Интегральное исчисление
.pdfБЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”
ЮДЕНКОВ Ю.Т.
Электронная версия курса математика технического вуза
Часть 3 .
Интегральное исчисление(неопределенный, определенный, криволинейные, кратные).
Пособие разработано на основе лекций, читаемых на протяжении ряда лет студентам специальности АЭП (электропривод)
по дисциплине “ Высшая математика.”
2006 г.
Введение
В основу курса положены лекции и практические занятия, на протяжении многих лет реализованные в учебном процессе для специальности “Электропривод и автоматизация промышленных предприятий”. Расположение материала обусловлено не требованиями математической строгости изложения, но чисто утилитарно, с таким расчетом, чтобы аппарат предыдущих разделов мог служить инструментом для изучения последующих. Именно на таком принципе даны многие формулировки основных понятий и развития приложений, основанных на этих понятиях. Для начинающего напомним, что термин “определение” подразумевает “договор” между читателем и остальными пользователями математики по некоторому вопросу для исключения возможных неверных толкований. Это значит, что для понимания вопросов, следующих за определением, определение должно быть “вызубрено”, но не вспоминаться с напряжением.
`Текст курса написан не языком “чистого математика” (т.е. определение --> теорема и ее доказательство --> следствия --> обобщение --> новое определение и начинаем сначала ...), а языком для математикаприкладника (определения --> вытекающие из него естественным путем выводы (иногда теоремы с доказательствами) --> отработка навыков использования новых понятий и возможностей --> возможные приложения новых сведений --> переход на введение новых понятий). В текстах сравнительно мало примеров, т.к. это – фактический конспект лекций. Для более полного понимания изучаемого материала предполагается, что читатель будет иметь удовольствие полистать литературу по изучаемому вопросу. Список учебной литературы не приводится из-за его объемности, а также по той причине, что каждый лектор придерживается своего перечня книг. Все приведенные тексты – компиляция книг разных авторов, разного времени издания и разного назначения. Данный курс построен по принципу “понятно лектору – будет понятно и слушателю” и потому представляет собой лоскутное одеяло из разных разделов математики, изложенных в разном стиле. При этом везде преследовалась цель изложения математических принципов в прикладной направленности. Это обнаруживается в большом числе комментариев к теоремам, доказательствам и следствиям.
1.Неопределенный интеграл
1.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
Опред. F(x) называют первообразной f(x) (для f(x)) на [a;b] , если для любого х из этого отрезка F(x) дифференцируема и F’(x)=f(x). (По Садовничеву, Сендову стр 314).
Так F(x)=2x будет первообразной f(x)=x2 для всех действительных чисел.
Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные f(x) на [a;b] , то любого х из этого отрезка имеет место равенство F1(x) - F2(x) =С .
Док. Положим Ф(х)= F1(x) - F2(x). Тогда Ф(х) дифференцируема и Ф’(х)=0. Т.е. Ф(х)=С. Откуда и следует вывод.
Следствие. Если F(x) одна из первообразных для f(x) то любая Ф(х)=F(x)+C – тоже первообразная.
Так Ф(x)=2x +С будет первообразной f(x)=x2 для всех действительных чисел. Опред. Множество первообразных для данной f(x) на [a;b] называют
неопределенным интегралом и обозначают ∫f (x)dx .
Из определения следует справедливость тождества ∫ f (x)dx =F(x)+C.
Термины и обозначения: f(x) - подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; х ( записанный в символе dx) - аргумент
(переменная) интегрирования; ∫ - символ интегрирования.
Все рассмотренное – процесс, обратный поиску производной. Следствия.
1.Производная от НИ равна подынтегральной функции (∫ f (x)dx)' ’=f(x).
2.Дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению d (∫ f (x)dx)'
=f(x)dx.
3.Неопределенный интеграл от производной равен подынтегральной функции с точностью до постоянного слагаемого С. ∫ F’(x)dx= F(x)+C.
