23

границы Re w 0 .

5

Вычислить zdz , где путь C – это: а) прямолинейный отрезок, со-

C

единяющий точку z1 0

с точкой z2 1 i ; б) ломанная, соединяющая точ-

ки z1 0 , z2 1, z3 1 i .

n

2

n

6

Определить область сходимости ряда

.

z 2 i

n

n 1

7

С помощью вычетов вычислить интеграл

tgz

dz , где C – ромб с

z 1

C

вершинами в точках z1 2, z2 i , z3 2 , z4 i .

Вариант 8

1

Начертить в комплексной плоскости линию, точки которой удовле-

творяют уравнению

z 1

z 2

5 .

2

Проверить выполнимость условий Коши-Римана

для

функции

w f z u iv

и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-

данной

точке

z0

при

отображении

w f z ,

если

u e1 2 y cos 2x ,

v e1 2 y sin 2x ,

z0

.

6

w z2

3

В какие линии в плоскости w отобразит функция

прямые

x 1 и

y 2 , лежащие в плоскости z ?

4

Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг

z

1 на

полуплоскость

Im w 0

так, чтобы точки z1 1,

z2 1,

z3 i

границы

z

1перешли соответственно в точки

w1 , w2

1, w3 2

границы

Im w 0 .

2 i

5

Вычислить

Re zdz , если путём интегрирования служат: а) прямо-

0

линейный отрезок

z 2 i t , ( 0 t 1); б) ломанная, первое звено кото-

рой есть прямолинейный отрезок 0;2 , а второе – отрезок 2;2 i .

2

n

z

n

6

Определить область сходимости ряда

.

n 1

z

n 0 4

7

С помощью вычетов вычислить интеграл

C

1

dz , где

z 1 2 z2 9

C – окружность

z 1

2 .

2

Проверить выполнимость условий Коши-Римана для функции

w f z u iv

и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-

данной

точке

z0

при

отображении

w f z , если

u x2 2x y2 ,

v 2xy 2 y , z0 i .

3

Найти линейную функцию, отображающую треугольник с верши-

нами в точках 1 i ,

1 3i ,

3 i в плоскости z на подобный ему треуголь-

ник с вершинами в точках 0, 1, i в плоскости w .

4 Для отображения w 1 найти образ пучка прямых y kx .

Вычислить 1

z

5

z

dz , если путём интегрирования служат: а) прямоли-

1

z1 1 с точкой z2

1; б) верхняя

нейный отрезок, соединяющий точку

радиус сходимости ряда.

2

ez

7 С помощью вычетов вычислить интеграл

dz .

z2 z2 9

z

1

2

Проверить выполнимость условий Коши-Римана

для функции

w f z u iv

и найти коэффициент растяжения и угол поворота в за-

данной

точке

z0

при отображении

w f z ,

если

u e 1 y cos x ,

v e 1 y sin x , z0

i .

3 В какие линии на плоскости w преобразуются оси координат плос-

кости z функцией w iz 2 ?

z

1 в

4

Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг

круг

w 1

1 так,

чтобы точки z1

1,

z2 i , z3 1

границы

z

1пере-

шли соответственно в точки w1 0 ,

w2 2 , w3 i 1 границы

w 1

1.

25

5

Вычислить z 2z dz , где путь интегрирования C – дуга окруж-

C

ности

z

2 ,

arg z .

2

2

6

Определить область сходимости ряда en iz n .

n 1

1

7

С помощью вычетов вычислить интеграл z sin

dz , где C – пря-

2

C

z

моугольник с вершинами в точках

z1 1 i ,

z2 1 i ,

z3 1 2i ,

z4 1 2i .

Вариант 11

1

Функция

w z2 отображает прямую

x 2

плоскости z

на плос-

кость w . Найти соответствующий образ.

2

Проверить выполнимость условий

Коши-Римана для

функции

w z3

и найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z0 1 i .

3

Найти и построить образ параболы y x2 при отображении w 1 .

z

7 С помощью вычетов вычислить интеграл

1

dz .

3 z

3

z

2

4

2

Вариант 12

z 2i

1 Функция w z2 отображает прямую

y 1

плоскости

z

на плос-

кость w . Найти соответствующий образ.

1

2 Проверить выполнимость условий

Коши-Римана для

функции

w

и найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z0 i .

z

C

z

1,

0 arg z .

z

n

6

Определить область сходимости ряда 1 n

.

n

ln n

n 1

n 2

7

С помощью вычетов вычислить интеграл

z

dz .

z

4 sin z

w sin z и найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z0

.

3

Найти образ окружности x2 y2 1 при отображении w 2z 1.

2

4

Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг

z

1

на

полуплоскость

Im w 0 так, чтобы точки

z1 1,

z2 1,

z3 i

границы

z

1перешли

соответственно

в точки w1

,

w2 0 , w3 1

границы

Im w 0 .

5

Вычислить 2 3z z2

dz , где путь интегрирования C

– произ-

C

вольная линия, соединяющая точки z 2e 3 i и z

2

2e 3 i .

1

z

1 i

n

6

Определить область сходимости ряда

.

n 1

n i

7

С помощью вычетов вычислить интеграл

tgz

dz .

Вариант 14

z 2

1 z 2

1

Функция w z2 отображает окружность

x2 y2

4

на плоскость

w . Найти соответствующий образ.

2

Проверить выполнимость условий

Коши-Римана

для

функции