Zhilin_Fundamental_Laws_Book
.pdf
10.4. Модифицированный рычаг Архимеда |
333 |
тела, а пружина отнесена к окружению. Поэтому внутренняя энергия системы постоянна. Кроме того, система может совершать только вертикальные движения. Таким образом, имеем
dU(A) = 0, Fe = F k, dR1 = −δs k, P = −P k, dR2 = −3δs k.
После учета этих соотношений в равенстве (10.4.2) приходим к равенству (10.4.1). Рассматриваемую задачу можно решить и другим способом. Включим пружину в состав рассматриваемой системы. Тогда ее внутренняя энергия с точностью до постоянной величины равна внутренней энергии пружины
U(A) = |
1 |
c |
2 |
dU(A) = c ΔdΔ, |
(10.4.3) |
|
|||||
2 |
|
||||
где c есть жесткость пружины, а |
есть удлинение пружины. |
|
|||
Внешние силы, действующие на систему, сводятся к двум силам: силе P и реакции в шарнире O. Причем последняя сила не совершает работы, поскольку шарнир O неподвижен. Таким образом принцип возможных перемещений
сводится к равенству |
|
|
|
|
|
c ΔdΔ = 3 P dΔ |
|
c = 3 P. |
|||
Поскольку по закону Гука c |
= |
F |
, то |
|
|
|
|
вновь приходим к найденному ранее |
|||
решению.
Немного усложним задачу и рассмотрим систему, расширенную включением дополнительной горизонтальной пружины и изображенную на рис. 10.1,b.
Применение принципа Лагранжа здесь затруднено необходимостью включать в список активных сил дополнительные внутренние силы, вызванные наличием горизонтальной пружины.
Применение принципа возможных перемещений в форме (10.3.2) остается по существу без изменений. Просто нужно учесть внутреннюю энергию дополнительной пружины. В результате имеем
U(A) = |
1 |
c |
2 + |
1 |
c 2 |
dU(A) = c ΔdΔ + c dΔ , |
|
|
|||||
2 |
2 |
где есть удлинение горизонтальной пружины.
Примем, что при отсутствии внешней силы пружины находятся в недеформированном состоянии. Пусть 2h и 2a есть длины нерастянутых вертикальной и горизонтальной пружин соответственно. Причем a2 + h2 = l2. Тогда для возможных удлинений пружин выполняется тождество
4a + 2 + 4h + 2 = 0 (4a + ) d + (4h + ) d = 0.
334 Глава 10. Принцип возможных перемещений
Если жесткость пружин достаточно велика, то эти равенства можно линеаризовать. В результате получим
a + h = 0 a d + h d = 0, dU(A) = c 1 + h2/a2 Δd .
По принципу возможных перемещений для силы натяжения вертикальной пружины получаем равенство
3 P
c = 1 + h2/a2 .
Как и следовало ожидать, сила натяжения в вертикальной пружине уменьшилась, поскольку часть нагрузки взяла на себя горизонтальная пружина.
Библиографический список
[1]Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. М.: ГИФМЛ, 1960. 515 с.
[2]Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1960. 487 с.
[3]Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. 431с.
[4]Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.
[5]Бернулли И. Избранные сочинения по механике. М.–Л.: ОНТИ, 1937. 297 с.
[6]Боль П. О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, применимых в механике: Собр. тр. /Под ред. Л.Э.Рейзиня. Рига: Зинатне, 1974. С. 73 — 198.
[7]Галилео Галилей. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки. Галилео Галилей: Избр. тр. Т. 2. М.: Наука, 1964. 571 с.
[8]Галилео Галилей. Послание к Инголи. Галилео Галилей: Избр. тр. Т. 1. М.: Наука, 1964. 640 с.
[9]Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: ГИФМЛ, 1960. 296 с.
[10]Гельмгольц Г. О сохранении силы. М.– Л.: ГИТТЛ, 1934. 143 с.
[11]Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 386 с.
[12]Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 303 с.
[13]Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975. 415 с.
[14]Григорьев В., Мякишев Г. Силы в природе. М.: Наука, 1973. 415 с.
