Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высш.мат.ДУ.Метод.указ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

408.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Уравнение (2.6) называется характеристическим уравнением (с не-

известной величиной k ), соответствующим данному ДУ (2.5).

Уравнение (2.6) по основной теореме алгебры имеет n корней: k1, k2 ,...,kn . Каждому из этих корней соответствует решение ДУ (2.5).

Возможны следующие случаи:

1)k1, k2 ,...,kn – действительные и различные числа;

2)k1, k2 ,...,kn – действительные числа, но среди них встречаются

m-кратные корни;

3)среди корней k1, k2 ,...,kn встречаются простые комплексно-

сопряженные корни α ± βi ;

4) среди корней k1, k2 ,...,kn встречаются m –кратные комплексносопряженные корни α ± βi .

Частные решения y1, y2 ,..., yn данного ДУ (2.5) находятся следующим

образом:

а) каждому простому действительному корню k соответствует решение ekx ;

б) каждому m -кратному действительному корню k соответствуют m

решений: ekx , xekx , x2ekx ,…, xm−1ekx ;

в) каждой паре простых комплексно-сопряжённых корней α ± βi соответствуют два действительных решения: eαx cos βx и eαx sin βx ;

г) каждой паре m -кратных комплексно-сопряженных корней α ± βi соответствуют 2m действительных решений:

eαx cos βx , xeαx cos βx ,…, xm−1eαx cos βx , eαx sin βx , xeαx sin βx ,…, xm−1eαx sin βx .

Всякая система из n линейно независимых решений y1, y2 ,..., yn урав-

нения (2.5) называется фундаментальной системой решений этого урав-

нения.

Если известна фундаментальная система решений ДУ (2.5), то общее решение ( yoo ) этого уравнения имеет вид:

yoo = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ,

(2.7)

где C1,C2 ,...,Cn – произвольные постоянные.

Функции y1, y2 ,..., yn , найденные указанным выше способом, линейно

независимы. Следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.5).

		22
Пример 4. Найти общее решение уравнения				y′′′−2 y′′−8y′= 0 .
Решение				k3 −2k2 −8k = 0 , т.
Составим характеристическое		уравнение		k3 −2k2 −8k = 0 , т.		е.
k (k2 −2k −8)= 0 . Его корни k1 = 0,		k2	= −2, k3 = 4 – действительные и
различные	числа. Соответствующие		частные решения		y = e0 x	=1,
					1
y2 = e−2 x ,	y3 = e4 x образуют фундаментальную систему решений ДУ на
(−∞; +∞).

Общее решение данного уравнения имеет вид:

= C +C

e−2 x +C e4 x .

Пример 5. Найти общее решение уравнения y(5)

+2 y(4) +2 y(3) = 0.

Решение

Составим характеристическое уравнение:

k5 +2k4 +2k3 = 0 ,

т.е.

k3 (k2 +2k +2)= 0 .

Его корни k1 = k2 = k3 = 0 ,

k4,5 = −1±i . Соответствующие частные ре-

шения y =1,

= x ,

= x2

= e−x cos x , y

= e−x sinx образуют

фундаментальную систему решений ДУ на (−∞; +∞). Общее решение

yoo данного уравнения имеет вид:

= C +C

x +C x2 +e−x (C

cos x +C sin x).

Пример 6.

Проинтегрировать уравнение y′′−5y′−6 y = 0 и найти ча-

стное решение его при начальных условиях

y (0)= 3, y′(0)= 4 .

Решение

уравнение k2 −5k −6 = 0 имеет корни

k = −1 и

Характеристическое

k2 = 6 . Общее решение yoo

данного уравнения имеет вид:

= C e−x

e6 x .

′

−x

6 x

Тогда yoo

= −C1e

+6C2e

. Используя начальные условия,

получим

систему двух линейных уравнений относительно произвольных постоян-

ных C1 и C2	3 =C1	+C2 ,	Решая систему, получим C1	= 2, C2	=1.

	4 = −C1 +6C2 .
Следовательно,		yчаст. = 2e−x +e6 x ― искомое частное решение ДУ.

2.5 Упражнения

Найти общие решения уравнений и частные решения при заданных начальных условиях (где это требуется).

1	y′′−5y′+4 y = 0 .	9	y′′−6 y′+34 y = 0 .
2	y′′′−10 y′′+25y′= 0 .	10	y′′−2 y′+2 y = 0 ,
			y (0)= 0, y′(0)=1.
3	y′′′−2 y′′+5y′= 0 .	11	y′′′−7 y′′+16 y′−12 y = 0 .
4	y(6) −6 y(5) +13y(4) = 0 .	12	y′′′+3y′′= 0 .
5	y(8) −6 y′′= 0 .	13	y′′−6 y′= 0 .
6	y′′−4 y′+3y = 0 ,	14	y′′+8y′+16 y = 0 .
	y (0)= 6, y′(0)=10 .
7	y′′+4 y = 0 ,	15	y′′−4 y′+4 y = 0 ,
	y (0)= 0, y′(0)= 2 .		y (0)= 3, y′(0)= −1.
8	y′′′− y′= 0 .	16	4 y′′−8 y′+5y = 0 .

2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное уравнение n -го порядка

y(n) +a y(n−1) +a	2	y(n−2) +... +a	n	y = f (x),	(2.8)
1	2		n

где a1,a2 ,...,an – числа, f (x)≠ 0 .

Общее решение уравнения (2.8) есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

y(n) +a y(n−1) +a	2	y(n−2) +... +a	n	y = 0 ,	(2.9)
1	2		n
т. е.
yобщ.неод. = yчаст.неод. + yобщ.однор. .					(2.10)

Рассмотрим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных). Для решения линейного неоднородного уравнения (2.8) методом Лагранжа рекомендуется:

– найти фундаментальную систему решений y1, y2 ,..., yn соответст-

вующего однородного уравнения (2.9) (это возможно лишь в случае, когда коэффициенты a1,a2 ,...,an – числа);

– записать вид общего решения уравнения (2.9):

yобщ.однор. =C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ,

(2.11)

где C1, C2 ,...,Cn – произвольные постоянные;

– записать общее решение уравнения (2.8) в форме (2.11), считая C1, C2 ,...,Cn функциями от x :

yобщ.неодн. =C1 (x)y1 +C2 (x)y2 +... +Cn (x)yn ;									(2.12)
– для определения C1 (x), C2 (x),...,Cn (x) составить систему
C′(x)y		+C′	(x)y		+... +C′ (x)y		= 0,
1	1	2		2	n	n
C′(x)y′+C′			(x)y′		+... +C′ (x)y		′ = 0,
1	1	2		2	n	n
...
C1′(x)y1(n−2) +C2′(x)y2(n−2) +... +Cn′ (x)yn(n−2) = 0,
C1′(x)y1(n−1) +C2′(x)y2(n−1) +... +Cn′ (x)yn(n−1) = f (x);
– найденные функции C1 (x), C2 (x),...,Cn (x)								подставить в формулу
(2.12).
Пример 7. Найти общее решение уравнения								y′′+4 y = tg2x .
Решение

	Рассмотрим однородное уравнение				y′′+4 y = 0 .			Его характеристиче-
ское уравнение k2 +4 = 0 имеет корни k						= ±2i . Фундаментальная систе-
				1,2				в виде y1 = cos2x ,
ма	решений однородного		уравнения		запишется			в виде y1 = cos2x ,
y2	=sin 2x .
	Общее решение однородного уравнения имеет вид:
		yобщ.однор. =C1 cos2x +C2 sin 2x .
	Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
	yобщ.неодн. =C1 (x)cos2x +C2 (x)sin 2x .
	Система уравнений для определения С1 (x) и С2 (x) имеет вид:
	C′	(x)cos2x +C′(x)sin 2x = 0,
	1		2
	−2C1′(x)sin 2x +2C2′(x)cos2x = tg2x.

	Находим С1′(x) и	С2′(x):	С1′(x)= −		sin2 2x		, С2′	(x)=	sin 2x	.
	Находим С1′(x) и	С2′(x):	С1′(x)= −				, С2′	(x)=		.
				2cos2x				2

Интегрируя полученные равенства, имеем следующее:

(x)= −

sin2 2x

dx = −

1−cos2 2x

dx = −

cos 2x −

dx =

∫ cos 2x

∫

cos 2x

2 ∫

cos 2x

sin 2x −

x +

+C1 ;


		С2 (x)=				1	∫	sin 2xdx = −				1	cos2x +C2 .
						2
											4
Общее решение данного уравнения запишется в виде
	1		1						π					1

yобщ.неодн. =		sin 2x −		ln	tg		x +			+C1	cos2x + −				cos2x +C2	sin 2x

	4		4						4					4

				1			π

или	yобщ.неодн.	=C1 cos 2x +C2	sin 2x −		cos 2x ln	tg x +		.
				4			4

2.7 Упражнения

Найти общее решение уравнения методом вариации произвольных постоянных.

1y′′+ y = sin1 x .

2y′′+4 y = cos12x .

3y′′− y′= ex1+1 .

4y′′− y = 1x .

5x2 y′′+ xy′+ y = x .

6xy′′+ y′= x2 .

7x2 y′′− xy′= 3x3 .

8y′′+4 y′+4 y = e−2 x ln x .


		′′		′			1
9	y		+3y		+2 y = 3 +e−x .

		′′		′		ex
10	y		+2 y		+ y = x .

		′′		′			e−2 x
11	y		+4 y		+4 y = x3 .

12y′′+ y = cos13 x .

13y′′+ y = cos1 x .

14y′′+ y = tg2 x .

15y′′+ y′= e2 x cos ex .

16xy′′+(2x −1)y′= −4x2 .

2.8 Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение вида

y(n) +a y(n−1) +a		2	y(n−2) +... +a	n	y = f (x),	(2.13)
	1
где a1, a2 ,...,an – действительные числа, f (x)≠ 0 .
Общее решение	yобщ.неодн. линейного неоднородного уравнения (2.13)
равно сумме общего	решения		yобщ.одн. соответствующего			однородного
уравнения и какого-либо частного решения yчаст.неодн. уравнения (2.13):
yобщ.неодн. = yобщ.одн. + yчаст.неодн. .						(2.14)
Частное решение yчаст.неодн.		можно найти методом неопределенных ко-
эффициентов для некоторых специальных видов функции						f (x) (избегая

интегрирования функции, а пользуясь лишь операциями алгебры и диффе-

ренцирования).
Если				f (x)= P (x)eαx ,					(2.15)
				f (x)= P (x)eαx ,					(2.15)
				n
где P (x)		– многочлен		n -й степени,	то y	част.неодн.	= xrQ		(x)eαx	, где
Qn (x)	n					част.неодн.	n
Qn (x)	– полный многочлен n -й степени, но с неопределенными коэффи-
циентами A0 , A1,..., An ; r			– кратность корня α соответствующего характе-
ристического уравнения.
Если		f (x)= eαx (Pn1 (x)cos βx +Qn2 (x)sin βx),
		f (x)= eαx (Pn1 (x)cos βx +Qn2 (x)sin βx),							(2.16)
где	Pn (x),	Qn (x)	–	многочлены	степеней		n1	и n2 ,		то
	1	2
yчаст.неодн. = eαx (Pm (x)cos βx +Qm (x)sin βx)xr , где Pm (x),							Qm (x) – полные

многочлены степени с неопределенными коэффициентами m = max (n1, n2 );

r – кратность корня α ± βi		характеристического уравнения.
Частный	случай:	если	f (x)= eαx (Acos βx + Bsin βx),	то
yчаст.неодн. = xr (C cos βx + Dsin βx)eαx .
Если f (x)	есть сумма указанных в (2.15) и (2.16) функций, то			yчаст.

есть сумма соответствующих функций в первом и втором случаях.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочленов надо

выражение yчаст.неодн. подставить в данное ДУ и после сокращения на eαx приравнять коэффициенты при одинаковых степенях аргумента. Из полу-

ченной при этом системы уравнений определяются неопределенные коэффициенты.

Пример 8.	Найти общее решение уравнения y′′+4 y = ex .
Решение
Решим однородное уравнение y′′+4 y = 0 :
k2 +4 = 0 ,	k = 2i ,	k	2	= −2i ,	y	общ.одн.	=С cos2x +С	2	sin 2x .
	1		2			общ.одн.	1	2
Функции	ex в правой части уравнения соответствуют							α =1, β = 0 ;

α =1 не является корнем характеристического уравнения (кратность r = 0 ,

коэффициент при ex

равен 1 (многочлен нулевой степени)). Следователь-

но, частное решение ищем в виде

yчаст.неодн. = Ax0ex = Aex .

Находим коэффициент A, подставляя

yчаст.неодн.

в данное неоднород-

ное

уравнение:

′

′′

, Ae

+4Ae

= e

≠ 0 ,

yчаст.неодн. = Ae

A =

Итак, y

=С cos2x +С

sin 2x +

ex .

общ.неодн.

Пример

Указать

вид

частного

решения

ДУ

y′′−5y′+4 y = (3x +2)ex .

Решение

k2 −5k +4 = 0,

k =1,

Решим характеристическое уравнение

= 4 .

Функции ex соответствует α =1, β = 0 ; α =1 является корнем характеристического уравнения кратности r =1; множитель при ex равен (3x +5) – многочлен первой степени. Следовательно, получаем ответ: частное решение имеет вид: yчаст.неодн. = x (Ax + B)ex .

Пример 10. Найти общее решение уравнения

y′′−2 y′−8y =85cos x .

Решение

y′′−2 y′−8 y = 0 :

k2 −2k −8 = 0 ,

Решим

однородное

уравнение

k = −2 , k

= 4 , y

общ.одн.

=С e−2 x +С

e4 x .

Функции cos x

соответствует α = 0, β =1. Число ±i

не является кор-

нем

характеристического

уравнения.

Следовательно,

yчаст.неодн. = Acos x + Bsin x ,

тогда

′

yчаст.неодн. = −Asin x + B cos x ,

′′

′

′′

в данное уравнение, по-

yчаст.неодн. = −Acos x − Bsin x . Подставляя

y , y

лучим следующее:

−Acos x − Bsin x +2Asin x −2B cos x −8Acos x −8B sin x =85cos x , cos x (−A −2B −8A)+sin x (−B +2 A −8B)=85cos x ,

cos x	−A −2B −8A =85,	−9 A −2B =85,

sin x	−B +2A −8B = 0.
		2A −9B = 0.

Откуда A = −9, B = −2 . Тогда yчаст.неодн. = −9cos x −2sin x .

Пример 11. Указать вид частного решения уравнения

	y′′+2 y′+2 y = e−x (cos x + x).
Решение
Решим характеристическое уравнение k2 +2k +2 = 0: k		= −1+i ,
	1
k2 =1−i . Для первого слагаемого правой части уравнения e−x cos x		имеем:
α = −1, β =1. Число	α ± βi = −1±i является корнем характеристического
уравнения кратности	r =1. Для второго слагаемого xe−x имеем:	α = −1,

β = 0 . Число α = −1 не является корнем характеристического уравнения. Следовательно, получаем ответ:

yчаст.неодн. = x (Acos x + Bsin x)e−x +(Cx + D)e−x .

2.9 Упражнения

Найти общие и частные решения (там, где заданы начальные условия) для следующих дифференциальных уравнений

1 y′′−5y′+6 y = (12x −7)e−x ,	9 y′′−2 y′+10 y = x cos2x .
y (0)= y′(0)= 0 .

2	y′′− y = x2 − x +1.	10
3	y′′−5y′+6 y = ex .	11
4	y′′+ y = 7sin x .	12
5	y′′−7 y′+12 y = e3x (x −1).	13
6	y′′−5y′+4 y =sin x −7cos x .	14
7	y′′−9 y = e3x .	15
8	y′′−4 y′−5y = 2x2ex ,	16
	y (0)= 2, y′(0)= 3 .

y′′−2 y′+2 y = ex sin x . y′′′−3y′′+2 y′= (1−2x)ex .

4 y′′− y = x3 −24x . y′′+6 y′+9 y =10sin x , y (0)= y′(0)= 0 .

y′′+2 y′= 4ex (sin x +cos x).

4 y′′+8y′= x sin x .

y′′+ y = 2cos x ,

y (0)=1, y′(0)= 0.

3 Индивидуальные задания

Задание 1 Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка.

1	а)	(	+ y2	)	dx + xydy = 0	,	5	а)	(	+ y2	)	dx	+	(	+ x2	)	dy = 0	,
		1							1					1
	б) x2 y′+ y = 0 ,							б) y′+ y2 =1,


		′				x
в)	xy		= y ln y ,

г) y′+2 y = e−x ,
д)	y′	=		y	+ x		2	,		y (1)= 0 .
				x
2 а)	xdy − ydx = y2dx ,
б)	y′	=			3x2				,
				x3 y + y
в) (x + y)dx −(x − y)dy = 0 ,
г)	xy′+ y = ln x ,									y (0)= 0 .
д) xy′+2 y = 3x ,

3а) 4xdx −3ydy = 3x2 ydy −2xy2dx , б) x2 + xy′= y ,

в) y′sin2 x = y ln y ,

г) (y − x)dx +(x + y)dy = 0 ,

	y′−			2xy								2	, y (1)= 3.
д)									=1+ x
д)			1+ x2						=1+ x
4 а)	(	x2 −1 dy +2xy2dx = 0 ,
	(					)
б)	y′=					1+ y2					,
б)	y′=			y 1+ x						2	,
				y 1+ x						)
						(				)
в)	y′=			x2 + xy − y2
												,
						x2 −2xy						,
г)	1+ x				2	)	y	′	−2xy =				1+ x	2	)	2	,
	(					)							(		)

д) (y2 −3x2 )dy +2xydx = 0 , y (0)=1.

	y′=			y		y
в)					+sin			,
				x		x
г)	xy′− y = x2 cos x ,
		′					1
д)	y		+ y cos x = 2 sin 2x , y (0)= 0 .

6а) sin x sin ydx +cos x cos ydy = 0 ,

б) (1+ex )yy′= ex ,

в)	y′−				y	= x ,
					x
г)	y	′	= −			x + y		,
						x
д)	y′		−	2x −5			y =5, y (2)= 4 .
						x2

7а) 4 + y2 dx − ydy = x2 ydy ,

б) y′= 35x+2 y ,

в) (x − y)ydx + x2dy = 0 , г) y′+2xy = xe−x2 ,

д)

y′+

y (1)=1.

(

8 а)

(

2 −

)

+ y

)

= 0 ,

x2 −1 dy

б)

yy′= 2 y − x ,

в)

y′+

= x

г) x 1+ y2 + yy′ 1+ x2 = 0 ,

д)

y′+ y ctg x = 2x sin x , y π

= 0 .

9а) x + xy + yy′(1+ x)= 0 ,

б) y′− x 2+1 y = (x +1)3 ,

в)

y′=

x + y

x − y

г) (3x2 +6xy2 )dx +(6x2 y +4 y3 )dy = 0 ,

д)

y′+

y (0)=

2 (1− x2 )

10 а) 3(x2 y + y)dy + 2 + y2 dx = 0 ,

б) y (1+ln y)= −xy′,

в)

y′=

+2 ,

′

(

)

г)

xy + 1+ x

y = x

д)

y′+

1−2x

y =1,

y (1)=1.

11а) 6xdx −6 ydy = 2x2 ydy −3xy2dx ,

б) xy′− y = y3 ,

в) (x − y)dx + xdy = 0, г) y′+2xy = e−x2 ,

д)

y′+

=sin x ,

y (π )=

12 а) x sin xdx +cos2

ydy = 0 ,

y′−

б)

= e x ,

в) 1+ x2 y′+ xy2 + x = 0 ,

г)

y′+ y = ex sin x ,

д)

y′=

y (1)=

+sin

2 .

13а) 2xdx − ydy = x2 ydy − xy2dx ,

б) xy′+ y −3 = 0 ,

в) (x2 − y2 )y′= 2xy ,

	(	2	)		′		(	2	)	2
г)	1+ x			y		−2xy =	1+ x				,

д)	y′= 2 y ln x ,						y (e)=1.

14а) 1+dxx2 +1+dyy2 = 0 ,

б) 4 − x2 y′+ xy2 + x = 0 ,

в) y′= xy +1,

г) y′− y cos x = cos x ,

		′		3			1
д)	y		+2xy = −2x		,	y (1)= e .

15а) (ex +8)dy − yexdx = 0 , б) y′tg x − y =1,

			y
в)	xy′− y 1	+ln		= 0 ,

			x

г)	y′+	1−2x	y =1,
		x2		y (π 2)=1.
д)	y ctg xdx = dy ,
16 а) x (1+ y′)2			=1,
		3
б)	x2 +2xyy′=1,
в) y′+2xy = 2x ,
г) 4x −3y + y′(2 y −3x)= 0 ,
д) xy′+3y = x2 ,				y (1)= 2 .

17а) 5 + y2 dx +4 (x2 y + y)dy = 0 , б) (1+ex )y′= ex y ,

в) xy′−2 y = x +1,


г)	(xy		′	− y)arctg	y	x = x ,

								2)=1.
д)	′	sin x − y cos x				= 0, y (	π
	y
18 а) x 3 + y2 dx + y 2 + x2 dy = 0 ,
б) x + xy + yy′(1+ x)= 0 ,
в) y′+ y = e−x ,
г)	(x2 + y2 )dx + xydy = 0 ,
д)	y′+ y x = 3x ,					y (1)=1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025134.14 Кб0Всё об интернете.doc
#
14.11.20191.02 Mб24Все ответы по акустике.docx
#
19.09.2019161.28 Кб4Вся шпора по бух учету.doc
#
05.05.2019950.27 Кб6ВФП 31-49.doc
#
03.05.2019331.78 Кб29Выплавка стали в электропечах.doc
#
29.02.2016408.42 Кб7Высш.мат.ДУ.Метод.указ.pdf
#
29.02.20161.02 Mб33Высшая математика(1курс).doc
#
29.02.20161.31 Mб11Высшая математика.pdf
#
11.07.2019690.18 Кб6Вышка заочникам.doc
#
25.09.20191.06 Mб25вышка шпоры норм.docx
#
01.04.20258.58 Mб3Гocы(16 шр.).2012.doc