kurs_rabota

21

Далее в главном определителе Гурвица вычеркивается строка снизу и столбец справа и получается определитель Гурвица низшего порядка:

В итоге по данному критерию проверяются n определителей, которые должны быть больше нуля, в этом случае система автоматического регулирования будет устойчива. Расчет большого количества определителей в ряде случаев затруднителен.

Критерий Михайлова. А. В. Михайлов предложил критерий устойчивости, применение которого во многих случаях оказалось предпочтительнее. Этот критерий основан на построении кривой (годографа) M ( j ω), определяемой характеристическим уравнением системы на ком-

плексной плоскости.

Условия устойчивости по Михайлову: САР будет устойчивой,

если годограф функции M ( j ω), начинаясь на положительной веще-

ственной полуоси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов комплексной плоскости (где n – степень характеристического уравнения данной системы) и уходит в бесконечность при изменении частоты ω от нуля до бесконечности.

Выражение для M ( j ω) можно найти, если в характеристическом

уравнении заменить оператор Лапласа p на комплексную частоту jω. Заменяя p в характеристическом уравнении

dn pn +dn−1 pn−1 +...+d1 p +d0 =0

на jω , получим:

M ( j ω)= dn ( j ω)n +dn−1 ( j ω)n−1 +...+d1 ( j ω)+d0 .

Для каждого значения ω функция M ( j ω) будет представлять собой

точку на комплексной плоскости. Если величине ω придавать последовательно значения от нуля до бесконечности, то получится ряд точек. Кривая, являющаяся геометрическим местом точек при изменении значений ω от нуля до бесконечности, называется (рису-

22

нок 10). По расположению годографа на комплексной плоскости можно определить, устойчива система или нет.

n=2 Im n=1

n=5

d0 Re

n=3

n=4

Рисунок10 – ГодографыМихайловадляустойчивыхсистемпорядкаотn = 1 доn = 5

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики системы W(j·ω) в разомкнутом состоянии. Различают формулировки критерия для случаев, когда система в разомкнутом состоянии устойчива и неустойчива.

Критерий устойчивости формулируется следующим образом: САР, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если годограф Найквиста разомкнутой системы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j0).

а — статические САР; б — астатические САР (ν=1)

Рисунок 11 Годографы Найквиста W(j·ω) : 1 – для устойчивых САР; 2 - для САР, находящихся на границе устойчивости; 3 – для неустойчивых САР

На рисунке 11 показаны амплитудно-фазовые частотные характеристики W(j·ω) статических (а) и астатических (б) систем. Годографы 1 не охватывают критическую точку, поэтому системы, имеющие эти характеристики, устойчивы. Амплитудно-фазовые частотные характеристики 3 охватывают точку (–1, j0), поэтому системы 3 неустойчивы. Амплитуднофазовые частотные характеристики 2 проходят через критическую точку – соответствующие системы находятся на границе устойчивости.

Качество регулирования может быть охарактеризовано максималь-

ным значением управляемой величины hmах или так называемым перерегулированием σ% :

σ% = hmахh– hуст·100 % ,

уст

где hуст – установившееся значение управляемой величины после завершения переходного процесса.

24

Допустимое значение перерегулирования для той или иной системы может быть установлено на основании опыта эксплуатации подобных систем. В большинстве случаев считается, что качество системы является приемлемым, если величина перерегулирования не превышает 10÷30 %. Однако в некоторых случаях требуется, чтобы переходный процесс протекал вообще без перерегулирования, т. е. был монотонным; в ряде других случаев может допускаться перерегулирование 50÷70 %.

Быстродействие системы или время регулирования tрег опре-

деляется как время, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка до момента, после которого имеет место неравенство

h(t) – hуст ≤ ·hуст ,

где — заданная малая постоянная величина, представляющая собой обычно допустимую ошибку. Под величиной понимают некоторую долю выходного воздействия, составляющую, как правило, 5 % величины сигнала на выходе (так называемая 5-процентная трубка). Величина hуст в частном случае может равняться нулю.

Допустимое значение времени переходного процесса определяется на основании опыта эксплуатации конкретных систем управления.

Иногда дополнительно к величине перерегулирования σ% (или к величине hmах) задается допустимое число колебаний N, которое может наблюдаться в течение времени переходного процесса. Это число составляет обычно 1 - 2. В некоторых системах колебания могут вообще не допускаться, а иногда может допускаться до 3 ÷ 4 колебаний.

Кроме времени регулирования, переходные процессы характеризуются еще временем максимума tmax , отсчитываемым от начала движения до момента достижения первого максимума.

Склонность системы к колебаниям оценивается колебательно-

стью переходного процесса hmax2 – отношением соседних максимумов.

hmax1

Эта величина выражается в процентах. Незатухающие колебания при этом соответствуют колебательности 100 %. Колебательность стремится к нулю при уменьшении до нуля второго максимума переходной характеристики, когда получается неколебательный процесс. Монотонная переходная характеристика, показанная на рисунке 12 пунктирной линией, имеет колебательность, равную нулю.