[15]Даламбер Ж. Динамика. М.–Л.: ГИТТЛ, 1950. 343 с.
336 |
Библиографический список |
[16]Жилин П.А. Основные уравнения неклассической теории оболочек // Динамика и прочность машин: Тр. ЛПИ. № 386. СПб., 1982. С. 29–46.
[17]Жилин П.А. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела // Механика и процессы управления: Тр. СПбГТУ. № 443. СПб. 1992. С. 100– 121.
[18]Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. СПб.: Нестор, 2001. 275 с.
[19]Жилин П.А. Принцип относительности Галилея и уравнения Максвелла // Механика и процессы управления: Тр. СПбГТУ. № 448. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1994. С. 3–38.
[20]Жилин П.А. Исходные понятия и фундаментальные законы рациональной механики // Тр. XXII школы–семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". СПб., 1996. С. 14–40.
[21]Жилин П.А. Теоретическая механика: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. 145 с.
[22]Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука, 1997. 320 с.
[23]Ишлинский А.Ю. Классическая механика и силы инерции. М.: Наука, 1987. 319 с.
[24]Киттель Ч., Найт В., Рудерман М. Механика. Берклеевский курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1983. 447 с.
[25]Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.
[26]Крутков Ю.А. Об одной нерешенной задаче Эйлеровой Theoriae motus. Леонард Эйлер: Сб. статей и материалов к 150-летию со дня смерти. М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1935. 239 с.
[27]Куликов К.А. Вращение Земли. М.: Недра, 1985. 159 с.
[28]Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1982. 830 с.
[29]Кухлинг Х. Справочник по физике. М.: Мир, 1964. 519 с.
[30]Лагранж Ж–Л. Аналитическая механика. Т. I. М.–Л.: ОНТИ, 1938. 348 с.
[31]Ламб Г. Теоретическая механика Т. III. М.–Л.: ОНТИ, 1936. 291 с.
[32]Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. 408 с.
Библиографический список |
337 |
[33]Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. 416 с.
[34]Лич Дж. У. Классическая механика. М.: ИЛ, 1961. 173 с.
[35]Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 1. М.: Наука, 1982. 352 с.
[36]Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 2. М.: Наука, 1983. 540 с.
[37]Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.
[38]Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
[39]Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 525 с.
[40]Мак-Миллан В.Д. Динамика твердого тела. М.: ИЛ, 1951. 467 с.
[41]Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. 414 с.
[42]Матвеев А.Н. Атомная физика. М.: Высш. шк., 1989. 439 с.
[43]Мах Э. Механика (историко–критический очерк ее развития). СПб.: Общественная польза, 1909. 448 с.
[44]Меркин Д.Р. Краткая история классической механики. М.: Физматлит, 1994. 159 с.
[45]Михайлов Г.К. Леонард Эйлер и его вклад в развитие рациональной механики // Успехи механики. Advances in mechanics. Warszawa. Polska. 1985. Vol. 8. № 1. P. 3–58.
[46]Най Дж. Физические свойства кристаллов. М.: Мир, 1967. 385 с.
[47]Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1. М.: Наука, 1983. 448 с.
[48]Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 2. М.: Наука, 1983. 464 с.
[49]Норден А.П. Теория поверхностей. М.: ГИТТЛ, 1956. 259 с.
[50]Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Собр. тр. акад. А.Н. Крылова. Т. VII. М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1936.
[51]Ньютон И. Оптика. М.–Л.: ГИТТЛ, 1954. 367 с.
338 |
Библиографический список |
[52]Ньютон И. Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых // Ньютон И. Математические работы. М.– Л.: ОНТИ, 1937. С. 25–166.
[53]Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 336 с.
[54]Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.
[55]Пановко Я.Г. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1985. 287 с.
[56]Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.
[57]Петкевич В.В. Теоретическая механика М.: Наука, 1981. 496 с.
[58]Вариационные принципы механики / Под ред. Л.С. Полака. М.: ГИФМЛ, 1959. 932 с.
[59]Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 536 с.