4.Неопределенный интеграл от дифференциала равен выражению под знаком дифференциала точностью до постоянного слагаемого С. ∫ dF(x)=
F(x)+C.
Все это разные вариации определения. Свойства.
1.Константу - множитель можно выносить из-под знача НИ.
∫кf (x)dx =кF(x)+C.
Док. Пусть F(x) – первообразная для f(x). Т.е. F’(x)=f(x). Тогда кF(x) –
первообразная для кf(x), т.к. (кF(x))’= кF’(x)= кf(x). Т.е. к∫f (x)dx =к(F(x)+C)=
кF(x)+C= ∫кf (x)dx . (Или просто продифференцировать обе части равенства). 2.НИ от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых.
∫( f (x) +ф(х))dx =
∫f (x)dx + ∫ф(x)dx .
Док. Пусть F(x) и Ф(х) – первообразные, соответственно, для f(x) и ф(х). Тогда F’(x)=f(x) и Ф’(х)=ф(х) и потому F(x) ± Ф(х) – первообразная для
f(x) ± ф(х). Откуда ∫ f (x)dx ± ∫ф(x)dx = F(x) +С1 ± Ф(х)+С2 F(x) ± Ф(х) +С= ∫( f (x) ± ф(х))dx .
3.Независимость от аргумента. ∫f (x)dx = ∫f (u)du = ∫f (Cosx)dCosx = F(x)= F(u)= F(Cosx) .
Так ∫ |
|
|
Cosx d(Cosx)= |
Cos2 x |
+C , ∫ (lnx+1) d(lnx+1)= |
(ln x +1)2 |
|
+C |
как |
и для |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
хdx = |
x2 |
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица основных неопределенных интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫хаdx = |
x |
+C при а≠ 1; ∫ex dx =ех+С; |
∫ |
1 |
dx = ∫ |
dx |
= ∫x−1 dx =ln |
|
x |
|
+C; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
a +1 |
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ax dx = |
a |
|
+С; |
∫Cosxdx =Sinx+C; |
|
|
∫Sinxdx =-Cosx+C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
=tgx+C; |
|
|
∫ |
dx |
|
=-ctgx+C; |
∫ |
|
|
dx |
|
|
= |
1 |
arctg |
x |
+C; |
|||||||||||||||
2 |
x |
|
|
2 |
x |
|
x |
2 |
|
2 |
|
a |
||||||||||||||||||||||||
|
Cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin |
|
|
|
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
=arcSin |
x |
+C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a2 −x2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комментарий. В отличие от производных, где каждой ситуации предписано правило ее обработки, при поиске интегралов вся теория заканчивается на этой таблице. Фактически для поиска интеграла остаются только определение и следствия из него, свойства и таблица. А это значит, что все остальное следует преобразовывать эвристическими приемами (или по уже готовым рекомендациям, но не правилам!) к таблице и определению. В качестве контроля ответа может служить только обратный процесс – от результата возьми производную. И, если результат равен подынтегральной функции, то имеется некоторая степень уверенности в правильности выполнения интегрирования.
1.2.Методы интегрирования.
Пусть х=ф(t) –монотонная и непрерывная на некотором промежутке функция. Если на соответствующем промежутке изменения переменной х
функция f(x) интегрируема, то справедливо равенство ∫f (x)dx = ∫ f (ф(t))ф'(t)dt .
Записанное равенство называют формулой замены в неопределенном интеграле. Применяют ее тогда, когда правая часть оказывается ближе к табличному интегралу (см. Комментарий выше).
Док. В самом деле, т.к. F(x) - первообразная для f(x), то F(ф(t)) – будет первообразной для f(ф(t))ф’(t). И потому F’(ф(t))= F’ф(ф(t))ф’t(t)= f(ф(t))ф’(t).
Откуда следует f(ф(t))ф’(t)dt= F(ф(t))+C= F(x)+C= ∫f (x)dx .
Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х на некоторое выражение, а выражение, связывающее х, заменяют одной переменной. А далее – как обычно.
