регулятора положения.

(8.46)

Схема РП (рисунок 8.15). Перенастройка производится воздействием на резисторыРП таким образом, чтобы изменение их проводимостей приводило к изменению частоты среза ω_ср системы и сохраняло постоянными соотношения сопрягающих частоти_.