Zhilin_Fundamental_Laws_Book

где l есть некий параметр размерности длины.

Те, кто уже знакомы с энергией линейной пружины, видят, что l есть длина пружины при температуре ϑf и при условии, что на пружину никаких сил не действует. Параметр c называется жесткостью пружины. Часто температуру ϑf называют температурой натурального состояния. Можно ее назвать температурой отсчетного состояния или отсчетной температурой, которая выбирается относительно произвольно. Это та температура, при которой измеряются параметры материала, приводимые в справочниках. Она, в значительной мере, условна. Постоянные параметры a и d считаются известными, например, из эксперимента. Параметр a характеризует связанность деформационных и температурных полей. Для простоты в дальнейшем считаем, что a = 0. Из представления (9.6.17) видим, что материальные точки системы фактически лишены способности нагреваться. При этом соотношения Коши–Грина (9.6.12)

причем H1 = const, H2 = const.

Кроме того, лишив материальные точки способности накапливать тепло, мы лишили их способности обмениваться теплом. Это означает, что величины, задающие обменное тепло, должны равняться нулю

QBC = 0, QBD = 0, QCD = 0.

Чтобы не вступать в противоречие с уравнениями (9.6.14) – (9.6.16), необходимо в соответствии с физическим смыслом принять

κ1 = κ2 = 0, b1 = b2 = 0.

Наконец, примем, что внешние силы на систему не действуют, т.е.

Выпишем получившуюся упрощенную систему уравнений. Уравнения движения с учетом принятых упрощений, а также равенства (9.6.5), принимают

Уравнение баланса энергии будет выполнено, если будет выполнено урав-

Умножим обе части первого из равенств (9.6.20) скалярно на вектор ˙ .

R1

Обе части второго из равенств (9.6.20) умножим скалярно на вектор ˙ . После

R2

этого сложим получившиеся равенства и получим

Учтем наличие тождества

∂Φ∂γ γ˙ = dΦdt + Hdϑdt = dUdt − ϑdHdt .

С учетом этого тождества и уравнения теплопроводности (9.6.21) соотношению (9.6.22) придаем вид

Система называется теплоизолированной, если κ = 0. В этом случае полная энергия системы сохраняется.

Итак, после проведения всех выкладок в обратной последовательности, т.е от уравнений движения (9.6.20) и уравнения теплопроводности (9.6.21), пришли к уравнению баланса энергии (9.6.23). Видим, что полная энергия рассматриваемой системы не сохраняется и может как убывать при ϑ > ϑ , так и возрастать при ϑ < ϑ . Остается, правда, неясным будет ли этот процесс монотонным. Чтобы выяснить это обстоятельство, необходимо конкретизировать систему полностью, а именно нужно задать конкретный вид функции ψ(γ, γ˙ ). Эта функция описывает вязкое трение в системе. Примем, что оно является линейным

ψ(γ, γ˙ ) = b γ,˙ b > 0.

Интуитивно ясное требование положительности коэффициента b совсем не просто обосновать формально. Хотелось бы для этой цели использовать так называемый второй закон термодинамики, о котором будет сказано несколько слов немного ниже. Однако можно рассуждать и без формального привлечения второго закона термодинамики, хотя, в каком-то смысле идея этих рассуждений аналогична идеям, которые пытаются использовать при отыскании общей формулировки второго закона термодинамики. Рассмотрим часть силы (9.6.5), связанной с функцией ψ(γ, γ˙ )

Ff (B, C) = − b γγ˙ −1(R1 − R2),

которая называется силой трения между частицами B и C. Вычислим производную от функции γ

γ = ˙ − ˙ · ( − ) γ−1.

