metod_tau_kontr_rab

Литература.

1. Теория автоматического управления. Методические указания. Могилев, 2002

г.

2.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. –М.: Наука, 1972

3.Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z- преобразования. –М.: Наука, 1971

Контрольная работа № 1.

Определение передаточных функций. Анализ устойчивости

икачеств системы автоматического регулирования (САР):

1)определить передаточные функции звеньев САР по передаточным функциям, приведённым в таблице 1, путём исключения тех параметров, которые имеют нулевые значения в соответствующем столбце таблицы 2. Номер столбца (см. табл.2) выбирается по предпоследней цифре шифра студента.

По последней цифре шифра выбрать номер рисунка структурной схемы системы (1-10) и зарисовать её с учётом передаточных функций, полученных в пункте 1;

2)произвести необходимые структурные преобразования

изаписать передаточные функции замкнутой САР по задающе-

3) оценить устойчивость системы, пользуясь критериями Гурвица и Михайлова. Если система окажется неустойчивой, то изменить коэффициент К5 так, чтобы система стала устойчивой;

4) определить суммарную статическую ошибку системы от задающего и возмущающего воздействия, если принять, что

X(t)=1(t) и F(t)=1(t);

5)определить корни характеристического уравнения САР, нанести их на комплексную плоскость и определить степень устойчивости САР (см. приложение 1).

6)по передаточной функции замкнутой системы по задающему воздействию, используя таблицу преобразований Лапласа или теорему разложения, получить выражение для переходной характеристики САР y(t) - при действии на входе единичного ступенчатого сигнала x(t)=1(t) (см. приложение

2);

7)построить полученную переходную характеристику в таком диапазоне времени t, когда её величина y(t) не будет отличаться от у(∞) более, чем на 2-5%, где у(∞) - значение выходного сигнала в установившемся режиме.

8)по полученному графику переходной характеристике y(t) определить показатели качества переходного процесса: время установления, время первого максимума, время регулирования, перерегулирование;

Все пункты контрольной работы выполнять вручную, без использования ПЭВМ;

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9

Рисунок 10

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Для нахождения переходного процесса в системе необходимо знать корни характеристического уравнения. Поэтому приобретает практическое значение умение определять корни уравнения системы, имеющей любой достаточно высокий порядок.

Положим, что имеется характеристическое уравнение вида: dnpn+dn-1pn-1+...+d2p2+d1p+d0=0.

В усеченном уравнении, образованном из трех последних

членов характеристического уравнения: d2p2+d1p+d0=0,

определяют корни p01 и p02. Если эти корни оказываются вещественными, то определяют один вещественный корень характеристического уравнения, а если комплексными — определяют первую комплексную пару корней.

Вычисление вещественного корня

Перед вычислениями характеристическое уравнение норми-

руют и приводят к виду: pn+Dn-1pn-1+...+D2p2+D1p+D0=0.

Процесс вычисления первого вещественного корня состоит в следующем: отбрасывают старшие члены уравнения и задают

, далее делят характеристическое уравнение на разность (p—p1*) до тех пор, пока в остатке не окажется двучлен вида D1*p+D0, который нельзя разделить без остатка на разность (p—p1*).

Вкачестве второго приближения для первого искомого

D0

определяемое выражением -D1**. Чаще всего достаточно двух—

трех приближений для того, чтобы остаток от деления характеристического уравнения на соответствующую разность (p—p1***) был бы близок к нулю. Это означает, что первый искомый корень p1 определен, после чего степень характе-

ристического уравнения понижается на единицу.

Указанная процедура повторяется применительно к новому уравнению пониженного порядка до тех пор, пока не будет найден следующий корень. Аналогичным путем находят все искомые корни характеристического уравнения.

Пример

Характеристическое уравнение имеет вид:

р3+13р2+39р+27=0.

В первом приближении

В четвертом приближении

Итак, один вещественный корень р1=-1.

Разделим исходное уравнение на делитель (p-p1):

Два другие корня определяются из квадратного уравне-

ния p2+12р+27=0:

p2=-3; p3=-9.

Таким образом корни характеристического полинома

р3+13р2+39р+27 равны p1=-1; p2=-3; p3=-9.

Значит характеристический полином можно представить в виде р3+13р2+39р+27=(р+1)(р+3)(р+9).

При четном порядке характеристического уравнения действия при нахождении корней остаются прежними, с той лишь разницей, что первое деление производится на квадратный трехчлен. В дальнейшем его значение уточняется.

Пусть имеется уравнение

р4+6р3+18р2+24р+16=0.

Выделим квадратный трехчлен в качестве первого приближения:

р2+2418р+1618=р2+1,33р+0,889.

Второе приближение:

Третье приближение:

8,93р2+17,86р+16;

2 17,86 16 2 р + 8,93 р+8,93=р +2р+1,79.

Четвертое приближение:

Различие между четвертым и пятым приближениями очень мало, поэтому ограничившись четвертым приближением, представляем исходное уравнение в виде:

(p2+2,05р+1,95)(p2+3,95p+7,95)=0.

Отсюда определяем корни:

р1,2=-1,03±j0,95; p3,4=-1,98±j2,02.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

НАХОЖДЕНИЕ КРИВОЙ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВТОРОЙ ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ

Если функция Y(p) есть правильная несократимая рациональная дробь, т. е.:

F1(p) Y(p)=F2(p),

то оригинал для Y(p) можно найти, разложив дробь Y(p) на простейшие и воспользовавшись формулой

Ai n Þ A epit tn-1 .

(p-pi) i (n-1)!

Вторая теорема разложения устанавливает формулу оригинала y(t) для дроби Y(p).

Рассмотрим два случая.

F1(p)

1. Если Y(p)=F2(p) (где F1(р), F2(р) — полиномы от р)

— правильная несократимая рациональная дробь и все корни, р1, р2,..., рn знаменателя F2(р) — простые, то оригинал y(t) для Y(p) выражается формулой

Подставляя найденные значения А1, A2,..., An в равенство (**), получим: