Теоретическая механика
.pdf
21
противоположную сторону.
Для этой плоской системы сил также составляем три уравнения равновесия:
Σ FiX = 0, |
XА – XC – F1 cos 45o – F2 sin 60o = 0; |
(4) |
Σ FiY = 0, |
YA – YC + F1 sin 45o – F2 cos 60o – Q = 0; |
(5) |
Σ MiА = 0, MA + XC 3a – YC 6a + F1 cos 45o 2a + F2 sin 60o 3a – |
|
|
|
– F2 cos 60o 4a – Q 2a = 0. |
(6) |
Подставляя в составленные уравнения численные значения заданных величин и значения ранее определенных реакций RB, XC и YC, последовательно определяем:
Из уравнения (4)
XА = XC + F1 cos 45o + F2 sin 60o = – 200 + 450 0,71 + 500 0,87 = 554,5 Н.
Из уравнения (5)
YA = YC – F1 sin 45o + F2cos60o + Q = – 348 – 450 0,71 + 500 0,5 + 240 = –177,5 Н.
|
y Q |
4a |
|
F1 |
X |
С |
|
|
|
С |
|
|
45О |
60О |
|
|
F2 |
YС |
|
2a |
YА |
2a |
|
MА А XА 6a
Рисунок А.5
3a
x
Из уравнения (6)
MA = (–3XC + 6YC – 2F1 cos 45o – 3F2 sin 60o + 4F2 cos 60o + 2Q) a = = [–3(–200) + 6(–348) – 2 450 0,71 – 3 500 0,87 + 4 500 0,5 + + 2 240]0,5 = –997,5 Н м.
Ответ: RB = 400 H, XC = –200 Н, YC = –348 Н, XA = 554,5 Н,
YA = –177,5 Н, MA = –977,5 Н м. Знак «–» в значениях XC, YC, YA и MA ука-
зывает на то, что истинное направление названных реакций противоположно указанному на чертеже.
22
Задача С3.
Дана схема (рисунок А.6) находящейся в равновесии пространственной конструкции состоящей из двух однородных прямоугольных плит соединенных под прямым углом. Вес плит Р1 = 4 кН, Р2 = 2 кН. F1 = 6 кH, F2 = 12 кH, α = 60о, β = 75о, а = 0,5 м. Определить реакции опор конструкции.
z
F2
4a
3a
|
А |
|
x |
6a Р1 |
В |
Рисунок А.6
Решение
С
y
Применяя принцип освобождаемости от связей (рисунок А.7), рассмотрим равновесие заданной конструкции.
3a
z
|
|
4a |
F2 |
RC |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ZA |
|
|
75О |
С |
|
ZB |
|
|
|
А |
|
y |
|
|
|
|
|
||
YA |
Р1 |
XB |
|
|
XA |
6a |
|
|
Рисунок А.7
Покажем действующие на конструкцию активные силы P1, P2, F1 и F2. Условно отбросив связи их действие на конструкцию заменяем реакциями. Реакцию сферического шарнира А представим в виде трех составляющих XA, YA и ZA, а реакцию радиальной опоры В в виде двух XB и ZB. Реакция невесомого стержня С (RC) будет направлена по линии его шарниров.
Для изображенной на рисунке произвольной пространственной системы сил составляем шесть уравнений равновесия, т. е. три уравнения проекций сил наосиx, y иz итриуравнениямоментовсилотносительноэтихосей:
|
|
|
23 |
|
Σ FiX = 0, XA + XB + F1 cos 60о = 0; |
(1) |
|||
Σ FiY = 0, YA + F2 cos 75o = 0; |
(2) |
|||
Σ FiZ = 0, |
ZA + ZB + RC + F1 sin 60o + F2s in 75о – P1 – P2 = 0. |
(3) |
||
Σ MiX = 0, |
RC 6a |
+ ZB 6a + F2 sin 75о 4a – P1 3a = 0; |
(4) |
|
Σ MiY = 0, |
RC 4a |
+ F2 sin 75о 4a – P1 2a = 0; |
(5) |
|
Σ MiZ = 0, – XB 6a |
– F2 cos 75о 4a = 0. |
(6) |
||
Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин, последовательно определяем искомые реакции: из уравнения
(2) – YA, из уравнения (5) – RC, из уравнения (6) – XB, затем, подставив численные значения найденных реакций в оставшиеся уравнения, из уравнения (1) определяем XA, из уравнения (4) – ZВ, и из уравнения (3), с учетом значения ZВ, определяем ZA.
