Ляпин Али Ибрагимович, доцент БРУ

Тема: Энергия электрического поля

2Ляпин Али Ибрагимович, доцент БРУ

1.Энергия уединенного заряженного проводника и системы проводников

При сообщении проводнику некоторого заряда вокруг него возникает электрическое поле. Чтобы сообщить проводнику следующую порцию заряда необходимо совершить работу против сил этого поля. Так как электростатическое поле потенциально, то совершаемая работа идет на увеличение потенциальной энергии проводника.

Рассмотрим уединенный проводник с емкостью С и потенциалом ϕ. При перенесении заряда dQ из бесконечности на поверхность проводника необходимо совершить работу dA против сил поля

dA = ϕ dQ . (1)

Обе величины в правой части формулы (1) являются переменными. Используя связь между величинами С, ϕ и Q приведем праву часть к одной переменной. Для этого выразим dQ через ϕ и подставим в формулу (1)

Q = C ϕ dQ = C dϕ dA = C ϕ dϕ . (2)

Чтобы найти работу по зарядке проводника от нулевого потенциала до некоторого потенциала ϕ проинтегрируем выражение (2)

По определению эта работа равна изменению потенциальной энергии. Поэтому энергия уединенного проводника, заряженного до потенциала ϕ определяется формулой

Wпр = 12 Cϕ2 . (4)

Используя связь между величинами С, ϕ и Q формула (4) может быть представлена в нескольких видах

Применяя принцип суперпозиции электрических полей можно получить следующую формулу для энергии системы из n неподвижных заряженных проводников

W= 1 ∑n Qi ϕi , (6) 2 i=1

где ϕi – потенциал суммарного поля в той точке, где находится проводник с зарядом Qi.

2. Энергия заряженного конденсатора

Процесс зарядки конденсатора можно представить как последовательное перемещение малых порций dQ заряда с одной пластины (обкладки) на другую. Если первоначально пластины нейтральны, то перенос, например, положительного заряда с первой пластины на вторую приведет к возникновению отрицательного заряда на первой пластине. Следовательно, в результате таких переносов первая пластина будет заряжаться отрицательно, а вторая – положительно. Между пластинами возникнет постепенно

возрастающая разность потенциалов ϕ1–ϕ2=U. Вывод формулы для энергии заряженного

конденсатора аналогичен приведенному выше выводу формулы (4). Отличие состоит в замене потенциала ϕ на разность потенциалов U

Таким образом, формула для энергии заряженного конденсатора имеет следующий

вид

3. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

При изучении поля неподвижных зарядов мы не можем рассматривать отдельно электрический заряд и созданное им электрическое поле. Поэтому, оставаясь в рамках электростатики, нельзя однозначно указать, является ли носителем электрической энергии электрический заряд либо электрическое поле. Изучение переменных электромагнитных полей показало, что они могут существовать отдельно от породивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Факт существования электромагнитных волн и переноса ими энергии позволяет утверждать, что энергия заряженных проводников сосредоточена в электрическом поле. Учитывая это, преобразуем формулу (7) для энергии заряженного конденсатора таким образом, чтобы в него входила характеристика поля – его напряженность. Для этого в (7) вместо емкости С

заменим выражением U = E d . Тогда для энергии заряженного конденсатора получим

Произведение S d в формуле (9) равно объему V, занимаемому электрическим полем. Поделив левую и правую части формулы (9) на объем V получим формулу для объемной

плотности энергии w (энергии, приходящейся на единицу объема)

w = 12 ε0 E 2 + 12 E P . (11)

Вформуле (11) первое слагаемое выражает плотность энергии электрического поля в вакууме, а второе слагаемое выражает энергию, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика.

Вобщем случае неоднородного электрического поля его энергию в некотором объеме V можно вычислить по формуле

4. Пондеромоторные силы. Применение закона сохранения энергии к расчету пондеромоторных сил.

На всякое заряженное тело, помещенное в электрическое поле, действуют механическая сила. Пондеромоторными называются силы, действующие со стороны электрического поля на макроскопические заряженные тела.

Определим силу взаимного притяжения между разноименно заряженными пластинами плоского конденсатора (пондеромоторную силу) двумя способами.

С одной стороны эту силу можно определить как силу F2 , действующую на вторую пластину со стороны первой

F2 = Q2 E1 , (14)

где Q2 – величина заряда на второй пластине, E1– напряженность поля первой пластины. Величина заряда Q2 второй пластины определяется формулой

Q2 =σ2 S , (15)

где σ2 – поверхностная плотность заряда на второй пластине, а напряженность Е1 поля, создаваемого первой пластиной вычисляется формулой

E1 = σ1 , (16)

2 ε ε

0

где σ1 – поверхностная плотность заряда на первой пластине. Подставим формулы (16) и (15) в формулу (14)

Учитывая, что σ = D = ε0 ε E , получим формулу для силы, действующей на одну пластину со стороны другой

Для силы, действующей на единицу площади пластины, формула будет иметь следующий вид

F = ε0 ε E2 . (18)

S 2

Теперь получим формулу для пондеромоторной силы, используя закон сохранения энергии. Если тело перемещается в электрическом поле, то пондеромоторными силами

поля будет совершаться работа А. По закону сохранения энергии эта работа будет совершаться за счет энергии поля, то есть

A + W = 0 или A = W . (19)

Работа по изменению расстояния между пластинами заряженного конденсатора на величину dx определяется формулой

A = F dx , (20)

где F – сила взаимодействия между обкладками (пондеромоторная сила).

Энергия заряженного конденсатора определяется формулой (9). При смещении одной из обкладок на расстояние dx энергии конденсатора изменится на величину W

Приравняв формулы (20) и (21), получим формулу для силы, действующей на единицу площади пластины

Как видим, формулы (18) и (22) одинаковые. Вместе с тем использование закона сохранения энергии для расчета пондеромоторных сил намного упрощает расчеты.

Вопросы для самопроверки:

1.Вывести формулу для энергии уединенного заряженного проводника и системы проводников.

2.Что является носителем электрической энергии? Что понимают под объемной

взаимодействия обкладок заряженного конденсатора?