Пример 7.1. Найти ∫ |
Cos ln x |
dx = |
делаем замену lnx=t, |
dx |
= dt |
= |
|
x |
|||||
|
x |
|
|
|
= ∫ Costdt=-Sint +C= -Sinlnx +C.
Иногда замену переменных используют в еще одном виде – подведении под знак дифференциала, используя простое соотношение
dx= 1а d(ax+b) для любых а≠ 0 и в. По знак дифференциала подводят такую
группу, чтобы интеграл сменил аргумент интегрирования (см. следствия из определения) и при этом принял табличный вид .
Пример 7.2. ∫ |
Cos ln x |
dx = ∫ Cos (lnx) d(lnx) =-Sinlnx +C – результат |
|
||
|
x |
совпадает с примером 7.1.
Пусть каждая из u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и существует первообразная для произведения u’(x)v(x). Тогда на этом промежутке существует первообразная для u(x)v’(x) и справедливо равенство
∫ udv = uv - ∫ vdu , называемое формулой интегрирования по частям.
Док. Имеем равенство (uv)’=u’v+v’u. Проинтегрируем его и получим uv = ∫ vdu+ ∫ udv . Откуда легко получить требуемое.
Комментарии.
1. Рекомендации по применению этой формулы.
Т.к. теорема доказана в общем случае, то применять ее можно всегда. . Однако наибольшего эффекта можно добиться, если применять ее , когда под интегралом записано произведение функций Pn(x)eax ; Pn(x)Sinkx (или другая тригонометрическая функция); eaxCoskx (или другая триг. функция ); Pn(x)lnbx и т.д.
2.Возможно одного шага применения формулы недостаточно. Тогда ее приме-
няют кратно.
3.Возможно применение формулы приведет к сохранению подынтегрального
выражения. Не следует тревожиться по такому случаю, т.к. это даже хорошо.
4.Выбор частей u и v основан на опыте. Только решение конкретных примеров обеспечит навыком выбора частей.
Пример 7.3. Простой интеграл ∫ xdx при выборе частей u=x, dv=dx откуда du=dx и v=x приводит нас по формуле интегрирования по частям а равенству ∫ xdx =х2 + ∫ xdx. Откуда следует равенство 2 ∫ xdx = х2 . Откуда
∫ xdx = х2 /2+C.
1.3.Некоторые классы интегрируемых функций.
Т.к. в практических приложениях предстоит интегрировать выражения разной сложности, то следует научиться отличать, то что приводит к конкретному ответу от того, что ни при каких услиях не приведет к результату. Умению отличать одно от другого и приемам интегрирования посвящен данный раздел.
Рассмотрим некоторые классы функций, для которых опытным путем разработаны приемы отыскания неопределенных интегралов. Фактически приемы эти приводят к таблице основных интегралов. Отметим также, что в интегральном исчислении принята такая схема работы – если новый , ранее неизвестный интеграл преобразован к уже известному классу, задача считается решенной.
1.3.1.Рациональные дроби.
Определение. Рациональной дробью называют выражение QPn ((xx)) . Где
m
Pn(x) и Qm(x) – полиномы от переменной х. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение. Простейшими |
дробями |
1-4-го типов |
называют |
||||||
|
А |
А |
|
Cx + D |
|
|
Cx + D |
||
выражения , соответственно, вида : |
|
; |
|
; |
|
; |
|
, |
|
х− а |
(х− а)л |
х2 + px + q |
(х2 + px + q)k |
где квадратные трехчлены в знаменателях не имеют действительных корней. Интегралы от простейших дробей находят по таким схемам.
I-й тип. Вынесем за знак интеграла константу А и подведем под знак
дифференциала знаменатель. Получим |
А |
|
dx=А∫ |
d(x − a) |
=Aln(x-a)+C. |
|
х− |
а |
х− а |
||||
|
|
|
II-й тип обработаем аналогично I-му. Но используем интеграл от степени. III-й тип. Обрабатываем в несколько приемов.