Ответ: YA = –3,12 кH; RC = – 12,48 кH; XB = 7,72 кH; XA = – 10,72 кH; ZB = 6,75 кH; ZA = – 5,05 кH. Знак «–» в значениях YA, RC, XA и ZA указы-
вает на то, что истинное направление названных реакций противоположно указанному на чертеже.
Задача К1.
Точка М движется в плоскости xy согласно уравнениям:
x = 2 cos (πt2/3) – 2; |
y = –2 sin (πt2/3) + 3 |
(x, y – в сантиметрах, t – в секундах).
Определить уравнение траектории точки и для момента времени t1 = 1 c, найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Решение
Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения точки время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций sinα и cosα, то для его исключения воспользуемся формулой sin2α + cos2α = 1.
Преобразуем заданные выражения к виду: cos(πt2/3) = (x + 2) / 2; sin(πt2/3) = (y – 3) / (–2).
Возведем в квадрат правые и левые части преобразованных выра-
жений:
сos2 (πt2/3) = (x + 2)2 / 22;
24
sin2 (πt2/3) = (y – 3)2/(–2)2.
Складываем:
сos2(πt2/3) + sin2(πt2/3) = [(x + 2)2 + (y – 3)2] / 22,
и в результате получаем
1 = [(x + 2)2 + (y – 3)2] / 22 или (x + 2)2 + (y – 3)2 = 22.
Траектория точки окружность радиусом R = 2 см и центром в точ-
ке С (–2; 3).
Определяем положение точки на траектории при t = 1 c:
x1 = 2cos(πt2/3) – 2 t=1 c = 1 см; y1 = –2sin(πt2/3) + 3 t=1 c = 1,26 см.
В рассматриваемый момент времени положение точки М на траектории определится координатами (–1; 1,26).
Скорость точки найдем по её проекциям на координатные оси:
|
Vx = x |
= (4/3) πt sin(πt2/3) t=1 c = –3,63 см/с; |
|
|||||
|
Vy = y |
= (4/3) πt cos(πt2/3) t=1 c = –2,09 см/с; |
||||||
V = |
V2 |
+V2 = |
(−3,63)2 +(−2,09)2 |
= 4,19 см/с. |
||||
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
Аналогично найдем ускорение точки: |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
/3)] t=1 c |
2 |
ax = x = Vx |
= – (4π/3)[sin(πt |
/3) + (2πt |
/3) cos(πt |
= –8,03 см/с . |
||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
ay = y = Vу |
= – (4π/3)[cos(πt /3) – (2πt /3) sin(πt /3)] t=1 c |
= 5,49 см/с . |
||||||
a = |
a2x +a2y = (−8,03)2 +(−5,49)2 = 9,72 см/с. |
|||||||
Касательное ускорение точки в рассматриваемый момент времени определяем по известной формуле
aτ = (axVx + ayVy)/V = [(–8,03)(–3,63)+ 5,49(–2,09)]/4,19 = 4,21 см/с2.
Знак «+»G в значении aτ означает, что движение точки ускоренное и вектора aGτ и V совпадают по направлению.
Нормальное ускорение точки при t = 1 c:
an = 
a2 −aτ2 = 
9,722 −4,212 = 8,76 см/с2.
На схеме (рисунок А.8) изображена траектория точки, её положение на траектории в заданный момент времени, вектора скорости и ускорения, а также все их составляющие.
|
|
25 |
|
|
|
|
аn |
|
y |
|
|
а |
|
|
аy |
4 |
|
|
|
С |
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1,26 |
|
|
аx |
|
|
М |
|
|
а |
|
1 |
|
||
-5 |
-3 |
-2 -1 |
Vy |
0 1 |
x |
V |
|
|
|
|
|
|
Рисунок А.8 |
|
|
|
|
Радиус кривизны траектории
ρ = V2/an = 4,192/8,76 = 2,00 см.
Задача К2.
Дана (рисунок А.9) схема механизма. В механизме кривошип О1А вращается с постоянной угловой скоростью ωО1А = 2 рад/с. Исходные данные для построения механизма в заданном положении приведены в таблице А.1.