При исследованиях качества процесса регулирования часто используются косвенные методы, в частности метод распределения корней, в котором для приближенной оценки времени регулирования и перерегулирования используются значения корней характеристического уравнения замкнутой системы D(p). Метод основывается на отыскании наименьшего по абсолютному значению вещественного корня или пары комплексно со-

25

пряженных корней с наименьшей вещественной частью. Указанные корни могут быть представлены геометрически на комплексной плоскости соответствующими точками.

На рисунке 13 показаны для примера корни системы шестого порядка – два отрицательных вещественных р1 и р2 и две пары комплексносопряженных корней с отрицательными вещественными частями

р3-4 = –α ± j·β и р5-6 = –ξ ± j·λ.

B

ξ

C

Рисунок 13 – Возможное расположение корней на комплексной плоскости

Для оценки качества регулирования обычно используются понятия:

–степень устойчивости η;

–колебательность μ = tgϕ;

–абсолютное значение ξ вещественной части наиболее удаленного от мнимой оси корня (см. рисунок 13).

Три указанные характеристики распределения корней образуют трапецию А В С D, внутри которой и на ее сторонах располагаются корни характеристического уравнения.

Степенью устойчивости η называется абсолютная величина вещественной части корня, расположенного ближе всех остальных к мнимой оси (доминирующего корня или доминирующей пары корней). В данном

случае доминирующим является вещественный корень р1, как наиболее

близко расположенный к мнимой оси, следовательно η = |р1|.

Понятие степени устойчивости в качественном отношении связано с понятием быстродействия или длительности переходного процесса. Оценивая приближенно длительность переходного процесса только по затуха-

26

нию составляющей, определяемой ближайшим к мнимой оси корнем, получим выражение для времени регулирования:

tрег ≈ η3 ·

β

Колебательностью μ = α max называется отношение мнимой час-

ти β к действительной α в той паре комплексных сопряженных корней р3-4 = –α ± j·β, которые дают наибольший угол 2ϕ (см. рисунок 13).

Вслучае, когда эта пара комплексных корней будет доминирующей (то есть расположенной ближе всех к мнимой оси), максимальная величина перерегулирования в переходном процессе может быть оценена приближенным равенством

−π

σ%max ≈ e μ 100 % .

Вслучае, показанном на рисунке 13, колебательность μ = 0, так как корень р1 не имеет мнимой части. Следовательно, перерегулирова-

ние σ%max ≈ 0 .

Список литературы

1 Никулин, Е. А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем : учеб. пособие для вузов / Е. А. Никулин. – СПб. : БХВ–Петербург, 2004. – 640 с.

2 Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – 4-е изд., перераб. и доп. – СПб. : Профес-

сия, 2003. – 752 с.

3Андрющенко, В. А. Теория систем автоматического управления : учеб. пособие / В. А. Андрющенко. – Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. – 256 с.

4Макаров, И. М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). /И. М. Макаров, Б. М. Менский. –2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1982. – 504 с.

27

Приложение А

(рекомендуемое)

Пример расчета системы автоматического управления

1 Структурная схема САР с учетом выбранных передаточных функций приведена на рисунке А.1.

Рисунок А.1 – Исходная структурная схема с численными значениями парамет-

ров

2 Выполним дополнительные структурные преобразования, чтобы преобразовать исходную структурную схему к виду, показанному на рисунке 7.

Так как звенья с передаточными функциями W1(p) и W2(p) соединены параллельно, то по правилам преобразования эквивалентная передаточная функция будет равна сумме их передаточных функций:

Поскольку звено с передаточной функцией W3(p) охвачено единичной обратной связью, то для упрощения необходимо воспользоваться пра-

вилом для соединения с отрицательной обратной связью:

28

Структурная схема после двух преобразований показана на рисунке А.2.

Рисунок А.2 – Преобразованная структурная схема

Звенья с передаточными функциями WЭ1(p) и WЭ2(p) соединены последовательно, поэтому эквивалентная передаточная функция будет равна произведению их передаточных функций:

Приведем структурную схему к виду, показанному на рисунке 7:

Рисунок А.3 – Расчетная структурная схема

Используя обозначения рисунка 7, получим:

WB (р) =W4(р) = 1,8 7р+1;

WOC ( р) = 0, 2.

29

3 Определим передаточные функции САР.

Передаточная функция разомкнутой CAP (в предположении, что система разомкнута возле элемента сравнения)

Передаточная функция замкнутой CAP относительно задающего воздействия:

30

Передаточная функция замкнутой CAP относительно возмуще-

ния

Передаточная функция замкнутой CAP для ошибки воспроизведения задания: