8. Какова разность фаз между падающей и отраженной волной, при закрепленной границе раздела двух сред?

Литература

5.Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1996

6.Детлаф А. А., Яворский В. М. Курс физики. - М.: Высшая школа,

1978

7.Савельев И. В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982

8.Сивухин Д. В. Общий курс физики. - М.: Наука, 1983, Т.3.

22

Работа №16. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ

ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПРОЦЕССА БИЕНИЙ

1. Цель работы

Экспериментально изучить закономерности процесса биений, определить расчетным путем частоту и колебаний физического маятника.

2. Общие сведения

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления с разными частотами ω1 и ω2, например, колебаний

Итак, результирующее колебание (4) действительно не есть гармоническое колебание, так как у гармонического колебания А и ϕ по определению являются постоянными величинами, не зависящими от времени.

Особый интерес представляет тот случай, когда разность частот Δω= ω2-ω1 складываемых колебаний – малая величина (по сравнению с ω2 и ω1). Проанализируем более подробно рассматриваемый случай, предположив для упрощения анализа, что амплитуды складываемых колебаний равны А1=А2=А. Ввиду малости Δω начало отсчета времени можно выбрать так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю (ϕ1=ϕ2=0). В этом случае

Подставив выражения (7), (8) в выражение для результирующего колебания (4), получаем

23

Полученное выражение есть произведение двух колебаний.

есть большим периодом. Как видно из выражений (7), (8), А и ϕ изменяются сравнительно медленно, в течение длительного времени они почти постоянны, и на этом основании результирующее колебание можно условно рассматривать как гармоническое с медленно изменяющейся амплитудой и фазой. Такие гармонические колебания называют биениями (смотри рисунок 2.1).

t

Заключенный в скобки множитель в выражении (9) не может являться амплитудой, так как он изменяется в пределах [-2А, 2А], а амплитуда по определению – наибольшее отклонение от среднего значения. Очевидно, что аналитическое выражение амплитуды имеет вид:

Функция (10) – периодическая функция с частотой, в два раза превышающей частоту изменения величины, стоящей под знаком модуля, то есть с частотой Δω. На этом основании можно заключить, что частота пульсаций амплитуды (ее называют частотой биений) равна разности частот, складываемых колебаний:

24

амплитуда результирующего колебания равна сумме их амплитуд. Затем колебание с меньшей частотой начинает отставать по фазе от колебания с большей частотой, в результате амплитуда результирующего колебания постепенно убывает. Когда разность фаз колебаний достигнет величины π, результирующая амплитуда станет равной разности амплитуд, складываемых колебаний, то есть в рассматриваемом случае (А1=А2=А) обратится в нуль. При дальнейшем увеличении разности фаз амплитуда результирующего колебания начнет возрастать и при разности фаз, равной 2π, снова станет равной сумме амплитуд и т.д.

Периодом биений Тб называется промежуток между соседними моментами времени, в которые амплитуда обращается в нуль или достигает максимального значения, равного 2А. В соответствии с выражением (11)

определяет амплитуду, но и влияет на фазу результирующего колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним минимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (точки М1 и М2, смотри рисунок 2.1).

Биения находят широкое применение. Определение частоты биения между измеряемым и эталонным колебанием – один из наиболее точных методов сравнения измеряемой величины с эталонной; метод биений применяют для измерения частот, емкости, индуктивности, для настройки музыкальных инструментов, при анализе слухового восприятия и т.д.

3. Описание лабораторной установки

Установка для изучения закономерностей собственных колебаний, связанных маятников состоит из двух физических маятников в виде штанг с закрепленными на них грузами, которые могут перемещаться вдоль штанг и фиксироваться в выбранных положениях, чем достигается изменение периодов (частот) колебаний маятников. Маятники связаны между собой горизонтальным стержнем, проходящим через маятник-индикатор, суммирующий угловые смещения основных маятников.

4.Программа работы

4.1Порядок выполнения работы

25

4.1.1 Перемещая грузы (диски) вдоль штанг, закрепите их на фиксированных, но различных для каждого маятника расстояниях от оси качания. Расстояния от оси качания до центра масс дисков указаны на штангах.

Определите частоты ν1 и ν2 колебаний первого и второго маятников. Для этого отклоните один из маятников на небольшой угол порядка 10 – 150 (3-5 делений по шкале), после чего плавно отпустите его и измерьте время (t1) 20-30 колебаний (n1) маятника. По формулам

ν1=n1/t1; Т1=t1/n1

определите частоту и период колебаний маятника. Аналогично определите частоту ν2 и период Т2 для второго маятника.

4.1.2 Проверьте зависимость частоты, периода результирующего колебания от частот исходных колебаний и их периодов:

Для этого оба маятника одновременно приводят в колебания, отклонив их на одинаковый угол порядка 10 – 150. Затем подсчитывают число результирующих колебаний маятника-индикатора np за определенное время tp. Отсюда находят νр=nр/tр и Тр=tр/nр. Экспериментально определенные значения частоты и периода результирующего колебания сравните с расчетными по формулам (14).

4.1.3 Проверьте зависимость частоты и периода биений от частот и периодов исходных колебаний. Для этого оба маятника одновременно приводят в колебания, как в задании 4.1.2. Затем по формулам νб=nб/tб и Тб=tб/nб определяют частоту и период биений. Число биений nб можно определить либо по максимуму либо по минимуму амплитуды, при этом следует зафиксировать время tб, за которое происходит 4-5 биений. Экспериментально определенные таким образом частоту и период биений сравните с теоретическими значениями:

4.1.4 Определите частоты колебаний каждого физического маятника расчетным путем и сравните их с полученными экспериментально в задании

4.1.1.

Известно, что частота колебаний физического маятника

где m – масса маятника,

L – расстояние от оси качения до центра масс маятника,

J – момент инерции маятника относительно оси качания. Рассматриваемый маятник представляет собой штангу длиной l и массой

m1, закрепленную в точке О на расстоянии l2 от верхнего конца штанги с перемещаемым вдоль неё диском диаметром d и массой m2. В силу

26

аддитивности момента инерции момент инерции J равен сумме моментов

где J1 – момент инерции штанги относительно оси, проходящей через центр масс диска,

l1 – расстояние от оси качания до центра масс диска.

Величину L определим следующим образом. Направим вдоль штанги ось ОХ, совместив начало координат с точкой О. Тогда искомое расстояние равно координате центра масс маятника:

где mi – массы элементов маятника, xi – координаты их центра масс.

В рассматриваемом случае элементов маятника три:

1)Собственно штанга без хвостовика длиной l2. Масса этого элемента m1’=μ(l – l2), где μ=m1/l – масса единицы длины штанги. Координата центра масс этого элемента

x1=(l – l2)/2;

2) хвостовик массы μ l2 с координатой центра масс

x2= - l2/2

3) диск массы m2 с координатой центра масс x3=l1. Таким образом в соответствии с формулой (19)

27