˙ R1 R2 R1 R2

няющей частицы, и, следовательно, не меняет расстояния между частицами, то сила трения равна нулю. Так будет при чистом вращении частиц как твердого целого вокруг их центра масс. В другом крайнем случае частицы разлетаются вдоль прямой, соединяющей частицы. В этом случае имеем

а положительность коэффициента трения b означает, что сила трения в демпфере направлена противоположно относительной скорости между материальными точками системы. Именно так и рассуждают в механике без привлечения второго закона термодинамики на основании опыта, воплощенного в здравый смысл. Ту же самую идею можно выразить иначе. А именно, выдвинем требование, чтобы мощность силы трения была бы отрицательной. Иными словами, система должна затрачивать энергию на преодоление сил трения, а не получать ее в результате трения

В более общем случае это требование сводится к выполнению неравенства

Как видим, принятие внешне простого неравенства b > 0 требует, тем не менее, аккуратного проникновения в его смысл. Замечательно, однако, то, что этот смысл можно понять на очень простых примерах, причем он сохраняется в значительно более общих случаях.

Для простоты примем, что массы частиц системы одинаковы m ≡ m1 = m2. Складывая оба уравнения системы (9.6.20), получаем первый интеграл

Видим, что центр масс системы движется равномерно и прямолинейно. Поэтому можно выбрать такую инерциальную систему отсчета, в которой

центр масс покоится, т.е. C = 0. Кроме того, центр масс расположим в начале системы отсчета. Тогда получим

R ≡ R1 = −R2, γ = 2|R|.

С учетом полученных интегралов система (9.6.20) сводится к одному урав-

Векторный интеграл (9.6.26) показывает, что система движется в плоскости, ортогональной единичному вектору m. Отсюда следует, что вектор R может быть представлен в виде вращающегося вектора переменной длины

Вычисляя первую и вторую производные от вектора R, получаем

Подставляя последнее выражение в уравнение (9.6.25), приходим к двум скалярным уравнениям для нахождения функций γ(t) и ϕ(t). Первое из них имеет вид

Наконец, уравнение теплопроводности (9.6.21) служит для определения

Уравнение (9.6.28) не интегрируется в квадратурах, но его решение легко может быть найдено приближенно. Характер решения этого уравнения ясен и

318 Глава 9. Уравнение баланса энергии

что γ˙ (T ) = 0. Тогда конечная температура тела D определяется по формуле

Температура демпфера есть измеряемая величина. Поэтому температуру, найденную теоретически и определяемую формулой (9.6.32), можно сравнить с наблюдаемой экспериментально. В формулу (9.6.32) входит всего один коэффициент d, которым мы можем распорядиться, поскольку вязкость демпфера b определяется из независимых экспериментов и не имеет прямого отношения к способу введения температуры. Если коэффициент d удается выбрать так, что теоретически найденные температуры совпадают с наблюдаемыми экспериментально, то выражение для свободной энергии или, что то же самое, выражение для энтропии найдено удовлетворительно. Если подобрать подходящий коэффициент d не удается, то надо искать другое представление для свободной энергии. Иными словами, определяющее уравнение для энтропии должно быть написано так, чтобы правильно определялись наблюдаемые температуры. Ситуация здесь точно та же, что и при открытии закона Всемирного тяготения (типичный пример определяющего уравнения), который подбирался так, чтобы теоретически найденные траектории планет совпадали бы с наблюдаемыми траекториями.

Немного подробнее рассмотрим теплоизолированную систему, когда обмен энергией с окружающей средой отсутствует, т.е. в уравнении (9.6.23) коэффициент теплопередачи κ равен нулю. Вычислим полную энергию рассматриваемой системы. Кинетическая энергия определяется выражением

Уравнение баланса энергии (9.6.23), которое в рассматриваемом случае выражает сохранение полной энергии тела A, принимает следующий вид

Таким образом, в рассматриваемой системе полная энергия сохраняется. Тем не менее, в ней происходят необратимые процессы, поскольку в ней