[60]Пуанкаре А. Измерение времени. Избр. тр. А. Пуанкаре. Т. III. М.: Наука, 1974. 771 с.
[61]Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. 559 с.
[62]Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1976. 535 с.
[63]Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1976. 573 с.
[64]Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Физматгиз, 1961. 518 с.
[65]Смородинский Я.А. Температура. М.: Наука, 1987.
[66]Терминология термодинамики / Под ред. А.М. Терпигорева. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 56 с.
[67]Тер Хаар, Вергеланд Г. Элементарная термодинамика. М.: Мир, 1968. 219 с.
[68]Трусделл К. Очерки по истории механики. Москва–Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2002. 315 с.
Библиографический список |
339 |
[69]Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
[70]Трусделл К. Этапы развития понятия напряжения. Сб. Проблемы механики сплошной среды. К семидесятилетию академика Н.И. Мусхелишвили. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 578 с.
[71]Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1982. 111 с.
[72]Ферми Э. Термодинамика. Харьков: Изд. Харьковского ун-та, 1969. 139 с.
[73]Френкель Я.И. Курс теоретической механики на основе векторного и тензорного анализа. Л.-М.: ГИТТЛ, 1940. 435 с.
[74]Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука, 1987. 367 с.
[75]Эйлер Л. Основы динамики точки. М.– Л.: ОНТИ, 1938. 500 с.
[76]Эйлер Л. Открытие нового принципа механики (Decouverte´ d’un nouveau principe de mecanique)´ . Mem. Acad.roy. sci. et belles–lettres. Berlin. 6 (1750), 185–217. 1752 (Opera omnia, II–5).
[77]Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума. М.–Л.: ГТТИ, 1934. 600 с.
[78]Эйлер Л. Общие принципы движения жидкостей. Mem. Acad.roy. sci. et belles–lettres. Berlin. 11 (1755). 274–315. 1757 (Opera omnia, II–12).
[79]Эйлер Л. Новый метод определения движения твердых тел. (Nova methodus motum corporum rigidorum determinandi). Novi commentarii Acad. sci. imp. Petrop., 20 (1775). 208–238. 1776 (Opera omnia, II–9).
[80]Якоби К. Лекции по динамике. Л.-М.: ОНТИ, 1936. 271 с.
[81]Argyris J. An Excursion into Large Rotations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol. 32. №1 − 3. P. 85-155.
[82]Boltzmann L. Vorlesungen uber¨ die Prinzipe der Mechanik. Teil I. Leipzig, 1897.
[83]Green G. On the laws of reflection and refraction of light at the common surface of two non-crystallized media // Trans. Phil. Soc. Cambridge. Vol.7. 1839.
[84]Palmov V. Vibrations of Elasto-Plastic Bodies. Berlin: Springer, 1998.
[85]Silberstein L. Vectorial mechanics. London: Macmillan and Co. 1913. 197 p.
340 |
Библиографический список |
[86]Truesdell C. Essays in the History of Mechanics. Springer–Verlag. New–York e.a. 1968.
[87]Truesdell C. History of Classical Mechanics // Naturwissenschaften 63 (1976). Part 1. P. 53-62. Part 2. P. 119-130. Springer-Verlag, 1976.
[88]Truesdell C. Rational Termodynamics. Springer–Verlag. New–York e.a. 1984. 578 p.
[89]Truesdell C., Toupin R. The classical field theories. Handbuch der Physik. Vol. III/1. Springer–Verlag. 1960.
[90]Truesdell C., Noll W. The Non–Linear Field Theories of Mechanics. Encyclopedia of Physics. III/3. Springer–Verlag. 1965.
[91]Zarembo S. Reflexions sur les fondements de la mecanique rationnelle // Enseignements Math. 1940. T. 38. p. 59–69.
[92]Zhilin P.A. A New Approach to the Analysis of Free Rotations of Rigid Bodies // ZAMM Z. angew. Math. Mech. 76 (1996), 4. P. 187–204.
[93]Zhilin P.A. Rigid body oscillator: a general model and some results // Acta Mechanica. Vol. 142 (2000). P. 169–193.