Таблица А.1 – Исходные данные для построения механизма
φ |
Расстояние, см |
|
|
|
Длина звеньев, см |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
О1А |
О2D |
AB |
|
BC |
|
CD |
CF |
EF |
|
|
|
|
||||||||
120о |
45 |
17 |
45 |
80 |
|
40 |
|
28 |
51 |
37 |
|
E |
F |
|
O2 |
|
|
D |
|
|
|
a |
A |
C |
B |
|
||
|
|
|
|
O1 |
|
|
Рисунок А.9 |
|
26
Определить для заданного положения механизма:
–скорости точек А, В, С, D, E, F и угловые скорости всех звеньев механизма с помощью мгновенных центров скоростей;
–ускорение точек А и В и угловое ускорение звена АВ.
Решение 1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев меха-
низма с помощью мгновенных центров скоростей.
Определяем положение мгновенных центров скоростей звеньев механизма, для чего строим (рисунок А.10) схему механизма в выбранном масштабе.
|
|
|
|
|
|
|
EF |
PEF |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VF |
|
|
|
O2 |
|
PCE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
VE |
F |
|
|
|
|
|
O D |
|
|
D |
|
||
|
|
|
2 |
|
CE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
VA |
A |
|
|
|
C |
VD |
B |
|
|
|
|
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
O1A |
VC |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
VB |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
APAB |
153 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
СPAB |
129 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
BPAB |
116 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
CPCE |
34 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
DPCE |
22 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
EPCE |
34 см |
|
10 |
0 |
10 |
20 |
см |
|
|
EPEF |
40 см |
|
|
|
FPEF |
27 см |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
PAB
Рисунок А.10
27
В данном механизме кривошипы О1А и О2D вращаются соответственно вокруг неподвижных центров О1 и О2, ползуны В и F движутся поступательно в прямолинейных направляющих, а шатуны АВ, СЕ и EF совершают плоско-параллельное движение.
Мгновенный центр скоростей РАВ звена АВ находится как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям. Аналогично определяется положение мгновенных центров скоростей РCD и PEF.
Скорости точек звеньев механизма пропорциональны расстояниям от рассматриваемых точек до мгновенных центров скоростей соответствующих звеньев.
Необходимые для вычисления скоростей расстояния измерим на чертеже с учетом выбранного масштаба. Значения этих расстояний приведены в таблице рядом со схемой механизма (см. рисунок А.10).
Кривошип О1А вращается с угловой скоростью ωО1А вокруг точки О1, тогда скорость точки А будет равна:
VA = ωО1А O1A = 2 17 = 34 см/с.
Угловая скорость шатуна АВ:
ωAB = |
VA |
= |
34 |
|
=0,22 рад/с. |
APAB |
|
||||
|
153 |
|
|||
Определяем скорости точек В и С (как принадлежащих звену АВ): VB = ωAB BPAB = 0,22 116 = 25,52 см/с;
VC = ωAB CPAB = 0,22 129 = 28,38 см/с.
Точка С принадлежит также шатуну СЕ, поэтому можем определить
угловую скорость шатуна: |
VC |
|
28,38 |
|
|
ωCE = |
= |
=0,84 рад/с. |
|||
CPCE |
34 |
||||
|
|
|
Определяем скорости точек D и E:
VD = ωCE DPCE = 0,84 22 = 18,48 см/с;
VE = ωCE EPCE = 0,84 34 = 28,56 см/с.
Угловая скорость кривошипа DO2: |
|
|||||||
ωDO2 |
= |
VD |
=18,48 |
=0,41 рад/с. |
||||
DO2 |
||||||||
|
|
|
|
45 |
|
|||
Угловая скорость шатуна EF: |
|
|
||||||
ωEF |
= |
VE |
|
= |
28,56 |
=0,71 рад/с. |
||
EPEF |
40 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость точки F: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
VF = ωEF FPEF = 0,71 27 =19,17 см/с. |
|
|
|||||||||||
|
Полученные результаты сведем в таблицу (таблица А.2). |
|
|
|||||||||||||
|
Таблица А.2 – Сводная таблица результатов расчета скоростей |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Скорость точки, см/с |
|
|
|
|
|
Угловая скорость звена, рад/с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VА |
|
VС |
VВ |
|
VD |
|
VЕ |
|
VF |
|
ωАВ |
|
ωСЕ |
|
ωDO2 |
ωЕF |
34 |
|
28,38 |
25,52 |
|
18,4 |
|
28,56 |
|
19,17 |
0,22 |
|
0,84 |
|
0,41 |
0,71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Определение ускорений точек А и В и углового ускорения звена АВ.
Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью, то ускорение точки А будет состоять только из нормальной составляющей и будет направлено от названной точки к центру О1. Величина ускорения:
aA = anA = ωO2 1A O1A = 22 17 = 68 см/с2.
Зная ускорение точки А и приняв ее за полюс с помощью теоремы об ускорениях точек плоской фигуры определяем ускорение точки В:
aGB = aA + anBA + aBAτ .
Векторы, входящие в данное выражение, изображаем на схеме (рисунок А.11). Так, ускорение точки В ( aB ) будет направлено вдоль на-
правляющей, определенное выше ускорение точки А (aA ) – параллельно
кривошипу О1А, касательное ускорение точки В, в ее относительном движении вокруг точки А (aBAτ ) – перпендикулярно АВ, нормальное ускоре-
ние точки В, в ее относительном движении вокруг точки А (aGnBA ) от точки В к точке А.
|
|
y |
A |
АВ |
аВА |
|
||
|
|
|
|
аВАn |
B |
O1A O1 |
aA |
aВ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
aA |
Рисунок А.11
29
При этом
anBA =ω2AB AB =0,222 80 =3,87 см/с2.
В векторном равенстве, служащим для определения ускорения точки В, направления всех векторов известны, однако величину вектора aB и
вектора aBAτ мы не знаем. Поэтому модуль ускорения точки В (aB ) опреде-
лим, спроектировав векторное выражение на ось x, т. е. на ось перпендикулярную ко второму неизвестному вектору aBAτ .
аBcosα =aAcosβ−anBA .
Измерив на схеме величины входящих в выражение углов (α = 10о; β = 50о), из уравнения проекций ускорений на ось x определяем ускорение точки В:
a B = |
a A cosβ |
−a BAn |
= 68 cos50o |
−3,87 =44 см/с2. |
|
cosα |
|||||
|
|
cos10o |
|
Для определенияG углового ускорения шатуна АВ сначала определяем ускорение aBAτ . С этой целью спроецируем исходное векторное равенство
для определения ускорения точки на ось y:
0= −aA cosγ+ anBAsinα+ aBAτ cosα,
с учетом того, что γ = 30о, находим: aBAτ = 59 см/с2. Тогда, угловое ускорение звена АВ:
εAB = aABBAτ =0,74 рад/с2.
Таким образом, мы определили: aA = 68 см/с2; aB = 44 см/с2;
εAB =0,74 рад/с2.
Задача К3.
Пластина (рисунок А.12) в форме полудиска радиуса R = 60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 5t – 3t2 рад. По окружности пластины указанного радиуса движется точка М по закону АМ = s = 20π sin(πt) см.
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1/6 c.
Решение
Определяем положение точки на пластине в заданный момент вре-
мени.
АМ = s = 20 sin(π/t) t=1/6 с = 10π см.
30
O |
D |
O1 |
|
R |
|||
|
M 
s A
Рисунок 12
Центральный угол на который опирается дуга рассчитанной длинны
α = s/R = 10π/60 = π/6 =30o.
Абсолютную скорость точки М находим как геометрическую сумму относительной и переносной скорости точки:
V = Vr +Ve.
Модуль относительной скорости
Vr = s = 20π2 cos(πt) t=1/6 с = 171 см/с.
Модуль переносной скорости
Ve = ωeh,
где h – радиус окружности той точки вращающейся пластины, с которой в данный момент совпадает движущаяся по ней точка М:
h = МК = Rcosα = 60 cos30о = 52 см;
ωe – модуль угловой скорости пластины:
ωe = ϕ = 5 – 6t t=1/6 с = 4 рад/с.
Таким образом,
Ve = 4 52 = 208 см/с.
Направление определенных скоростей показано на рисунке А.13. Так
как Vr и Ve взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки М
V = 
Vr2 +Ve2 = 
1712 +2082 = 296 см/с.