1-й. Сначала найдем производную от знаменателя 2x+p.
2-й шаг. Если в числителе С не нуль, то преобразуем числитель к виду суммы производной от знаменателя и константы Cx+D= C2 (2x+p)+D- Cp2 .
3-й шаг. Разобьем исходный интеграл на сумму двух интегралов, числитель первого – производная 2х+р; числитель второго – константа
∫ |
|
Cx + D |
dx== |
C |
∫ |
|
|
2x + p |
dx+ (D- |
Cp |
) ∫ |
|
|
dx |
. |
х |
2 |
|
х |
2 |
+ px + q |
|
х |
2 |
+ px + q |
||||||
|
+ px + q |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
4-й шаг. После подведения числителя 1-го слагаемого под знак интеграла первое слагаемое дает табличный интеграл от логарифма знаменателя. Во втором слагаемом в знаменателе выдели полный квадрат в трехчлене и тогда
второе слагаемое даст arctg(…). Получаем |
∫ |
|
Cx + D |
dx = |
C |
ln(x2+px+q)+ |
||||||||||||||||||
х |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ px + q |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
d (x + |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
p |
|
|
|
||||
|
Cp |
|
|
) |
|
|
C |
|
Cp |
|
1 |
arctg |
|
|
|
|||||||||
(D- |
) ∫ |
2 |
|
= |
ln(x2+px+q)+ (D- |
) |
|
2 |
+K. |
|||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
2 |
m |
|
m |
|
|||||||||||
2 |
|
(х+ |
) |
2 |
+ m |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комментарий. Рекомендуется не запоминать окончательный ответ (хотя и не возбраняется), а пройти на паре примеров весь алгоритм. Этого будет достаточно для усвоения процесса. Этот процесс встречается очень часто в других разделах математики и других дисциплин (ТОЭ, механика, сопромат).
IV-й тип обрабатывается по схеме типа III . Только в конце всегда получается типовой интеграл, который обрабатывают по рекуррентной формуле
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
t |
|
|
2k −3 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
(7.1) |
|||||||
|
|
|
(t2 + m2 )k |
m2 (2k − 2)(t 2 + m2 )k −1 |
m2 (2k − 2) |
|
(t2 + m2 )k −1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Эту формулу можно получить такими приемами: ∫ |
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
(t |
2 |
|
2 |
) |
k |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ m |
|
|
|
||||
1 |
∫ |
|
m2dt |
1 |
∫ |
((m2 +t2 ) −t2 )dt |
1 |
( ∫ |
|
|
dt |
∫ |
|
|
|
t2dt |
|||||||||||||
= |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
- |
|
|
|
). |
|||||||||||||||
m2 |
(t2 + m2 )k |
m2 |
(t2 + m2 )k |
|
m2 |
(t2 + m2 )k −1 |
|
(t2 + m2 )k |
Первый интеграл сохранить, т.к. в нем степень знаменателя понижена. Во втором интеграле применить формулу интегрирования по частям, выбрав u=t остальное dv. И тогда степень знаменателя понизится. Затем привести подобные по интегралам с одинаковыми знаменателями степени k-1.
Пример 7.4. Найдите интеграл ∫ |
x −1 |
dx. Решение. |
(x2 + 2x +3)2 |
Подынтегральное выражение – простейшая дробь 4-го типа, т.к. трехчлен не имеет действительных корней. Производная от трехчлена равна 2х+2. Преобразованный числитель имеет вид 0,5(2х+2) –2, а подынтегральная
дробь приводит на с интегралам 0,5 ∫ |
|
|
2x + 2 |
|
dx-2 ∫ |
|
|
1 |
|
dx. |
(x |
2 |
+ 2x +3) |
2 |
(x |
2 |
+ 2x +3) |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Далее первый интеграл дает после подведения под знак дифференциала 2х+2
0,5 ∫ |
d(x2 + 2x +3) |
и по формуле для степенной функции получаем |
|
|
−0,5 |
. |
2 2 |
x |
2 |
+ 2x +3 |
|||
|
(x + 2x +3) |
|
|
Во втором интеграле в знаменателе выделим полный квадрат и преобразуем аргумент интегрирования – подведем под знак дифференциала константу 1.
