8.5 Метод градиента

Градиентом выпуклой дифференцируемой функции называют вектор, проекции которого на оси координат…соответственно равны частным производным

,……, (8.9)

Каждая из составляющих градиента может быть приближенно определена по двум замерам значений функции в близких точкахт.е.

. (8.10)

В случае, если функция зависит от нескольких переменных, т.е.то градиент определяют по всем переменным:

,

, (8.11)

…………………………………………………..,

.

Рисунок 8.8 - Определение экстремума градиентным методом

После определения направления градиента осуществляют переход в новое положение по каждой координате в зависимости от максимальной величины и направления градиента.

В методе градиента используют свойство уменьшения величины градиента по мере приближения к экстремуму.

В методе градиента процесс поиска разделяется на два этапа. В на­чале делают пробный шаг для определения величины и направления гради­ента в соответствии с алгоритмом:

,, (8.12)

где: -координата вектора начального состояния;

-координата вектора пробного состояния;

-величина шага;

-единичный вектор отклонения по заданной координате.

Затем осуществляют одновременное рабочее смещение в направлении градиента всех координат в соответствии с уравнением:

_(8.13)

где: -величина рабочего шага;

-вектор нового рабочего состояния.

Необходимым условием работы рассматриваемых систем является экстремальность показателя качества Qот управляемого параметраа в допустимой областиВизменений этого параметра. Управляемым пара­метромаможет быть параметр регулятора основной части системы (на­пример, передаточный коэффициент, постоянная времени) или обобщённый параметр системы (например, частота среза, показатель колебательности и др.).

Под экстремальностью понимается наличие выраженного минимума или максимума в функции .

Различают локальный и глобальный экстремумы. Локальный экстре­мум имеет место в некоторой малой области измененийQ.Функция качества может иметь много локальных экстремумов, но лишь один из них будет глобальным.

Глобальный экстремум , где.

Важным свойством экстремальных функций является свойство унимодальности. Унимодальной функцией является функция, имеющая один локальный экстремум.

8.5 Геометрические методы поиска

Метод дихотомии

Суть метода заключается в следующем. Если область параметров Bпредставить в виде отрезка АД, внутри которого находится оптимальное значение параметра, то-отрезок АД делится пополам и отбрасывается та часть, где экстремум отсутствует.

На первом шаге имеем

. (8.14)

В районе a, делается два измерения показателя качества с целью выяснения, справа, или слева от, находится экстремум.

Знак разности:

, (8.15)

где - интервал приращений параметрас учётом помех измерения, обеспечивает получение информации экстремума.

Следующая пара измерений производится в районе середины оставшегося отрезка

, т.е. в точках .

Процедура выбора половины отрезка повторяется. Деление продолжается до тех пор, пока на каждом интервале . Метод дихотомии даёт двукратное уменьшение зоны неопределённости, где расположен экстремум, на два замера показателя качества.

Метод золотого сечения.

Этот метод несколько эффективнее в плане уменьшения зоны неопределённости, где расположен экстремум. Как и метод дихотомии, он имеет в своей основе геометрические отношения отрезков. При использовании метода золотого сечения отрезок делится на две неравные части, причём, отношение всего отрезка, к его большей части равно отношению большей части к меньшей.

Геометрические методы поиска, оказываются наиболее простыми при технической реализации, однако они применимы в основном в тех случаях, когда дрейф экстремума показателя качества отсутствует и производится однократное определение экстремума.