8.3 Организация движений к экстремуму в поисковых адаптивных системах управления

Важным моментом в создании поисковых адаптивных систем управления является выбор алгоритма поиска экстремума унимодальной функции качества и организация достаточно быстрых движений к экстремуму при изменении усло­вий функционирования системы. Имеется довольно большое число методов оты­скания экстремума. Выбор алгоритма движения к экстремуму в поисковых системах зависит от таких фак­торов, как точность поиска экстремума, быстродействие, условия функциони­рования системы, и определяется решением конкретной задачи.

Задача поисковой настройки формулируется следующим образом. Пре­дполагается, что имеется множество состояний системы (X1,X2,…Xn)=X, которое является областью определения целевой функции или функци­онала качества системы:

J(X1,X2,…Xn). (8.1)

Из множества состояний Xнеобходимо выбрать определенные состояния

Hj=hj(X1,X2,…Xn), (8.2)

где j=1,2,3…m, при которых обеспечивается экстремальное значение функционала качества

J(X1,X2,…Xn)=J₀. (8.3)

Связь между экстремальным значением функционала качества и предпо­чтительными состояниями системы из множества Xне задана в явном виде и требуемый выбор обеспечивается путем последовательного прибли­жения к решению в результате опробования различных состояний системы.

Таким образом ,существенной чертой самонастраивающихся систем данного класса является наличие процесса поиска как последовательной итеративной процедуры выбора одного из множества возможных путей для достижения поставленной цели. Все методы поиска подразделяются на регулярные и случайные. В регулярных методах поиска, выбор направле­ния поискового движения осуществляется по заранее заданному закону, а в случайных методах направление к экстремуму «нащупывается» слу­чайным образом.

8.4 Регулярные методы поиска экстремума

Сканирование. Сканирование или полный перебор используют для определения экстремума функционала качества J(X^*),гдеX– значение упра­вляемого параметра в точке экстремума, в том случае, если имеется информация только о наличии свойства экстремальностиyJ(x) и о необ­ходимости соблюдения условия

J(X^*) ≤J(X), (8.4)

где X–допустимая область изменения управляемого параметра.

Отсутствие любой другой информации о свойствах функционала J(X) приводит к необходимости последовательно определять значения функци­онала качества внутри допустимой области изменения управляемого па­раметра.

Если обозначить допустимый интервал изменения параметра Xчерез А, а заданную точность в достижении экстремума – через ε>0 ,то в результате сканирования определяетn значений функционала качества в точкахX1,X2,…,Xn

J1(X1),J2(X2),…,Jn(Xn), (8.5)

где n=A/ ε+1.

После перебора всех значенийJi(Xi) выбирают максимальное или минимальное значение:

J(X^*)=min{ Ji(Xi)}, i=1,2,…,n. (8.6)

Длительность процедур поиска при сканировании в основном опре­деляется задаваемой точностью ε.

Регулярность метода сканирования определяется заранее задаваемым порядком перебора значений. Чаще всего используют два способа при об­ходе точек: строчная развертка (рисунок 8.6) и спиральная развертка (рисунок 8.7).

Рисунок 8.6 – Способ строчной развертки

Рисунок 8.7 – Способ спиральной развертки

Метод Гаусса-Зейделя. В методе Гаусса-Зейделя используют дополни­тельную информацию о виде функционала качестваJ(X) ,в частности, пред­полагают, чтоJ(X) является унимодальной функцией, т.е. функцией имеющей один экстремум. Условие унимодальности можно записать следующим образом (для поиска минимума):

J(X1)<J(X2) приXmin<X₁<X_2,

J(X1)>J(X2) приX₁<X₂<Xmin, (8.7)

где Х_min-положение минимума: Х1 иX2 – произвольные положения отно­сительно точки минимума. Условие унимодальности позволяет значитель­но сократить число просматриваемых точек по сравнению с полным перебором.

В основу метода поиска положено исследование полной производимой экстремизируемого функционала

где ,;,

где - коэффициенты характеризующие отклонение от экстремума. Отсюда:

. (8.8)

В точке экстремума имеем ,поэтому во всех точках, кроме, функция должна удовлетворять условию монотонного приближения к экстремуму:

для максимума,

для минимума.

В методе Гаусса–Зейделя производится поочередное измерение координат и определяют частичные экстремумыпо каждой из координат, при этом все координаты, кроме выбранной закрепляются. Взяв координату,при постоянных или нулевых значени­ях остальных координат отыскивают минимум.После обращения в нульнайденное значениеXзакрепляется и изменяется координатадо обращения в нуль частной производной. Таким образом, находят частные экстремумы по всемn–координатам. После повторного цикла (или нескольких циклов) определяется точка экстремума для всех координат.