Получим ∫ |
|
|
|
|
|
d (x +1) |
|
. Далее работаем по рекуррентной формуле (7.1) при |
|||||||||||||||||||
|
((x +1) |
2 |
+ 2) |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
к=2 и t=x+1 и m= |
|
2 . Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
d (x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
х+1 |
|
4 −3 |
|
|
d(х+1) |
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
|
= |
|
||||||||||||
|
((x +1)2 + 2)2 |
|
2(4 − 2)((х+1)2 + 2)1 |
2(4 − 2) |
(х+1)2 + 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
х+1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
х+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
+ |
|
|
|
2 arctg |
2 . Если учесть первый интеграл и коэффициент – |
|||||||||||||||||||
4((х+1)2 + 2) |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
2 перед вторым интегралом, то получаем ∫ |
|
|
x −1 |
|
dx= |
|
|||||||||||||||||||||
|
(x2 + 2x +3)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
−0,5 |
- |
|
|
|
|
|
х+1 |
|
- |
2 arctg |
х+1 +С =- |
|
|
х+ 2 |
|
- 2 |
arctg х+1 +С. |
||||||||
x2 + 2x +3 |
2(х2 |
+ 2х+3) |
2(х2 + 2х+3) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
2 |
|
4 |
2 |
Теперь строим алгоритм интегрирования рациональной дроби.
1-й шаг. Проверяем, будет ли QPn ((xx)) правильной (будет ли m>n)? Если будет,
m
то переходим к шагу 3. Иначе выполняем шаг 2.
2-й шаг. Делим числитель на знаменатель ‘уголком’. Представляем неправильную дробь в виде суммы целой части и правильной дроби QR(x()x) .
m
От целой части берем интеграл как о суммы степеней. Для отыскания интеграла от правильной дроби выполняем шаг 3.
3-й шаг. Находим корни полинома Qm(x) и разлагаем его на множители
Qm(x)=(x-a)k1(x-b)k2…(x-c)k3(x2+p1x+q1)k4+(x2+p2x+q2)k5+…+(x2+p3x+q3)k6 .
При этом k1+k2 +… +k3 +2k4 +2k5 +…2k6 =m , а числа этом k1, k2 ,… , k3, k4 , k5 , …,k6 - кратности корней.
4-й шаг. Записываем правильную дробь |
|
R(x) |
в виде суммы правильных |
|||||||||||||||||||||
Qm (x) |
|
|||||||||||||||||||||||
простейших дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R(x) |
|
А1 |
|
|
|
|
А2 |
|
|
А3 |
|
|
А4 |
|
|
А5 |
|
|
А6 |
||||
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
+… |
|
+… |
|
+ |
|
+… |
|
+… |
||||||
|
Qm (x) |
(x − а) |
|
|
(x − а)2 |
|
(x − а)л1 |
(x −b) |
(x −b)2 |
(x −b)k 2 |
||||||||||||||
|
B1 x +C1 |
+ |
|
|
B2 x +C2 |
+…+ |
|
B3 x +C3 |
+…. |
Количество дробей |
||||||||||||||
|
x2 + p x + q |
|
|
|
(x2 + p x + q )2 |
(x2 + p x + q )k 4 |
||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
должно быть равно количеству множителей в разложении с учетом кратности.
5-й шаг. Приводим сумму дробей справа к общему знаменателю. Т.к. между дробями стоит знак равенства и знаменатели равны, то приравниваем числители. Поучаем равенство двух полиномов одинаковой степени. Такие полиномы равны, если : равны коэффициенты при одинаковых степенях х; подставить в обе части равенства одинаковые значения аргумента.