механики рассматривать второй закон термодинамики, в основании которого лежит опытный факт о том, что вся механическая энергия может быть переведена в тепловую энергию, но полностью перевести тепловую энергию в механическую энергию невозможно. Это обстоятельство мы уже наблюдали на примере системы двух материальных точек. Но это был всего лишь частный пример. Второй закон термодинамики утверждает, что это не частный факт, а всеобщий закон, который должен выполняться всегда. Обобщенно говоря, формулировка второго закона термодинамики — это попытка ввести идею необратимости многих природных и техногенных процессов в рациональную науку. Во многих, если не во всех, случаях для введения идеи необратимости в рассматриваемые процессы достаточно обычного здравого смысла. Тем не менее, многих исследователей не оставляет желание перевести идею необратимости с уровня здравого смысла на уровень фундаментального закона. Многие полагают, что этот перевод уже осуществлен формулировкой второго закона термодинамики. По мнению автора, здесь желаемое выдается за действительное. Фактически в настоящее время не существует формулировки второго закона термодинамики, обладающей той же степенью общности, какой обладают законы динамики и уравнение баланса энергии. Детальное обсуждение всех обстоятельств, связанных с формулировкой второго закона термодинамики, далеко выходит за рамки первоначального курса рациональной механики. Поэтому интересующихся отошлем к книгам [33, 69, 72, 88].

Основная проблема, возникающая при попытке дать общую формулировку второго закона термодинамики, связана со следующим обстоятельством. Фундаментальные законы представляют собой утверждения, которые принципиально не могут быть опровергнуты экспериментально. Почему такие утверждения всеобщего характера вообще возможны? Дело в том, что любой фундаментальный закон можно воспринимать как определение некой новой величины. Первый закон динамики вводит в рассмотрение новое понятие силы. Второй закон динамики вводит в рассмотрение новое понятие момента. Уравнение баланса энергии вводит в рассмотрение новое понятие внутренней энергии. Комбинация всех трех законов позволяет ввести в рассмотрение температуру, энтропию, химический потенциал. Что же остается на долю второго закона термодинамики? Он не вводит никаких новых понятий, но постулирует некие ограничения на уже введенные величины. Эти ограничения отражают наши представления о характере поведения системы и носят опытный характер. Отсюда следует, что новые наблюдения и новые опыты могут изменить, как наши представления о природе сущего, так и, следовательно, формулировку второго закона термодинамики. Это обстоятельство не позволяет наделить второй закон термодинамики статусом фундаментального закона.

Глава 10.

Принцип возможных перемещений

10.1. Вводные замечания

История развития механики чрезвычайно сложна для описания и анализа. Описывать ее намного сложнее, чем, например, историю развития математики. В последней, как правило, невозможно появление половины или трети теоремы. Теорема либо доказана, либо не доказана. Только в первом случае она и называется теоремой, в противном случае имеем дело с гипотезой. В механике ситуация совершенно иная. Ни одно понятие механики не возникло одномоментно. Каждое из них вводилось на протяжении столетий и даже тысячелетий. Это относится и к силам, которые только относительно недавно обрели окончательное оформление, но использовались в частных и не вполне ясных, но ограниченно правильных, формулировках многие столетия. Это относится и к моментам, которые еще и в настоящее время не обрели статуса, аналогичного силам, но используются со времен Архимеда. С большими трудностями обретает ясные очертания понятие энергии, которое, видимо, не обрело канонической формы и в настоящее время. Чтобы убедиться в сказанном, достаточно взглянуть на название знаменитой работы Г. Гельмгольца [10]: “О сохранении силы”. Речь в этой работе идет об энергии. Иными словами, всего полтора столетия тому назад принятая терминология для базовых понятий совершенно не совпадала с современной. В еще большей степени сказанное справедливо в отношении фундаментальных законов. Ни один из них не является плодом индивидуального творчества тех или иных ученых. Все они являются продуктом коллективного творчества многих поколений ученых. Одним из важнейших отличий рациональной механики от математики является то, что в механике очень трудно, если вообще возможно, достигнуть такого уровня формализации, который позволяет исключить интуицию из определений основных понятий. Уравнение баланса энергии прекрасно иллюстрирует все сказанное. В настоящее время можно утверждать, что все известные част-