6-й шаг. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в полиномах справа и слева и(или) подставляем в обе части некоторые значения аргументов (если корни действительные и простые, и если корни комплексные и простые). Получаем линейную систему с неизвестными коэффициентами. Решаем систему и получаем конкретные простейшие дроби.
7-й шаг. Интегрируем сумму простейших дробей и вместе с результатом шага 2 получаем ответ.
Пример 7.5. (Кручкович, стр. 258) Найдите интеграл
∫ |
5х3 |
+9х2 − 22х−8 |
dx. Решение. Дробь неправильная. Разделим числитель |
|
x3 − 4х |
на знаменатель 5х3+9х2-22х-8 х3-4х
-5х3 -20х 5
|
|
9х2-2х-8 |
В результате интеграл принимает вид |
|||
∫ |
5х3 |
+9х2 − 22х−8 |
dx= ∫ |
5 dx+ ∫ |
9х2 − 2х−8 |
dx. Разложим знаменатель |
|
x3 − 4х |
x3 − 4х |
на множители, а затем подынтегральную правильную дробь на простейшие.
|
9х2 − 2х−8 |
|
А |
|
В |
|
Д |
|
Получаем |
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
. |
x3 − 4х |
x |
x − 2 |
x + 2 |
Комментарий. При записи последнего равенства опущены рекомендуемые действия: сначала подсчитали число множителей, на которые разложен знаменатель : их 3; затем записали символическую сумму дробей
++ ; затем записали знаменатели дробей и получили
х+ х− 2 + х+ 2 ; теперь, когда известен вид знаменателей, записываем
числители по виду простейших дробей Аx + x В− 2 + x Д+ 2 .
Продолжаем работу. Приведем справа к общему знаменателю и
приравняем числители обеих дробей |
9х2 − 2х−8 |
= |
|||
x3 − 4х |
|||||
= |
А(х− 2)(х+ 2) + Вх(х+ 2) |
+ Дх(х− 2) |
откуда 9х2-2х-8= |
||
х(x − 2)(х+ 2) |
|
||||
|
|
|
|
|
=А(х-2)(х+2)+Вх(х+2)+Дх(х-2).
В последнем равенстве можно справа раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые по степеням х; затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Можно в обе части подставить некоторые значения аргумента х. Выполним для контроля оба эти действия. При этом скобок раскрывать не будем, а сделаем это устно. Приравняем коэффициенты при х2
. Слева коэффициент при этой степени 9. А справа эта степень будет записана с коэффициентом (А+В+Д) , что можно увидеть сразу. Теперь коэффициенты при х : слева –2, а справа 2В-2Д. Теперь при хо (свободные
при |
х2 |
: |
9 = A + B + Д, |
||
члены): слева –8, а справа -4А. Получаем систему при |
|
|
|
|
|
1 |
: |
|
|
− 2 Д, |
|
х0 |
− 2 = 2B |
||||
при |
х |
: |
−8 = −4A |
M. |
Если же мы подставим в обе части равенства полиномов последовательно
при |
х = 0 : |
−8 = −4A, |
|
значения х=0 ; х=2; х=-2 , то получим систему при |
|
|
|
х = 2 : |
|
24 = 8B, |
|
|
|||
при |
х = −2 : |
32 = 8 Д. |
В обоих случаях получаем А=2; В=3; Д=4. |
|
|
|||||||||||||
|
|
Комментарий. Но вторая система проще, если корни действительные |
|||||||||||||
разные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
получаем |
||||||
∫ |
5х3 |
+9х2 − 22х−8 |
dx= ∫ |
5 dx+ ∫ |
9х2 − 2х−8 |
dx= |
|
||||||||
|
|
|
x3 − 4х |
|
|
|
x3 − 4х |
|
|||||||
5х+ ∫ |
|
2 |
dx+ ∫ |
3 |
|
|
dx+ ∫ |
4 |
|
dx=5x+2lnx+3ln(x-2)+4ln(x+2)+C. |
Можно |
||||
|
|
x − |
2 |
|
x + |
2 |
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
упрощать.
1.3.2.Рациональные тригонометрические функции.
Рациональным тригонометрическим выражением называют выражение типа R(Sinx, Cosx). Рассмотрим простейшие приемы интегрирования таких
выражений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наиболее |
распространена |
|
универсальная |
тригонометрическая |
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tg |
x |
|
|
|
|
2t |
|
|
1−tg 2 |
x |
|
|
1−t 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
подстановка tg |
|
=t. Поэтому Sinx= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; Cosx= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. После |
||||||||
2 |
|
+tg |
2 x |
|
1+t |
2 |
1+tg |
2 x |
|
1+t |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
этого R(Sinx, Cosx)= R( |
|
|
2t |
, |
1−t |
2 |
) = |
Pn (x) |
|
. Т.к. из подстановки следует, что |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
+t |
1+t |
|
|
|
|
Qm (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и dx=12+dtt 2 , то мы привели интеграл от тригонометрического выражения к
интегралу от рац. дроби. Дальнейшие действия см.выше.
Если под интегралом записаны произведения вида SinaxCosbx ; SinaxSinbx; CosaxCosbx , тогда произведение разворачиваем в сумму и получаем табличные интегралы.
Если под интегралом записаны выражения вида SinkxCoslx , то поступают так:
если k и l четные числа, то используют формулы понижения степени
Sin2x=0,5(1+Cos2x); Cos2x=0,5(1-Cos2x). Затем обрабатывают полученное;
если k четное, а l нечетное (или наоборот), то “отсчепляют” от нечетной степени основание и подводят его под знак дифференциала, а все четные степени выражают через функцию, записанную под знаком дифференциала;
если k+l – четное отрицательное целое, то применяют подстановку tgx=t и получают табличные интегралы.
|
|
|
Пример |
|
7.6. Найдите |
интеграл |
∫ |
|
|
|
1 |
|
dx. Здесь − |
7 |
- |
1 |
=-4 |
и |
|||||||||||||
|
|
|
Cos7 xSinx |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
потому |
|
|
|
|
|
|
|
tgx=t |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
получаем |
|||||||||
∫ |
1 |
|
dx= ∫ |
|
|
1 |
|
|
dx= ∫ |
|
|
1 |
tgx |
dx= |
∫ |
dtgx |
tgx |
= ∫ |
(t 2 +1)dt |
= |
|||||||||||
|
Cos7 xSinx |
|
|
|
|
|
|
Cos8 xtgx |
|
|
|
Cos4 x |
|
|
Cos2 x |
|
|
|
|
t |
|
||||||||||
= ∫ |
3 |
dt+ ∫ t |
− |
1 |
|
2 |
5 |
1 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
dt= |
t |
|
+2t |
|
+C== |
tg |
|
x +2 tg |
|
x +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.3.Простейшие иррациональные выражения.
Рациональным тригонометрическим выражением называют выражение типа R(Sinx, Cosx). Рассмотрим простейшие приемы интегрирования таких
выражений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наиболее |
распространена |
|
универсальная |
тригонометрическая |
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tg |
x |
|
|
|
|
|
2t |
|
|
1−tg 2 |
x |
|
|
1−t 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
подстановка tg |
|
=t. Поэтому Sinx= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; Cosx= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. После |
||||||||
2 |
|
+tg |
2 x |
|
1+t |
2 |
1+tg |
2 x |
|
1+t |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
этого R(Sinx, Cosx)= R( |
|
|
2t |
, |
1−t |
2 |
) = |
Pn (x) |
|
. Т.к. из подстановки следует, что |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
Qm (x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
+t |
1+t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и dx=12+dtt 2 , то мы привели интеграл от тригонометрического выражения к
интегралу от рац. дроби. Дальнейшие действия см.выше.
Если под интегралом записаны произведения вида SinaxCosbx ; SinaxSinbx; CosaxCosbx , тогда произведение разворачиваем в сумму и получаем табличные интегралы.
Если под интегралом записаны выражения вида SinkxCoslx , то поступают так: